一元二次方程专题训练-2025年中考数学一轮复习

一元二次方程专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•南京三模）方程中x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1 2．（2024•修水县一模）将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 4．（2024•五华区校级模拟）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元，3月份的售价为16.2万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．16.2（1+x）2＝20 B．16.2（1﹣x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝16.2 D．20（1﹣2x）＝16.2 5．（2024•揭阳一模）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 6．（2024•宣恩县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（2024•石家庄一模）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 8．（2024•榆次区三模）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x﹣1）得x＝3 整理得x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝28， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣ 整理得x2﹣4x＝﹣3， 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴x﹣2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3 移项得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题（共8小题） 9．（2024•同心县模拟）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 10．（2024•丰台区二模）方程x2＝3x的解为：　 　． 11．（2024•石景山区校级模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝　 　． 12．（2024•深圳模拟）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+5＝　 　． 13．（2024•东莞市校级一模）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　 　． 14．（2024•凉州区校级一模）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　 　． 15．（2024•广水市一模）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　 　岁． 16．（2024•沙坪坝区模拟）2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，若设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程：　 　． 三．解答题（共7小题） 17．（2024•建华区三模）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 18．（2024•澄海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．求证：方程总有两个实数根． 19．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 20．（2024•惠州模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 21．（2024•乌鲁木齐一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 22．（2024•鼓楼区校级一模）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为 　 　个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　，6月份借阅图书的学生人数 　 　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了m%，进货量比九月底增加3m%，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求m%的值． 一元二次方程专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•南京三模）方程中x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1 【解答】解：方程x（x﹣1）＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故选：B． 2．（2024•修水县一模）将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【解答】解：3x2﹣2＝4x， ∴3x2﹣4x﹣2＝0， ∴一次项的系数是﹣4． 故选：C． 3．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x＝﹣或x＝1． 故选：C． 4．（2024•五华区校级模拟）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元，3月份的售价为16.2万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．16.2（1+x）2＝20 B．16.2（1﹣x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝16.2 D．20（1﹣2x）＝16.2 【解答】解：根据题意得：20（1﹣x）2＝16.2． 故选：C． 5．（2024•揭阳一模）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个）， 则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝132， 故选：C． 6．（2024•宣恩县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴， 故选：B． 7．（2024•石家庄一模）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0， 故选：D． 8．（2024•榆次区三模）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x﹣1）得x＝3 整理得x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝28， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣ 整理得x2﹣4x＝﹣3， 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴x﹣2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3 移项得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解； 乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误； 丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方； 丁利用解一元二次方程﹣因式分解法，计算正确； 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•同心县模拟）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0， 解得：k＝， 故答案为：． 10．（2024•丰台区二模）方程x2＝3x的解为：　x1＝0，x2＝3　． 【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0， 即x（x﹣3）＝0， 于是得：x＝0或x﹣3＝0． 则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 11．（2024•石景山区校级模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝　﹣1　． 【解答】解：把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0， 解得a1＝1，a2＝﹣1， 因为a﹣1≠0， 所以a的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（2024•深圳模拟）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+5＝　11　． 【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3， ∴2m2﹣4m+5＝2（m2﹣2m）+5＝6+5＝11． 故答案为：11． 13．（2024•东莞市校级一模）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　0（答案不唯一）．　． 【解答】解：a＝1，b＝﹣2． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0， ∴c＜1． 故答案为：0（答案不唯一）． 14．（2024•凉州区校级一模）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　12　． 【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0， 得x1＝5，x2＝7， ∵1＜第三边＜7， ∴第三边长为5， ∴周长为3+4+5＝12． 15．（2024•广水市一模）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　36　岁． 【解答】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则个位数字为x+3， 则根据题意：10x+（x+3）＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 由题意，而立之年督东吴，则x＝2舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为36岁， 故答案为：36． 16．（2024•沙坪坝区模拟）2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，若设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程：　950（1+x）2＝1700　． 【解答】解：设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为x，由题意，得： 950（1+x）2＝1700； 故答案为：950（1+x）2＝1700． 三．解答题（共7小题） 17．（2024•建华区三模）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【解答】解：原方程可变形为： x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x﹣2）＝0， 2x﹣5＝0或x﹣2＝0； 解得x1＝，x2＝2． 18．（2024•澄海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．求证：方程总有两个实数根． 【解答】证明：由题意可知Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． 19．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝﹣4m+8， ∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0， ∴﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1； （2）根据题意得Δ＝﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1， 当△＞0时，方程的一根是3，把x＝3代入方程得9（m﹣1）﹣6m+m+2＝0， 解得m＝， 此时方程的另一根为， ∵3+＞3， ∴三角形存在； ∴m＝， 当Δ＝﹣4m+8＝0， ∴m＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0． 解得x＝2， ∵一腰长为3， ∴m＝2不合题意， ∴m＝， 20．（2024•惠州模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形． （1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH的长为4、宽为3． （2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵矩形EFGH的周长为：2×（4+3）＝14， 矩形ABCD的周长为：2×（12+2）＝28， ∴矩形EFGH的周长＝矩形ABCD的周长； ∵矩形EFGH的面积为：4×3＝12， 矩形ABCD的面积为：2×12＝24， ∴矩形EFGH的面积＝矩形ABCD的面积； ∴矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形． （2）解：该矩形不存在“减半”矩形，理由如下： 若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n（m＞n）， ∵原矩形的长和宽分别为2，1， ∴，， 由①得：， 将 代入②得：， 即， ∵， ∴ 无实数根， ∴该矩形不存在“减半”矩形． 21．（2024•乌鲁木齐一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）∵y＝﹣2x+120， ∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400， 即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400； （3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400， ∴x1＝30，x2＝50（舍）， ∵20≤x≤38， ∴x＝30． 答：每件商品的售价应定为30元． 22．（2024•鼓楼区校级一模）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）当售价为50元/个时，月销售量为 　500　个． （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【解答】解：（1）根据题意得：当售价为50元/个时，月销售量为600﹣10×（50﹣40）＝600﹣10×10＝500（个）． 故答案为：500； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为600﹣10×（x﹣40）＝（1000﹣10x）个， 根据题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 23．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　1100人　，6月份借阅图书的学生人数 　1440人　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了m%，进货量比九月底增加3m%，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求m%的值． 【解答】解：（1）5月份借阅图书的学生人数是：1000×（1+10%）＝1100（人）， 6月份借阅图书的学生人数为：1100+340＝1440（人）， 故答案为：1100人，1440人； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为x， 由题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x＝0.2＝20%（负值已舍去）， 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为20%； （3）由题意得：500（1+3m%）×[12﹣8（1+m%）]＝500（9.6﹣8）+1200， 设m%＝a， 整理得：6a2﹣a＝0， 解得：a1＝，a2＝0（不符合题意，舍去）， 即m%＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$