第十四章勾股定理之勾股定理的逆定理 讲义2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第十四章勾股定理之勾股定理的逆定理华东师大版2024—2025学年八年级上册 【考点·方法·破译】 1．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.首先确定最长的边，再比较较短两边的平方和是否等于最长边的平方。 2. 勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 3. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。熟悉常见的勾股数如①3、4、5；②5,12,13；③7,24,25；④8,15,17。 【典型例题解析】 类型一.证明三角形是直角三角形 例1已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形. 【变式练习】 1.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是，满足.试判断△ABC的形状. 2.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，求这块空地的面积？ 3.如图，已知：在ΔABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D，求证：AD2=AC2+BD2. 类型二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例2如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。 【变式练习】 4.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积. 5.已知：如图，DE=m,BC=n,EBC与DCB互余，求BD2+CD2. 类型三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用 例3阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________. 例4学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！ (1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 ______mm； ______mm；较长的一条边长_______mm。 比较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm； _______mm；较长的一条边长_______mm。 较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (3)据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: ⑷对你猜想与的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。 例5如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【变式练习】 6.察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子． 7.欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由. 8.如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 　 课后练习 1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2++|c﹣10|＝0，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2.已知：在四边形ABCD中，连接AC，BC＝AB，CD2+AD2＝2AB2，AD⊥CD． （1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）当，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 3.如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，B的坐标是（﹣4，4），D是BC的中点，． （1）写出点D，E的坐标； （2）问：△ADE是直角三角形吗？请说明理由． 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，BE＝4，CF＝2． （1）判断△AEF的形状； （2）求△AEF中AF边上的高的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$