精品解析：上海市徐汇中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

徐汇中学2024学年初三年级第一学期 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1. 下列各组线段中，成比例线段的组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可． 【详解】解：A、，是成比例线段，故本选项符合题意； B、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2. 下列命题一定正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等边三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D. 两个含有30°角的三角形一定相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可． 【详解】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故A不正确； B、两个等边三角形的各角度都为60°，所以两个三角形相似，故B正确； C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故C不正确； C、两个含30°角的三角形只有一对30°角可以确定相等，其他两个角度未知故D不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形形相似的判定方法，常见的判断方法有如下几个：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 3. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，得：y=﹣（x+1）2+1； 然后向上平移3个单位，得：y=﹣（x+1）2+1+3． 即y=﹣（x+1）2+4， 故选D． 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 5. 如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， 正确选项为C， 故答案为：C 6. 如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断式子的正确性，①由对称轴得，即可判断；②由对称轴及得与轴的另一个交点为，即可判断；③由①得， ，表示出，代入即可判断；④由时到越靠近对称轴的点，对应的函数值越大，代入即可判断； 能熟练利用二次函数性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：①直线是对称轴， ， ； 故此项正确； ②当时， ， 直线是对称轴，且经过点， 与轴的另一个交点为， 当时， ， 故此项不正确； ③由①得： ， 经过点， ， ， ， ， 故此项正确； ④， 到越靠近对称轴的点，对应的函数值越大， ； 故此项正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，共48分） 7. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 8. 如果地图上、两处的图距是，表示这两地的实际距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______. 【答案】10 【解析】 【分析】先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解. 【详解】设这个图距是， 则4：20000000=x：50000000， 解得x=10． 故填：10． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 9. 已知点是线段上的一点，且，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：设点是线段上的一点，， ， 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键. 10. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 【答案】4∶9 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3， ∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们的面积比是4：9． 故答案为：4：9． 考点：相似三角形的性质． 11. 如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，，， ， 故答案为：． 12. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 13. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2， ∴P（3，1）对称点坐标为（1，1）， ∴当x=1时，y=1， 即a+b+c=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键． 14. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 16. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则 面积为__________ 【答案】18 【解析】 【分析】连接，延长交于点G，连接，根据重心的性质推出，通过证明，，得出，则，，再证明，得出， 设，则，，根据四边形的面积为6，求出，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点G，连接， ∵点P为重心，点D为边中点， ∴点B、P、D在同一直线上， ∵， ∴， ∵点D为边中点， ∴点G为边中点， ∴点C、P、G在同一直线上， ∵点D为边中点，点G为边中点， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵四边形的面积为6， ∴，解得：， ∴， ∵点D为边中点， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的三条中线相交于一点，这一点是三角形的重心；三角形的中线将三角形面积平均分为2分；相似三角形对应边成比例，面积比是相似比的平方． 17. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 18. 如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，翻折变换，解一元二次方程，过作于，作于，利用勾股定理和相似三角形，即可得到的长，进而得出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，过作于，作于， 又∵， ∴四边形是矩形， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 中, ，即， 解得（不合题意），， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，共分） 19. 如图，，． (1)试说明； (2)若，，求的长． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行推导即可得； （2）由题意可求得OC的长，然后将OA、AC、OC的长代入（1）中的结论即可求得答案. 【详解】略 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形熟练应用是解题的关键. 20. 在中，，将绕点B逆时针旋转得到，且，的延长线与交于点P，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，，进而得出，，即可求证； （2）根据，得出，根据，得出，则，进而得出，通过证明四边形为平行四边形，得出，再根据，得出，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 21. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． （2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积． 【详解】（1）将A（―1，0）代入中，得：0=4a+4，解得：a=－1． ∴该抛物线解析式为． （2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴CD=1． ∵A（－1，0），∴B（3，0），即OB=3． ∴． 22. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 23. 已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且． （1）求证：； （2）点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． （2） 解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）； （2）连接、，若的面积为6，求此抛物线的表达式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当为直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为，根据两点式写出二次函数解析式，再令，求出y的值，即可的点C的坐标； （2）由，，，求出、的长，然后根据的面积为6，列方程求出a的值； （3）设点Q的坐标为．过点G作轴，垂足为点H，如图，分两种情况求解：当时，求得m的一个值；当时，求得m的另一个值． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 设抛物线解析式为， 即， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为．过点G作轴，垂足为点H，如图， ∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称， ∴，，，， ∴，， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴Q的坐标为； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴Q的坐标为； 不存在， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，用到的知识点有：二次函数的对称性，图形与坐标，中心对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和相似三角形的判定与性质． 25. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1） 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． （3） 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学2024学年初三年级第一学期 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1. 下列各组线段中，成比例线段的组是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题一定正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等边三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D. 两个含有30°角的三角形一定相似 3. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，共48分） 7. 已知，那么________． 8. 如果地图上、两处的图距是，表示这两地的实际距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______. 9. 已知点是线段上的一点，且，如果，那么______． 10. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 11. 如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为________． 12. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 13. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c的值为____________． 14. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 16. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则 面积为__________ 17. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 18. 如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ______． 三、解答题：（本大题共7题，共分） 19. 如图，，． (1)试说明； (2)若，，求的长． 20. 在中，，将绕点B逆时针旋转得到，且，的延长线与交于点P，若，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD的面积． 22. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 23. 已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且． （1）求证：； （2）点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）； （2）连接、，若的面积为6，求此抛物线的表达式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当为直角三角形时，求点Q的坐标． 25. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $