24.4 弧长和扇形面积 课时1 弧长的计算 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积 课时1 弧长的计算 一．选择题 1．如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中点，若OB＝1，则的长是（　　） A． B． C． D．2π 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B． C． D．2π 3．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则的长为（　　） A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm 4．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线AC上，若AD＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 7．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮”可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A．60° B．80 C．90° D．100° 8．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的弧长之和为（　　）cm． A．π B． C． D． 二．非选择题 9．如图，⊙O的半径为3，四边形ACBD内接于⊙O，连接OB、OA，若∠ACB＝∠AOB，则劣弧的长为 　 　． 10．如图，在扇形OAB中，点O为圆心，点C在上，过点C作CD⊥OA于点D，交弦AB于点E，且CE＝AE，连接OE． （1）设∠AOE＝x，则∠AOB＝　 　．（用x的代数式表示） （2）已知的长为5π，若△BEO为等腰三角形，则扇形OAB的半径长为 　 　． 11．如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为　 　． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　 　． 13．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为2，∠AOD＝36°，且AD∥OC，则劣弧BC的长为 　 　． 14．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　 　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 15．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 答案 一．选择题 1．如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中点，若OB＝1，则的长是（　　） A． B． C． D．2π 【答案】A 【解析】解：如图，连接OA， ∵∠ADB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝60°， ∵A是的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴的长为＝π． 故选：A． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B． C． D．2π 【答案】C 【解析】解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝5， 由题意得：AC＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴的长为：＝π， 故选：C． 3．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则的长为（　　） A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm 【答案】A 【解析】解：的长为：＝17.5π（cm）． 故选：A． 4．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线AC上，若AD＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵正方形AEFG， ∴AE＝FE，∠E＝90°， ∴∠FAE＝45°， ∵AD＝1，正方形AEFG是由正方形ABCD绕着点A逆时针旋转所得， ∴AE＝FE＝1， ∴， ∴的长＝， 故选：B． 5．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 【答案】B 【解析】解：∵∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°， ∴＝×2π×3＝π． 故选：B． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【答案】B 【解析】解：连接OA、OD、OC， ∵∠B＝60°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝120°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°， ∴的长＝＝π． 故选：B． 7．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮”可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为（　　） A．60° B．80 C．90° D．100° 【答案】A 【解析】解：∵重物上升4πcm， ∴点A转过的弧长为4πcm， ∵滑轮的半径为12cm， ∴＝4π， 解得：n＝60， ∴滑轮上点A转过的度数为60°， 故选：A． 8．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的弧长之和为（　　）cm． A．π B． C． D． 【答案】B 【解析】解：图中的三个扇形弧长的和为＝πr＝cm． 故选：B． 二．非选择题 9．如图，⊙O的半径为3，四边形ACBD内接于⊙O，连接OB、OA，若∠ACB＝∠AOB，则劣弧的长为 　2π　． 【答案】2π． 【解析】解：设∠ADB＝x°，则∠AOB＝2x°， ∵四边形ACBD内接于⊙O，∠ACB＝∠AOB， 则∠ACB＝∠AOB＝2x°， ∴∠ACB+∠ADB＝180°， ∴2x+x＝180°， 解得x＝60， ∴∠AOB＝2x°＝120°， ∵⊙O的半径为3， ∴＝2π， 故答案为：2π． 10．如图，在扇形OAB中，点O为圆心，点C在上，过点C作CD⊥OA于点D，交弦AB于点E，且CE＝AE，连接OE． （1）设∠AOE＝x，则∠AOB＝　4x　．（用x的代数式表示） （2）已知的长为5π，若△BEO为等腰三角形，则扇形OAB的半径长为 　或1　． 【答案】（1）4x； （2）或10． 【解析】解：（1）连接OC，交AB于F，则OC＝OA， 在△COE和△AOE中， ， ∴△COE≌△AOE（SSS）， ∴∠COE＝∠AOE，∠OCE＝∠OAB， 在△CFE和△ADE中， ， ∴△CFE≌△ADE（ASA）， ∴∠EFC＝∠EDA＝90°， ∴OC⊥AB， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOB＝2∠AOC＝4∠AOE＝4x， 故答案为：4x； （2）由（1）可知，设∠AOE＝x，则∠AOB＝4x， ∴∠BOE＝3x， ∵△BEO为等腰三角形， 当BE＝OB时， ∴∠ABO＝∠BOE＝3x， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝3x， ∴3x+3x+4x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠AOB＝4x＝72°， ∴＝5π， ∴r＝． 当BE＝OE时， ∴∠BEO＝∠BOE＝3x， ∴∠OAB＝2x， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝2x， ∴2x+2x+4x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠AOB＝4x＝90°， ∴＝5π， ∴r＝10． 故答案为：或10． 11．如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为　　． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：连接OA、OB，如图， ∵∠ACB＝40°， ∴∠AOB＝80°， ∵⊙O的半径是3， ∴的长＝． 故答案为π． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　π　． 【答案】π． 【解析】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为． 故答案为：π． 13．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为2，∠AOD＝36°，且AD∥OC，则劣弧BC的长为 　π　． 【答案】π． 【解析】解：∵OA＝OD，∠AOD＝36°， ∴∠OAD＝∠ODA＝（180°﹣∠AOD）＝×（180°﹣36°）＝72°， ∵AD∥OC， ∴∠AOC＝∠OAD＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°， ∴劣弧BC的长为×2π×2＝π． 故答案为：π． 14．石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光，据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． （1）小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 　101　m； （2）在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点）． ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）； ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】（1）101； （2）①两人所在座舱在摩天轮上的距离为；②两人所在座舱距离地面的高度差为25m． 【解析】解：（1）如图， ， 由题意得：QM＝1m，AQ＝100m， 当座椅转到点A时，距离地面最高，此时AM＝AQ+QM＝100+1＝101（m）， ∴小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为101m； 故答案为：101． （2）①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱， ∴每相邻两个座椅之间所对的圆心角为360°÷24＝15°， ∴∠POQ＝4×15°＝60°， ∴的长为：， ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为； ②作PN⊥OM于N， ， 由题意得：两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长， 在Rt△OPN中，OP＝50m，∠PON＝60°， ∴， ∴NQ＝OQ﹣ON＝25m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为25m． 15．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求劣弧CD的长度； ②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O的直径AB＝16， ∴圆的半径为16÷2＝8． ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOB＝∠OED＝∠OFD＝90°， ∴四边形OFDE是矩形， ∴EF＝OD＝8． （2）①∵点E为OC的中点， ∴， ∴∠EDO＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴劣弧CD的长度为． ②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P， 则PC+PD的最小值为DG． 设DE＝x， 则DG＝2x， ∵，EG＝12， ∴x2+144＝4x2， 解得x＝4， ∴DG＝8， ∴PC+PD的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$