第二十九章 投影与试图 学案 2023--2024学年人教版九年级数学下册

2025届人教版数学九年级下册第二十九章投影与试图 专项训练 学案 考点1 投影 1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 【注意】投影的形状和大小与物体相对于投影面的位置有关，也与照射物体的光线有关. 2.平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影. 【注意】平行投影的投影线都是平行的. （1）平行投影中对应点的连线是互相平行的；反之，物体与其投影的对应点的连线是互相平行的就说明是平行投影 （2）在不同时刻的太阳光照射下，物体的影子的大小和方向都在改变 （3）在太阳光下，不同时刻，用一地点、同一物体的影子不仅方向在改变，影子的长度一般也不同.从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西→西北→正北→东北→正东（北半球北回归线以北地区）.一天之中，同一物体的影子的长短的变化规律是：长→短→最短→短→长. （4）在太阳光下，同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比，即 . 3.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点.常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等. 【注意】（1）等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，如图（1）所示，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. （2）等长的物体平行于地面放置，在灯光的照射下，如图（2）所示，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短. （3）形成中心投影的过程中，点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在用一条直线上，根据同一灯光下两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在的位置. 4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影 【注意】 （1）正投影是特殊的平行投影 （2）正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的，与物体的位置无关. （3）物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，分物体平行、倾斜、垂直于投影面三种情况. 5.如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）． 通过观察，我们可以发现： （1）当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1； （2）当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2B2； （3）当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3(B3). 6.如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面． 通过观察、测量可知： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小一样； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段. 考点2 三视图 1.当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的正投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同． 2.我们用三个互相垂直的平面（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，其中正对着我们的叫正面，下方的平面叫做水平面，右边的叫做侧面． 3.对于一个物体（例如一个正方体）在三个投影面内进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫主视图. ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图. ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图. 4.三视图之间的关系 （1）位置关系：画三视图时，三个视图都要放在正确的位置.主视图在左上边，主视图的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边.主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽 （2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等. 5.三视图的画法 （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2）在主视图的正下方画出俯视图，并且主视图与俯视图“长对正”； （3）在主视图的正右方画出左视图，与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】看得见的轮廓线通常画成实线．看不见的轮廓线通常画成虚线． 考点3 由三视图还原几何体 1.由三视图还原几何体的方法：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面的形状以及几何体的长、宽、高.根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线. 【注意】一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性，如正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体可能是直棱柱、长方体、圆柱等. 2.常见几何体的三视图与展开图 几何体 三视图 1.下列关于投影的说法正确的是( ) A.平行投影中的光线是聚成一点的 B.线段的正投影还是线段 C.圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D.若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 2.下列各种现象属于中心投影现象的是( ) A.中午烈日下用来乘凉的树影 B.上午阳光下人走在路上的影子 C.晚上人走在路下的影子 D.早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 3.矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是( ) A. B. C. D. 4.如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是( ) A.①②③④ B.④③①② C.④①③② D.②①③④ 5.已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是( ) A. B. C. D. 6.如图,俯视图是( ) A. B. C. D. 7.如图为某几何体的三种视图,这个几何体可以是( ) A. B. C. D. 8.如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是( ) A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图 C.左视图和俯视图 D.主视图、左视图、俯视图 9.如图是某几何体的三视图,则这个几何体的侧面积为( ) A. B. C. D. 10.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的.图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏.在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米.在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应( ) A.减少米 B.增加米 C.减少米 D.增加米 11.如图，是由8个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标有①、②、③、④的四个小正方体中随机取走一个，所得新几何体与原几何体主视图相同的概率是________. 12.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，请你根据三视图，帮他清点一下箱子的数量，这些箱子的数量是___________个. 13.一个几何体三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于__________________. 14.如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是____________. 15.如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处. ①点光源所在的位置是____________（从A，B，C，D中选择一个）； ②若点光源发出的过点I的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为____________米. 16.如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体. （1）该几何体的表面积(含下底面)为______； （2）请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体. 17.如图,是小亮晚上散步回家的场景,图中线段表示站立在路灯左侧的小亮,线段表示直立在地面上的路灯,点P表示照明灯的位置.当小亮与路灯之间的距离时,其身后的影长为,已知小亮的身高为,当小亮步行至路灯右侧且距路灯的点D处时,小亮身前的影长是多少米？(结果用分数表示) 18.小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆，测得其影长. (1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影； (2)如果，求旗杆的高. 19.如图，AB表示路灯，CD、表示小明所在两个不同位置： (1)分别画出这两个不同位置小明的影子； (2)小明发现在这两个不同的位置上，他的影子长分别是自己身高的1倍和2倍，他又量得自己的身高为1.5米，长为3米，你能帮他算出路灯的高度吗？(B、D、在一条直线上) 20.在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为. （1）三视图中，有一图未画完，请在图中补全； （2）根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； （3）左视图中矩形的面积为________； （4）这个四棱柱的体积为________. 答案以及解析 1.答案：C 解析：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意； B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意； C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意； D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意， 故选：C. 2.答案：C 解析：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C. 3.答案：C 解析：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段， 即相对的边平行或重合，故C不可能，即不会是梯形. 故选：C. 4.答案：B 解析：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.可知先后顺序是④③①②. 故选：B. 5.答案：A 解析：该几何体的左视图如下： 故选：A. 6.答案：C 解析：从上往下看,是一个矩形,看不见的线为虚线,所以左右两边为两条虚线,在两条虚线的中间有两条实线, 故选：C. 7.答案：A 解析：根据几何体的三视图,只有A选项符合题意； 故选：A. 8.答案：A 解析：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选A 9.答案：B 解析：根据三视图可得：这个几何体为圆雉, 直径为6cm,圆锥母线长为, 侧面积. 故选:B. 10.答案：A 解析：如图，点O为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点O作，延长交于F，则， ， ，则， 米，米，则米， ， 设，， 在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，米，， ， 则， 米， 光源与小明的距离变化为：米， 故选：A. 11.答案：/25%/0.25 解析：原几何体的主视图是： 故取走正方体①使所得新几何体与原几何体主视图相同，其概率为， 故答案为：. 12.答案：8 解析：从图可得小正方体的个数有8个，如图： 故答案为：8. 13.答案：/ 解析：由三视图可知几何体为三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边为4，斜边为， 所以表面积为：. 故答案为：. 14.答案： 解析：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是. 15.答案：C 解析：（1）如图所示，C点即为点光源所在的位置， 故答案为：C （2）延长交于点O， 点光源发出的过点I的光线， ， 由题意，， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中， ，， ， 乙杆的高度为米. 故答案为：. 16.答案：（1）28 （2）见解析 （3）2 解析：（1） 所以该几何体的表面积(含下底面)为28， （2）如图所示： （3）由分析可知，最多可以再添加2个小正方体 17.答案：小亮身前的影长是米 解析：如答图,连接并延长,与地面交于点E,再连接并延长,与地面交于点F, 先设米, ,和都垂直于地面, ,, 当米时,米, ,即, ； 当米时,设小亮的影长是y米, , , . 答：小亮身前的影长是米. 18.答案：(1)见解析 (2)旗杆的高为 解析：(1)连接，过A点作交于F，则为所求，如图. (2)， ， 而， ， ，即， . 答：旗杆的高为. 19.答案：(1)见解析 (2)4.5米 解析：(1)作图如图： (2)，， ∴，， ∵ ∴. ，， ∴，解得：， (米). 20.答案：（1）见解析 （2） （3）8 （4） 解析：（1）所在的面在前，所在的面在后， 主视图中应补充两条虚线， 补充完整如图所示： （2）俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 故答案为：； （3）如图，作于E，于F， ， 俯视图为等腰梯形， ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 左视图中矩形的面积为：， 故答案为：8； （4）由题意得： 这个四棱柱的体积为， 故答案为：32. 学科网（北京）股份有限公司 $$