5.2.1三角函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的概念 自然界的周期现象 函数是描述客观世界变化规律的重要模型 学习目标 1、掌握任意角的三角函数的定义 2、已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值 3、体会数学建模，数形结合，数学运算的基本核心素养 A 建立数学模型 单位圆上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转运动，能否建立一个数学模型，描述点P的位置变化情况？ O P A 思考1: 在点P的运动过程中，有哪些量也是变化的？ 单击此处 动画1超链接 建立数学模型 单位圆上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转运动，能否建立一个数学模型，描述点P的位置变化情况？ 思考1:在点P的运动过程中，有哪些量也是变化的？ O P A 思考2: 当 确定时，它的终边与单位圆的交点P确定吗？P的坐标确定吗？ X y (1,0) (x,y) 单击此处 动画2超链接 终边唯一确定 终边与单位圆的交点唯一 确定 思考3: 这种对应关系满足函数定义吗?若满足，自变量是谁？ 终边唯一确定 P点横坐标X唯一确定 终边唯一确定 P点纵坐标y唯一确定 函数的定义： 设A、B是非空的实数集，如果对于A中的任意一个数X，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 终边唯一确定 终边与单位圆的交点唯一 确定 思考3: 这种对应关系满足函数定义吗?若满足，自变量是谁？ 终边唯一确定 P点横坐标X唯一确定 终边唯一确定 P点纵坐标y唯一确定 角α P坐标 sinα cosα tanα （1）在单位圆中，画出下列各角 （2）求出各角的终边与单位圆的交点坐标P （3）求出各角的正弦值、 余弦值、 正切值 思考4：观察α的正弦，余弦，正切值与点p的坐标之间的关系如何？ 这种关系能否推广到任意角呢？ 单击此处 动画3超链接 三角函数的概念 正弦，余弦，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 设α是任意角，α终边与单位圆交于点P（x,y） (1)P的纵坐标y叫ɑ的正弦函数，记作sinɑ. 即 y= sinɑ (2)P的横坐标x叫ɑ的余弦函数，记作cosɑ. 即 x= cosɑ (3)P的纵坐标与横坐标的比值叫ɑ的正切函数，记作tanɑ.即 =tanɑ (x 0) 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 y=sinX 余弦函数 y=cosX 正切函数 y=tanX 思考5：三个函数的定义域分别是什么? R R P A 作者：湛江市第五中学钟景荣 例1:求 的正弦、余弦和正切值. x y o 思考6:在本例中，角终边上任意找一点，三个三角函数值会发生改变吗？ 15 分析：观察图5.2-5, 由▲OMP∽▲OM0P0, 例2: 如图5.2-4, 设α是一个任意角, 它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x, y), 点P与原点的距离为r, 求证：sinα= , cosα= , tanα= . 根据三角函数的定义可证明. O 图5.2-4 r=1 x y A(1,0) P P0 M M0 作者：湛江市第五中学钟景荣 α (5) 证明：如图5.2-5, 设角α的终边与单位圆 交于点P0(x0, y0). 分别过点P, P0作x轴的 垂线PM, P0M0,垂足分别为M, M0, 则| P0M0 |=| y0 |, | PM|=|y|, 则| OM0 |=| x0 |, | OM|=|x|, ▲OMP∽▲OM0P0, ∴, 即, ∵y0与y同号, ∴ y0, 即sinα= , 同理可得 cosα= , tanα= . (其中r=). 任意角α的三角函数值仅与 α 有关，而与点P 在角的终边上的位置无关. 单击此处 动画4超链接 16 设角α是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点，点P与原点的距离r= >0. 那么① 叫做α的正弦，即sinα= , ② 叫做α的余弦，即cosα= , ③ 叫做α的正切，即tanα= (x ≠ 0). 概念推广： O P(x,y) x y 作者：湛江市第五中学钟景荣 α 方法总结 18 作者：湛江市第五中学钟景荣 2. 已知角θ 的终边过点P(-12, 5), 求θ的三个三角函数值. r = . sinθ = cosθ = tanθ = 于是， 解：由已知可得： = , = , = . O r x y P(-12, 5) M θ 练习 课堂小结 1、本节课你收获了哪些新知识？ 任意角三角函数的定义 会用两种方法求三角函数值 2、本节课用到了哪些数学思想？ 数形结合、数学建模、由特殊到一般 1.利用三角函数定义，求 的三个三角函数值 2.已知角θ 的终边过点P(3,4 ), 求θ的三个三角函数值 20 课堂检测 255780.0 $$