22.3实际问题与一元二次方程--利用二次函数解决利润问题 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

利用二次函数解决利润问题 1 利润问题是这几年中考的热点问题，这类题目规律性强，掌握方法后很容易掌握。它常常出现在一元二次方程，二次函数等内容里，可以和不等式等结合考查。 （3）利 润 = 销售额-总成本 = 单件利润×销售量; （2）单件利润 = 售价-进价. 数量关系 （1）销 售 额 = 售价×销售量; 考情分析 2、知识梳理 y = ax2 + bx + c（a≠0） a＞0 a＜0 大致 图象 顶点 增 减 性 开口向上 开口向下 返回目录 教学目标 复习回顾 2.二次函数y=a(x-h)2+k（a>0）的对称轴是 ， 顶点坐标是 .当x= 时，y有最____值是 . 3. 二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的对称轴是 , 顶点坐标是 .当x= 时，y有最 值， 是 . 直线x=h （h，k） k h 教学目标 复习回顾 1.二次函数y=3(x-2)2-1的对称轴是 ,顶点 坐标是 .当x= 时，y有最 值,是 . 直线x=2 (2,-1) 2 小 -1 小 大 直线x=- 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 请同学们带着以下几个问题读题 （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 探究2 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品 的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨 价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件, 每件利润为 元，因此，所得利润 为　　　　　　　　 元. 10x (300-10x) (60+x-40) （60+x-40）(300-10x) y=(60+x-40)(300-10x) (0≤x≤30) 即y=-10（x-5）2+6250 ∴当x=5时，y最大值=6250 怎样确定x的取值范围 可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标. 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元 也可以这样求极值 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案. 解析：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润 y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6125 =-20（x-2.5）²+6125 ∴x=2.5时，y极大值=6125 你能回答了吧！ 怎样确定x的取值范围 （0＜x＜20） 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 综上可知，应定价65元时，才能使利润最大. 1.自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 2.降价多少元时，利润最大，是多少？ 当x=2.5时, y取得最大值6125. 即定价57.5元时，最大利润是6125元. 即：y=-20x2+100x+6000 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 典 例 解 析 =-20(x- 2.5)2+6125 例2 某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 典 例 解 析 60 40 1.自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. 2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000 当x=5时,y取得最大值6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 典 例 解 析 =-10(x-5)2+6250 1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)， 即：y=-20x2+100x+6000. 6000 练习 2.某蔬菜经销商到一个菜园采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价 y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系图象如图中折线AB－BC－CD所示 (不包括端点A)． (1)当100＜ x ＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：_____________. (2)蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千 克， 当采购量x (千克)是多少时，该菜农获得利润ω(元)最大，最大利润是多少元？ 解：（2）采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利ω元， 当0＜x≤100时，ω=(6﹣2)x=4x； 则x=100时，ω有最大值400元； 当100＜x≤200时，ω=(y﹣2)x=(﹣0.02x+6)x =﹣0.02(x﹣150)2+450． ∵-0.02<0，∴当x=150时，ω有最大值为450元． y=﹣0.02x+8 综上当采购量150千克时，该菜农获得利润最大，最大利润是450元 3.“赣南脐橙”名扬全国，小华在网上销售赣南脐橙，成本为30元/箱，每天销售y(箱)与销售单价x(元)之间存在函数关系为y= -10x+700． (1)、当销售单价为40元时，每天获得的利润为_____元； (2)、如果规定每天赣南脐橙的销售量不低于240箱，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 3000 返回目录 2024年11月8日 ‹#› 解：设每天的利润为w元。由题意得： -10x+700≥240，x-30≥0； 解得：30≤x≤46， w=(x-30)y =(x-30)(-10x+700) = -10x2 +1000x-21000， ∵-10＜0， ∴当x＜50时，w随x的增大而增大， ∴x=46时，w最大 =3840元. 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元. 2024年11月8日 ‹#› 求解最大利润问题的一般步骤 1.建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图， 利用简图和性质求出. 归 纳 总 结 感谢大家！ 17 $$