上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷第 1页，共 15页 2024 学年第一学期高一年级阶段测试一 【时间：90 分钟】 一、填空题 1．用或填空：0  . 【答案】 【来源】上海市向明中学 2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】空集中没有任何元素． 【详解】由于空集不含任何元素，∴0． 故答案为． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念． 2．用反证法证明命题“若 2x y  ，则 1x  或 1y  ”的过程中，应当作出的假设 是 ． 【答案】 1x  且 1y  【来源】上海市上海中学 2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的基本思想求解即可. 【详解】用反证法证明命题“若 2x y  ，则 1x  或 1y  ”， 应假设 1x  且 1y  . 故答案为： 1x  且 1y  . 3．已知集合  4,2 1,A a a  ，  3,4 ,3B a a   且  3A B  ，则 a的取值为 . 【答案】3 【来源】江苏省徐州市六县 2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【解析】由  3A B  ，可知3 A ，所以 2 1 3a   或 3a  ，即 1a  或 3a  ，再验证排除不 符合的即可得到答案. 【详解】由  3A B  ，可知3 A ，所以 2 1 3a   或 3a  ，即 1a  或 3a  . 当 1a  时，  4,3,1A  ，  2,3,3B   不满足集合的互异性，所以 1a  不成立； 试卷第 2页，共 15页 当 3a  时，  4,3,7A  ，  0,1,3B  ，满足  3A B  ，所以 3a  成立； 故答案为：3 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合交集结果求参数，一定要注意集合中的元素具有三个 性质：互异性，确定性，无序性；所以算出来 1a  或 3a  时，要代入集合检验, 4．已知集合  | 1A x y x   ，  2 4 5|B y y x x    则 A B  ________． 【答案】 1|x x   【解析】 【分析】求出  | 1A x x   和  | 1B y y  ，得到答案. 【详解】由题意得 1 0x   ，解得 1x   ，故  | 1A x x   ，  22 4 5 2 1 1y x x x       ，故  | 1B y y  ， 故  1A B x x    ， 故答案为： 1|x x   5. 函数     2 2 9 2 2 x xf x x x      的最小值是 . 【答案】8 【来源】河南名校联盟 2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理科）试题 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】通过分离常数，利用基本不等式求最小值. 【详解】因为 2x  ，所以 2 0x   ， 所以       2 2 92 9 9 92 2 2 2 2 8 2 2 2 2 x xx xf x x x x x x x                   ， 当且仅当 92 2 x x    ，即 5x  时等号成立. 所以函数  f x 的最小值是8 . 故答案为：8 . 6．设�、 Rb ，若关于�的不等式 2 2 0 2 3 bx ax a     的解集为  1,2 ，则 a b  . 【答案】0 【来源】上海市曹杨第二中学 2022-2023学年高一上学期期中数学试题 试卷第 3页，共 15页 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】化简不等式，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，列关系式求 a，b即可. 【详解】不等式 2 2 0 2 3 bx ax a     可化为    22 2 3 0bx ax a    或 2 0bx   ， 因为不等式 2 2 0 2 3 bx ax a     的解集为  1,2 ，所以方程 2 0bx   的解为 2x  ，不等式    22 2 3 0bx ax a    的解集为  1,2 ， 所以 1b  ， 0a  ， 1x   是方程 22 3 0ax a   的解， 所以 2 2 3 0a a   ， 0a  ，所以 1a   ，所以 0a b  ， 故答案为：0. 7.关于 x的不等式 5 0mx x m    的解集为 S，若5 S 且7 S ，则实数 m的取值范围 . 【答案】 5 ,1 (5,7] 7      【来源】上海市青浦区 2021-2022学年高一上学期期末数学试题 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求 m的取值范围. 【详解】若5 S 且7 S ， 则 5 5 0 5 7 5 0 7 m m m m         或 5 5 0 5 7 0 m m m       ，解得：5 7m ≤ 或 5 1 7 m  ， 所以m的取值范围是 5 ,1 (5,7] 7      . 8．已知关于 x的不等式 2 2 2 3 0 2( 1) 9 4 x x mx m x m        的解集是 ( , 1) (3, )    ，则实数m的 取值范围是 ． 【答案】 1( , ] 2   【来源】上海市嘉定区育才中学 2023-2024学年高一上学期期中调研考试数学试题 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由条件知 2 2 2 3 0 2( 1) 9 4 x x mx m x m        与 2 2 3 0x x   同解，再对m分类讨论，结合 二次函数的图象和性质求出实数m的取值范围. 【详解】由 2 2 3 0x x   ，解得 1x   或 3x  ， 试卷第 4页，共 15页 由条件知 2 2 2 3 0 2( 1) 9 4 x x mx m x m        与 2 2 3 0x x   同解， 当 0m  时，显然不符合条件； 所以 0 Δ 0 m    ，或 0 Δ 0 1 [ 1,3] m m m           ，即 2 0 8 2 1 0 m m m      ，或 2 0 8 2 1 0 1 [ 1,3] m m m m m             ， 解得 1 2 m   或 1 2 m   ，即 1 2 m   . 所以m的取值范围为 1( , ] 2   . 故答案为： 1( , ] 2   . 9．12．已知实数 0a ，若关于 x的不等式 ||| 1| ax a x  的解集中有且仅有 3个整数，则 a 的取值范围是___________． 【答案】        2 31 6 213 ， 【详解】若 10  a ，当 0x 时有 0 1  axx a x ，于是 |||1| ax a x  恒成立，此时 解集中的整数有无数个． 若 1a ，当 a x 1 时有 axx a x  10 ，于是 |||1| ax a x  恒成立，原不等式无解； 当 a x 10  时，有 ax a x  01 ，于是 |||1| ax a x  等价于 ax a x  1 ，解得 1 )1( 10    aa x ，此时原不等式无整数解； 当 0x 时，有 00 1  ax a x ， ，于是 |||1| ax a x  等价于 ax a x  1 ，解得 )1( 10 aa x   ，此时原不等式必须有 3个整数解，∴这三个整数解为0、 1 、 2 ，∴ 3 )1( 12    aa ，解得 a的取值范围是        2 31 6 213 ， ． 10．已知关于 x的不等式 1 1 2 1x a x     有实数解，则实数 a的取值范围为 . 【答案】 1 2 a  【来源】上海市虹口区上财附属北郊高级中学 2023-2024学年高一上学期期中数学试题 试卷第 5页，共 15页 【知识点】分段函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由题意  min2 1 1 1a x x     ，构造函数 ( ) 1 1f x x x    ，求解函数的最小值 即可求解. 【详解】因为不等式 1 1 2 1x a x     有实数解，所以 2 1 1 1a x x     有实数解， 所以  min2 1 1 1a x x     ，记 ( ) 1 1f x x x    ， 则   2 , 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x          ，当  1,1x  时，   2f x  ， 当  , 1x   时，   2f x x  ，此时函数  f x 单调递减，所以      2 1 2f x      ， 当  1,x   时，   2f x x ，此时函数  f x 单调递增，所以   2 1 2f x    ， 综上，函数  f x 取最小值为 2，所以2 1 2a   ，解得 1 2 a  ， 所以 1 2 a  . 故答案为： 1 2 a  11.已知实数 a，b满足 0 1b a   ，若关于 x的不等式  2 2 21 2 0a x bx b    的解集中有且 仅有 3个整数，则实数 a的取值范围是 ； 【答案】  1,3 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学 2022-2023学年高一上学期第一次月考数学卷 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合 1 a 对 a进行分类讨论，分  1,1a  ， 1a  和 1a  三种情况，求出符合要求的实数 a的取值范围. 【详解】  2 2 21 2 0a x bx b    可变形为    1 1 0a x b a x b            ， 因为 0 1b a   ，所以0 1 1 b a    ， 其中 1 a ， 当  1,1a  时，  2 2 21 2y a x bx b    开口朝下，不合题意； 当 1a  时， 22 0bx b  ，解得： 2 bx  ，所以不满足整数解有且仅有 3个，舍去； 试卷第 6页，共 15页 当 1a  时，  2 2 21 2y a x bx b    开口朝上， 因为 0 1 b a   ，所以不等式解集为 1 1 b a bx x a         ， 此时要想不等式解集中有且仅有 3个整数，则这 3个整数解为 0，-1，-2， 则必有 3 2 1 b a      ，所以    2 1 3 1a b a    ，结合0 1b a   ， 所以  2 1 1a a   ，所以1 3a  ， 综上：  1,3a 故答案为：  1,3 . 12. 若由正整数构成的集合 S满足对任意 ,a b S 且 a b ， a b N ，则称集合 S为“和 不方集”. 对正整数 n，记  1,2,3, ,I n  ， | ,mP m I k I k         ，若存在两个和不方集 A 和 B，使得 A B P ， A B  ，则 n的最大值为 . 【答案】14 【详解】先证当 14n  ．假设 15n  ，不妨设1 A ，则由于 21 3 2  ， 3 A  ，即3 B ．同 理可得， 6 A ，10 B ．又推出15 A ，但 21 15 4  ，这与 A为和不方集相矛盾． 再证 14n  满足要求．当 1k  时， 1 | , 1 mP m I k k         ，可以分成下列两个和不方集的并：  1 1,2,4,6,9,11,13A  ，  1 3,5,7,8,10,12,14B  ． 当 4k  时，集合 4 | , 4 mP m I k k         中，除整数外，剩下的数组成集合 1 3 5 13, , , , 2 2 2 2        ， 可以分为下列两个和不方集的并： 2 1 5 9 11, , , 2 2 2 2 A       ， 2 3 7 13, , , 2 2 2 B       . 当 9k  时，集合 9 | , 9 mP m I k k         中，除整数外，剩下的数组成集合 1 2 4 5 13, , , , , 3 3 3 3 3        ， 可以分为下列两个和不方集的并： 3 1 4 5 10 13, , , , 3 3 3 33 A       ， 3 7 8 11 14, , , 3 33 , 3 3 2B       . 最后，集合 | , , 1,4,9 mC m I k I k k          中的数的分母都是无理数，它与 P中的任何其它 数之和都不是整数. 试卷第 7页，共 15页 因此，令 2 31 CA A A A    ， 2 31B B B B   即可． 综上可得， n的最大值为 14． 二、单选题 13. 若 1 0a b    ，则有 A． 2 2 1 1 b a b a    B． 2 2 1 1 a b b a    C． 2 2 1 1 b a a b    D． 2 2 1 1 a b a b    【答案】A 【来源】【校级联考】辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学 校 2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用特殊值，比较 2 21 1, , ,a b a b 的大小，由此得出正确选项. 【详解】令 1 1, 2 4 a b    ，则 2 2 1 1 1 12, 4, , 4 16 a b a b       ，所以 2 2 1 1 b a b a    .故选 A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值法比较数的大小，属于基础题. 14．已知集合    3 2 , 1A x x B x x m       ﹒已知 2 1m   ，命题 :p x A ，命题 :q x B ，则命题 p是命题 q成立的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【来源】上海市实验学校 2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件、几何意义解绝对值不等 式 【分析】先求集合 B，根据题意分析可得 B A ，结合充分、必要条件结合集合间的关系分 析判断. 【详解】因为    | 1 | 1 1       B x x m x m x m ， 且 2 1m   ，则 3 1 0, 1 1 2       m m ， 可知 B A ，所以命题 p是命题 q成立的必要不充分条件. 故选：C. 15．已知集合    21,1, 2 , | ,A B y y x x A     ，则满足    A B S A B   的集合 S共有 （ ）个 试卷第 8页，共 15页 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【来源】上海市上海中学 2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】先求出集合 B，进而求得 A B ， A B ，进而根据集合间的包含关系求解即可. 【详解】因为  1,1, 2A   ，    2| , 1, 4B y y x x A    ， 所以  1A B  ，  1,1,2,4A B   ， 所以满足条件的集合S为： 1 ， 1,1 ， 1,2 ， 1,4 ， 1,1,2 ， 1,1,4 ，  1,2,4 ， 1,1,2,4 ，共 8个. 故选：D. 16. 已知函数    2 2 1 Rf x x ax a    ，若非空集合       0 , 1A x f x B x f f x   ∣ ∣ ， 满足 A B ，则实数 a的取值范围是（ ） A． 1 2, 1     B． 2, 1    C． 1, 2   D． 1,1 2   【答案】A 【详解】因为   2 2 1f x x ax   ， 不妨设 ( ) 1f x  的解集为[ , ]m n ，则由    1f f x  得  m f x n  ， 所以       1 nB fx f f x x m x    ∣ ∣ ， 又   0A x f x ∣ ， A B  ，所以 0n  且 min( ) 0m f x  ， 因为 ( ) 1f x  的解集为[ , ]m n ，所以 ,m n是 ( ) 1f x  ，即 2 2 1 1x ax   的两个根， 故 2m n a  ，即 2m a ， 此时由 0m n  ，得 2 0a  ，则 0a  ， 因为   2 2 1f x x ax   ，显然 24 4 0a    ，且  f x 开口向上，对称轴为 x a ， 所以     2 2 2min 2 1 1f a aa afx       ，则 22 1 0a a    ， 又 0a  ，解得 2 1 1a     ，即 1 2, 1a       . 三、解答题 试卷第 9页，共 15页 17．已知常数 aR ，集合 2 11 3 2 xA x x       ，集合  2 22 3 0B x x ax a    . (1)若 2a  ，求 A B ； (2)若 A B A ，求实数 a的取值范围. 【答案】(1) ( 2,2) ； (2) 5 2 3 3 a   ． 【来源】上海市复旦大学附属中学 2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（A卷） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、 分式不等式 【分析】（1）解不等式确定集合 ,A B后，由交集定义计算； （2）由 A B A 得 B A ，然后由集合包含的定义求解． 【详解】（1） 2 02 11 5 53 0 0 2 5 ( 5)( 2) 02 2 2 xx x x x x xx x x                      ， ( 2,5]A   ， 2a  时， 2{ | 4 12 0} { | ( 2)( 6) 0} ( 6,2)B x x x x x x          ， ( 2, 2)A B   ； （2）由 A B A 得 B A ， 0a  时， 2{ | 0}B x x   ，满足题意， 2 22 3 0x ax a   的两根分别是 a和 3a ， 0a  时， ( 3 , )B a a  ，由题意 2 3 5a a     ，解得 20 3 a  ， 0a  时， ( , 3 )B a a  ，由题意 2 3 5a a     ，解得 5 0 3 a   ， 19．（18分）（1）已知二次函数  y f x 的最大值是 4，且不等式   0f x  的解集为  1,3 ， 解关于 x的不等式  2 02 f x x x    ； （2）关于实数 x的不等式    2 21 1 2 2 a a x     与      2 3 1 2 3 1 0x a x a a     R 的解集 依次记为A和 B，求使 A B 的实数 a的取值范围． 试卷第 10页，共 15页 【详解】（1）设    2 0f x ax bx c a    ，由题意得 0a  ， 24 4 4 0 1 9 3 0 ac b a a b c a a b c                ， 2b  ， 3c  所以   2 2 3f x x x    ．（4分）         2 2 3 12 3 0 0 2 2 1 x xx x x x x x                 3 1 2 1 0x x x x     且 2x   且 1x  ，（3分） 解得 2x x   或 1 <1x 或 3x  ．（2分） （2）           2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 2 a a a a A x x x a x a                   （2分）     2 3 1 0B x x x a       ，（2分） （1） 1 3 a  时，  3 1 2B x a x    ， 由 A B 得， 23 1 2 1 2 1a a a a        （2分） （2） 1 3 a  时，  2 3 1B x x a    由 A B 得， 22 2 1 3 1 1 3a a a a        （2分） 综上所述：    1,3 1a  ．（1分） 19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为 30万元，每万件产品还需另外投入 16万元， 设该公司一年内共生产 x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为  R x 万元，且 已知   2 400 6 ,0 40,10000 Z = 7400 40000, 40,10000 Z x x x R x x x x x          . (1)求一年的总利润 W（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式： (2)已知某年的年产量超过 40万件，当年产量为多少万件时，公司在该款产品的生产中所获 得的总利润最大?并求出最大总利润.（总利润=总销售收入-固定成本-额外投入） 【答案】(1) 26 384 30,0 40,10000 Z 4000016 7370, 40,10000 Z x x x x W x x x x              ， 试卷第 11页，共 15页 (2)50; 5770万元 【来源】上海市建平中学 2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据总利润=总销售收入固定成本额外投入即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）一年的总利润:     2 2 400 6 30 16 ,0 40 6 384 30,0 40,10000 Z 30 16 = =7400 40000 4000030 16 , 40 16 7370, 40,10000 Z x x x x x x x x W xR x x x x x x x x x x x                               （2）年产量超过 40万件，即 40x  ，此时 40000 250016 7370 16 7370 16 2 2500 7370 5770W x x x x                  ， 当且仅当 2500=x x ，即 =50x 时取等号. 故当年产量为 50万件时，公司在该款产品的生产中所获得的总利润最大，最大总利润为 5770 万元. 20．已知函数 2( ) 2, R   f x x ax a ． (1)若不等式 ( ) 0f x  的解集为[1, 2]，求不等式 2( ) 1f x x  的解集； (2)若对于任意 [ 1,1]x  ，不等式 ( ) 2 ( 1) 4f x a x   恒成立，求实数 a的取值范围； (3)已知 ( )g x x m   ，当 3a   时，若对任意 1 [1, 4]x  ，总存在 2 (1,8)x  ，使    1 2f x g x 成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)  1, 1,2       ； (2) 1, 3     ； (3) 317, 4       【来源】江苏省南京市东山高级中学 2022-2023学年高一上学期 10月月考数学试题 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、解不含参数的一元二 试卷第 12页，共 15页 次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由1,2为方程 2 2 0x ax   的两个不等实数根，根据韦达定理求解a，然后解 一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令   2 2 2ah x x x a   ，可得   0h x  对 [ 1,1]x  恒成立，只需满足     1 0 1 0 h h      ，求解a的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数  f x 与  g x 的值域，将问题转化为函数  f x 值域是函数  g x 值域的子集列不等式组求解. 【详解】（1）由题意，1,2为方程 2 2 0x ax   的两个不等实数根， 1 2 3a a       ，所以不等式 2( ) 1f x x  为 2 2 23 2 1 2 3 1 0x x x x x        ， 解得 1 2 x  或 1x  ，所以不等式解集为  1, 1,2       . （2） 2( ) 2 ( 1) 4 2 2 0f x a x x x aa       对 [ 1,1]x  恒成立， 令   2 2 2ah x x x a   ，即   0h x  对 [ 1,1]x  恒成立， 因为函数  h x 开口向上，故只需满足    1 0 1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 h a a h a a               ， 解得 1 3 a  ，所以 a的取值范围为 1, 3     （3）当 3a   时， 2( ) 3 2f x x x   ，开口向上，对称轴为 3 2 x  当 [1, 4]x 时， min 1( ) 4 f x   ， max( ) 6f x  ， 1 ( ) 6 4 f x   ， (1,8)x 时，  ( ) 8 , 1g x m m     ，由题意， 对任意 1 [1, 4]x  ，总存在 2 (1,8)x  ，使    1 2f x g x 成立， 即函数  f x 的值域是函数  g x 的值域的子集， 即  1 ,6 4 8 , 1m m         ， 18 4 1 6 m m         ， 解得 317 4 m  ，所以m的取值范围为 317, 4       . 试卷第 13页，共 15页 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法； ②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 21．已知集合  1,2,3, ,A n  ，其中 * 1 2, , , , mn A A AN  都是A的子集且互不相同，记 i iM A 的元素个数，  ij i jN A A  的元素个数  ( , 1, 2, , , )i j m i j  . (1)若    1 2 13 234, 1, 2 , 1,3 , 1n A A N N     ，直接写出所有满足条件的集合 3A ； (2)若 5n  ，且对任意1 i j m   ，都有 0ijN  ，求m的最大值； (3)若  7, 3 1,2, ,in M i m    且对任意1 i j m   ，都有 1ijN  ，求m的最大值. 【答案】(1) 3 {1}A  或 3 {1, 4}A  或 3 {2,3}A  或 3 {2,3, 4}A  (2) max 16m (3) maxm n 【来源】北京市北师大附属实验中学 2024届高三下学期 3月零模数学试题 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合 {1, 2,3, 4,5}A  的子集进行两两配对得到 16组，写出选择A的 16个含有元素 1 的子集即可得到 maxm ； （3）分 1 ~ mA A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及 1 ~ mA A 均为三元集合讨论 即可. 【详解】（1）因为 13 23 1N N  ，则 1 3A A 和 2 3A A 的元素个数均为 1， 又因为    1 24, 1,2 , 1,3n A A   ，则  1,2,3,4A  ， 若  1 3 1A A  ，  2 3 1A A  ，则 3 {1}A  或 3 {1, 4}A  ； 若  1 3 2A A  ，  2 3 3A A  ，则 3 {2,3}A  或 3 {2,3, 4}A  ； 综上 3 {1}A  或 3 {1, 4}A  或 3 {2,3}A  或 3 {2,3, 4}A  . （2）集合 {1, 2,3, 4,5}A  共有 32个不同的子集， 试卷第 14页，共 15页 将其两两配对成 16组 , ( 1, 2, ,16)i iB C i   ， 使得 ,i i i iB C B C A    ，则 ,i iB C 不能同时被选中为子集 ( 1,2, , )jA j m  ，故 16m  . 选择A的 16个含有元素 1的子集: 1 2 3 16{1}, {1, 2}, {1,3},A A A A A     ，符合题意. 综上， max 16m . （3）结论: maxm n ，令 1 2 3{1}, {1, 2}, {1,3}, , {1, }nA A A A n    ，集合 1 ~ nA A 符合题意. 证明如下： ①若 1 ~ mA A 中有一元集合，不妨设 1 {1}A  ，则其它子集中都有元素 1，且元素 2 ~ n都至多 属于 1个子集， 所以除 1A外的子集至多有 1n 个，故m n . ②若 1 ~ mA A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设 1 {1,2}A  .其它子集分两类:  1,j jB b 或 1, , ( 1, 2, , )j jb b j s   ，和  2,j jC c 或 2, , ( 1, 2, , )j jc c j t   ， 其中 , ,j js t b b 互不相同， ,j jc c互不相同且均不为 1，2. 若 0t  ，则 2s n  ，有 1 1m s t n n      若 1t  ，则由 1 1jB C  得每个集合 jB 中都恰包含 1C 中的 1个元素（不是 2)，且互不相同， 因为 1C 中除 2外至多还有 2个元素，所以 2s  . 所以 1 1 2 2m s t n       . ③若 1 ~ mA A 均为三元集合，不妨设 1 {1,2,3}A  .将其它子集分为三类：      1, , ( 1, 2, , ), 2, , ( 1, 2, , ), 3, , ( 1, 2, , )j j j j j j j j jB b b j s C c c j t D d d j r          ，其中 s t r  . 若 0t r  ，则 3 2 ns  (除 1，2，3外，其它元素两个一组与 1构成集合 1 ~ sB B )， 所以 31 1 2 nm s n     . 若 1t  ，不妨设 1 {2, 4,5}C  ，则由 1 1jB C  得每个集合 jB 中都或者有 4、或者有 5， 又 1 2, , , sB B B 中除 1外无其它公共元素，所以 2s  . 所以 1 1 2 2 2 7m s t r n          . 试卷第 15页，共 15页 综上， maxm n . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对 1 ~ mA A 中集合元 素个数进行分类讨论；当 1 ~ mA A 均为三元集合时，不妨设 1 {1,2,3}A  ，再将其它子集分为 三类讨论. 闵行中学2024学年第一学期高一年级 数学学科期中考试卷 时间：120分钟 满分150分 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生必须在答题纸的相应编号的 空格内直接填写结果，1-6 填对每题得 4 分， 7-12 填对每题得 5 分． 1．已知集合，，则________． 2．已知正实数满足，则的最小值是________． 3．函数的图像恒过定点________． 4．若幂函数的图像经过点，则它的解析式________． 5．若关于的不等式的解集是，则________． 6．函数的定义域是________． 7．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 8．函数的最小值是________． 9．已知函数，则的值域为________． 10．已知正实数、满足，且，则________． 11．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的， 使成立，则称该函数为“依赖函数”．若函数在定义域 上为“依赖函数”，则的取值范围是________． 12．已知函数，，若不存在，使得，则实数的取值范围是________． 二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 小题，每题有且只有一个正确答 案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14 选对每题得 4 分，15-16 选对每题得 5 分，否则一律得零分． 13．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 14．已知，，则下列说法正确的是（ ） A．时，恒有 B．与的函数图像仅有唯一交点 C．时，图像在图像下方 D．存在使得 15．设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 16．设，若，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． （1）已知，求的值； （2）已知，，用表示． 18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知集合，集合，设集合． （1）求集合； （2）当时，求函数的最小值． 19．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 某校决定投资建一个形状为长方体的体育器材室，高度为3米，底面面积为36 平方米，它的后墙利用旧围墙改造（面积足够用），改造费用为每平方米4百元，正面用防火板建造,防火板每平方米造价为8百元，两侧墙用砖建造，每平方米造价为6百元，顶部每平方米造价为3百元，下底费用不计 （1）求器材室总造价（百元）关于器材室的正面长（米）的函数关系式； （2）应怎样设计才能使器材室总造价最低，并求出总造价的最小值． 20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其中且． （1）若，求的最小值； （2）若在区间上的最大值为2，求的值； （3）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$