广东省广州市广东外语外贸大学实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期高中部期中考试 高一数学 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的) 1、以下元素的全体能构成集合的是( ) A. 中国古代四大发明 B. 接近于1的所有正整数 C. 未来世界的高科技产品 D. 地球上的小河流 2、已知集合A=(1,3,a},B=(1.a+2,AB=A,则实数a的值为( A. (2) B. (-1.2) C. (1.2) D.(0.2) ,x<0,则/(/(-4)的值为( _△_ 3 ,>0 C. B. -9 D.9 4、已知全集U=R,集合A-{x10x1,B-(-1.1.2.4),那么阴影部分表示的集合 为) A.(-1.4{ B. f1.2.4 C.(1.4) D.(-1.2.4 5、已知a=0.7*1,b-0.7* ,c=2.1*,则这三个数的大小关系为(*) C. c<a<b A. b<a<c B. a<b<c D. c<ba 6、已知函数y=f(x)的定义域为[-2.3],则函数y-f(2-+1) 2的定义域为(*) _r1 B.)U(-1. C. [-3.7】 D. [-3.-1)U(-1.7] 8、对于使f(x)>M成立的所有常数M中,我们把其中的最大值叫做f(x)的下确界,若 ) 2a# D.-4 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分 9、若a、b、ceR,a<b<0,则下列不等式不正确的是(*) B.ab<2 C alel D. a(c2+)<b(c2+I 10、下列函数中既是奇函数,又在(0.+)上为减函数的是() A./f()- C./(x)- D./(i)-1 B./(x)--2024x 。 __ B.kE(-3.0] C.re(-3.-1) A. kE(-3.0) D. te(-3.+o) 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12、不等式x2<4x的解集为__ 13、已知函数v=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)= [-2-ax-9,x1 14、若函数f(x)-{ 在R上单调递增,则实数a的取值范围为. >I 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15、(本题满分13分) 设全集-R,第台A4-(c-2)x-)0<oB-{”→1). (1)求AUB(C.A)OB; (2)若集合C=x2x+a>0,且xeB是xeC的充分条件,求a的取值范围. 16、(本题满分15分) 已知幕函数f(x)=(2m-6m+5)x”*的图象关于v轴对称. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数v=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2.3)上为单调函数,求实数a的取值范围 17、(本题满分15分) 某企业为进一步增加市场竞争力,计划利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生 产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产x(千部)手机,需另外投入成本R(x)万 10x2+100x+800 .0<x<50 元,其中R(x)= 10000 .已知每部手机的售价为5000元.假 504r -6450 -2 .>50 设生产的手机全部销售完. (1)求利用新技术后该款手机的利润v关于年产量x的函数关系式; (2)当年产量x为多少时,企业所获得的利润最大?最大利润是多少? 18、(本题满分17分) 已知函数f(x)=a*(a>0且az1)的图象经过点(2,4). (1)求a的值: 求F(x)在[o.1]上的最小值g(n)的表达 式,并求g(n)的最值. 19、(本题满分17分) (1)求函数f(x)的解析式. (2)解关于a的不等式f(3a+)+f(2a-)>01 2024 学年第一学期高中部期中考试 高一 数学 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1、以下元素的全体能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．接近于 1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【解析】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故 A满足； 接近于 1的正整数不确定，不能构成集合，故 B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故 C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故 D不满足； 故选 A． 2、已知集合 2{1,3 },A a ， {1, 2}B a  ， A B A ，则实数 a的值为（ ） A．{2} B．{ 1,2} C．{1,2} D．{0,2} 【答案】A 【解析】由 A B A ，知 B A ， 当 2 3a   ，即 1a  ，则 2 1a  ， 与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当 22a a  ，即 1a   或 2a  ． 若 1a   ，则 2 1a  ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若 2a  ，则  1,3,4A  ， {1,4}B  ，满足要求．综上， 2a  ． 3、已知函数 1 2( ) , 0( ) 3 , 0x x xf x x       ，则  ( 4)f f  的值为（ ） A． 1 9  B． 9 C． 1 9 D．9 【答案】D 【解析】∵ 1 2( 4) (4) 2f    ， 2 ∴   2(4) (2) 3 9f f f   4、已知全集U R，集合  | 0 1A x x   ，  1,1, 2, 4B   ，那么阴影部分表示的集合 为（ ） A． 1,4 B． 1,2,4 C． 1,4 D． 1,2,4 【答案】D 5、已知 2.10.7a  ， 2.50.7b  ， 0.72.1c  ，则这三个数的大小关系为（ * ） A．b a c  B． a b c  C．c a b  D． c b a  【答案】A 【解析】 0.7 0 0 2.1 2.52.1 2.1 1 0.7 0.7 0.7     ，故选 A 6、已知函数 ( )y f x 的定义域为[ 2,3] ，则函数 (2 1) 1 f xy x    的定义域为（ * ） A． 3 ,1 2     B．  3 , 1 1,1 2       C．  3,7 D．    3, 1 1,7   【答案】B 【解析】 2 2 1 3 1 0 x x        ，故选 B． 7、   20.5 31 21 105 1 0.75 2 16 27                  （ ） A． 9 4 B． 4 9 C． 9 4  D． 4 9  【答案】A 【解析】原式 22 0.5 2 3 3 99 3 4 4 4 3 9 9 9+ + 4 16 16 4                              ． 8、对于使 ( )f x M 成立的所有常数M 中，我们把其中的最大值叫做 ( )f x 的下确界，若 正数 ,a bR且 1a b  ，则 1 2 2a b  的下确界为（ ） A． 9 2 B． 9 2  C． 1 4 D． 4 【答案】A 【解析】本题意在求 1 2 2a b  的最小值 3 1 2 1 2( )( ) 2 2 a b a b a b     5 2 5 2 9( ) ( 2 ) 2 2 2 2 2 b a b a a b a b        ，故选 A． 二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分） 9、若 a、b、 c R ， 0a b  ，则下列不等式不正确的是（ * ） A． 1 1 a b  B． 2ab b C．a c b c D． 2 2( 1) ( 1)a c b c   【答案】ABC 【解析】 0a b  ，∴ 1 0ab  ，∴ 1 1a bab ab   ，即 1 1 b a  ，A中的结论错； 0a b  ，∴ 2ab b ，B中的结论错； 0c  时， a c b c ，C中的结论错 2 1 0c   恒成立，而 0a b  10、下列函数中既是奇函数，又在  0, 上为减函数的是（ ） A． 3( )f x x B． ( ) 2024f x x  C． ( )f x x D． 1( )f x x  【答案】BD 11、使命题“ x R， 2 32 0 8 kx kx   ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．  3,0k  B．  3,0k  C．  3, 1k   D．  3,k   【答案】AC 【解析】因为“ x R， 2 32 0 8 kx kx   ”为真命题， ∴ 0k  或 2 0 34 2 ( ) 0 8 k k k        ，解得  3,0k  ，故 B选项为充要条件 AC两个选项表示的集合均为  3,0k  的真子集，故选 AC．（要理解：选项是题干的充分 不必要条件） 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12、不等式 2 4x x 的解集为 4 【答案】 0 4x x  或 (0, 4) 【解析】不等式 2 4x x 可化为 2 4 0x x  ，解得0 4x  ． 13、已知函数 ( )y f x x  是偶函数，且 (2) 1f  ，则 ( 2)f   ． 【答案】5 【解析】∵函数 ( )y f x x  是偶函数， ∴ ( ) ( )f x x f x x    ， ∴ ( 2) 2 (2) 2f f    ． ∴ ( 2) 2 1 2f     ， ∴ ( 2) 5f   ． 14、若函数 2 9 , 1 ( ) , 1 x ax x f x a x x        在R上单调递增，则实数 a的取值范围为 ． 【答案】 5, 2  【解析】 2 9x ax   在 1x  时单调递增，则 1 2 ( 1) a     a x 在 1x  时单调递增，则 0a  考虑到该函数 1x  处分段，故 21 1 9 1 aa     即 2 1 2 ( 1) 0 1 1 9 1 a a aa             解得 5 2a    ． 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15、（本题满分 13分） 设全集U R ，集合  ( 2)( 4) 0A x x x    ， 2 8 3 7 12 2 x xB x              . （1）求 A B ， ( )UC A B ； （2）若集合  2 0C x x a   ，且 x B 是 x C 的充分条件，求a的取值范围. 5 【解析】（1）由题意，集合 (2,4)A  …………………2 分 2 8 3 7 12 2 x x         可化为 3 7 8 22 2x x  …………………3分 考虑到函数 2xy  单调递增，故3 7 8 2x x   ，…………………4分 ∴解得 3x  ，即集合  3,B   …………………5分 结合数轴，易知 (2, )A B   ，   (4, )U A B  ð ．…………………6 分 （2）由题意， 2 aC x x       ， …………………8 分 ∵ x B 是 x C 的充分条件， ∴ B C …………………10 分 结合数轴，从而 3 2  a ，…………………11 分 解得 a≥-6． ∴ a的取值范围是 ),6[  . …………………13 分 16、（本题满分 15分） 已知幂函数 2 1( ) (2 6 5) mf x m m x    的图象关于 y 轴对称． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若函数 ( ) 2( 1) 1y f x a x    在区间  2,3 上为单调函数，求实数 a的取值范围． 【解析】（1）由题意， 22 6 5 1m m   ，解得 1m  或 2m  …………………3 分 而 1m  时， 3( )f x x 为奇函数，…………………5分 故 2m  ∴ 2( )f x x …………………7分 （2）由（1）得 2 2( 1) 1y x a x    ，其对称轴为 1x a  …………………10 分 ∴当 1 2a   或 1 3a   时满足题意…………………13 分 ∴ 3a  或 4a  …………………15 分 17、（本题满分 15分） 某企业为进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生 6 产该产品全年需要投入研发成本 250万元，每生产 x（千部）手机，需另外投入成本 ( )R x 万 元，其中 210 100 800 ,0 50 ( ) 10000504 6450 , 50 2 x x x R x x x x            ，已知每部手机的售价为 5000元．假 设生产的手机全部销售完． （1）求利用新技术后该款手机的利润 y关于年产量 x的函数关系式； （2）当年产量 x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）当 0 50x  时， 2 2500 (10 100 800) 250 10 400 1050y x x x x x         …………………3 分 当 50x  时， 10000 10000500 (504 6450) 250 4 6200 2 2 y x x x x x            …………………6分 ∴ 210 400 1050 ,0 50 100004 6200 , 50 2 x x x y x x x             …………………7分 （2）当0 50x  时， 2 210 400 1050 10( 20) 2950y x x x        ………………8 分 此时， 20x  时取得最大值，最大值为 2950；…………………9 分 当 50x  时， 10000 100004 6200 4( 2) 6192 2 2 y x x x x            …………………9分 其中， 10000 10000 100004( 2) 4( 2) 2 4( 2) 400 2 2 2 x x x x x x                   …………12 分 当且仅当 100004( 2) 2 x x    ，即 52x  时取等号， 此时 100004 6200 5792 2 x x      ……………13 分 而 2950 5792 ∴年产量为 52x  （千部）时，企业利润最大，最大值为5792万元．……………15 分 18、（本题满分 17分） 已知函数 ( ) xf x a （ 0a  且 1a  ）的图象经过点 (2, 4)． 7 （1）求a的值； （2）设 2 2 1( ) 2 2 2 ( ) ( ) x xF x m f x f x          ，求 ( )F x 在  0,1 上的最小值 ( )g m 的表达 式，并求 ( )g m 的最值． 【解析】（1）由题意， 2 4a  ，而 0a  且 1a  ，故 2a  ． （2） 2a  ，则 ( ) 2xf x  ……………3 分 令 1( ) ( ) t f x f x   ，则 1 12 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x xt       ……………4分 考虑到 2xy  和 1( ) 2 xy   都是增函数……………5 分 ∴ 1 12 2 ( ) 2 2 x x x xt     是增函数，故  0,1x 时， 30, 2 t     ……………7分 而 2 2 2 22 2 (2 2 ) 2 2x x x x t       ∴ 2( ) 2 2F x t mt   令 2( ) 2 2h t t mt   ， 30, 2 t     ，对称轴为 t m ……………9 分 ① 0m  时， ( )h t 的最小值，也即 ( )F x 在 0,1 上的最小值，为 (0) 2h  ……………10 分 ② 30 2 m  时， ( )h t 的最小值，也即 ( )F x 在 0,1 上的最小值， 为 2( ) 2h m m   ……………11 分 ③ 3 2 m  时， ( )h t 的最小值，也即 ( )F x 在 0,1 上的最小值， 为 3 17( ) 3 2 4 h m   ……………12 分 ∴ 2 2 , 0 3,02( ) 2 17 33 ,4 2 m mmg m m m            ……………13 分 30 2 m  时， ( )g m 单调递减， 2 1( ) 2 ( ,2) 4 g m m     ；……………14 分 3 2 m  时， ( )g m 单调递减， 17 3 1( ) 3 ( ) 4 2 4 g m m g      ……………15 分 8 综上所述， ( )g m 的最大值是 2，无最小值．……………17 分 19、（本题满分 17分） 已知函数 ( )f x 是定义在  3,3 上的奇函数，当0 3x  时， 21( ) 2 f x x x  ． （1）求函数 ( )f x 的解析式． （2）解关于 a的不等式 (3 1) (2 1) 0f a f a    ． 【解析】（1）∵ ( )f x 为奇函数，且定义域包含 0，故有 (0) 0f  ，……………1 分 设 3 0x   ，则0 3x   ，……………2 分 ∴ 2 2 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 f x x x x x       ……………4分 而 ( ) ( )f x f x   ……………5 分 ∴ 3 0x   时， 2 21 1( ) ( ) 2 2 f x x x x x      ……………6分 综上所述， 2 2 1 , 3 0 2 ( ) 0 , 0 1 ,0 3 2 x x x f x x x x x               ……………7 分 （2）①当 3 0x   时， 2 21 1 1( ) ( 1) 2 2 2 f x x x x       单调递增，则 ( ) (0) 0f x f  ……………8分 ②0 3x  时， 2 21 1 1( ) ( 1) 2 2 2 f x x x x     单调递增，则 ( ) (0) 0f x f  ……………9分 故 ( )f x 在 3,3 上单调递增……………10 分 考虑到 ( )f x 是奇函数 ∴ (3 1) (2 1) 0 (3 1) (2 1) (1 2 )f a f a f a f a f a           ……………12 分 根据 ( )f x 单调性和奇偶性，易知 3 1 1 2 3 3 1 3 3 1 2 3 a a a a            ，……………15 分 9 解得 20 3 a  ．……………17 分