精品解析：四川省泸县普通高中共同体2024-2025学年高二上学期期中联合考试数学试题

泸县普通高中共同体2024年秋期高二期中联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第1卷 （选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】高一抽取的人数分别， 故选B． 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，将复数整理为标准形式，利用复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，可得， 复数在复平面内的对应点为，则该点位于第二象限. 故选：B. 3. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由图得出用表示的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得. 【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到， 由向量与共线，可得，解得：. 故选：D. 4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：C. 5. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性质结合线线以及线面的位置关系可判断CD； 【详解】对于A，若，则或， 又，当时，在内必存在直线l和m平行，则； 当时，显然有，所以，故A正确； 对于B，若，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误； 对于C，若，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误； 对于D，若，则或，又，则或，故D错误. 故选：A. 6. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）． A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染” B. 从2日到5日空气质量越来越好 C. 这14天中空气质量指数的中位数是214 D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线图直接分析各选项. 【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误； B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确； C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误； D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误； 故选：B. 7. 三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0得到向量垂直可判断B；根据投影向量的定义可计算出投影向量从而判断C，得出向量共面可判断D． 【详解】因为，所以， 可得， 则向量与向量的夹角为，故A错误； 因， ， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C正确； 由向量，可知， 向量与向量共面，所以D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则 B. 若，则事件A与事件B相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 若，，且事件A与事件B相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽样方法相关概念、独立事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A，根据抽样方法的使用规则，可知A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{至多中一次}={中枪的次数为}， 由，则事件包含事件，故C错误； 对于D，由，则， 因事件与事件相互独立，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（ ） A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为 B. 若三棱锥的体积是定值 C. 若，有且仅有一个点P，使得平面 D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，△面积恒定，到面的距离恒定，即可判断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而判断夹角的范围. 【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点， 连接，则， 又且，即为平行四边形，所以， 所以异面直线BP与所成角，即为或其补角， 而，，， 故，故A错误； B：由知：在（含端点）上移动，如下图示， △面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确； C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动， 由面，面，则面面， 由，面面，面， 所以面，面，则，同理可证：， 由，、面，故面， 而面面，要使面，则必在面内， 显然面，故C错误； D：由知：在（含端点）上移动， 如图以为原点，分别为轴建系， 则，，，则， 设，则， 所以，令， 当，即时，，此时直线和所成角是； 当，即时，则， 当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得. 【详解】因为平均数， 所以方差. 故答案为： 13. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】结合圆锥的几何特征，分别求出，最后应用圆锥体积公式计算. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则， 所以，所以圆锥的体积为. 故答案为： 14. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案； 【详解】设锐二面角的平面角为， ，则 ，则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数； （2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数； （2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知测试成绩的平均数 . 测试成绩落在区间的频率为， 落在区间的频率为， 所以设第57百分位数为a，有， 解得； 【小问2详解】 由题知，测试分数位于区间、的人数之比为， 所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示， 从这5人中抽取2人的所有可能情况有： ，，，，，，，，，，共10种， 其中“分别落在区间和”有6种， 所以. 16. 记的内角，，所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是的中线，且，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换求角； （2）由三角形的面积公式得的值，再由向量的线性运算及向量的模求的值，最后由余弦定理求的值. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵，∴. ∴，即. 【小问2详解】 ∵由题意得， ∴. ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， 由余弦定理得， ∴. ∴的周长为. 17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平局的概念，列举出所包含的情况，利用概率的乘法公式，可得答案； （2）根据第一阶段的规则，列举出符合题意的比分，利用概率的乘法公式以及加法公式，可得答案. 【小问1详解】 每一轮出现平局的情况包括：事件{甲乙两队都进球}和事件{甲乙两队都不进}， ，，， 所以每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为. 【小问2详解】 在第三轮比完之后，甲乙两队分差小于三分，就必须要进行第四轮， 第三轮符合题意的情况包括：事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}， 则，，； 第四轮比完之后，甲乙两队分差小于两分，就必须进行第五轮， 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}， 则； 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}， 则； 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}， 则，，； 综上所述，甲队暂时以领先，甲队第5个球员需出场罚球的概率 . 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：； （2）证明: （3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. 【小问3详解】 由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【小问1详解】 因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图： 过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． 【小问2详解】 （i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且， 设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县普通高中共同体2024年秋期高二期中联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第1卷 （选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为 A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 向量在正方形网格中位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）． A. 这14天中有5天空气质量“中度污染” B. 从2日到5日空气质量越来越好 C. 这14天中空气质量指数的中位数是214 D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 7. 三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 下列说法正确的是（ ） A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则 B 若，则事件A与事件B相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 若，，且事件A与事件B相互独立，则 11. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（ ） A. 若，则异面直线BP与所成角余弦值为 B. 若三棱锥的体积是定值 C. 若，有且仅有一个点P，使得平面 D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________. 13. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为______________. 14. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数； （2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 16. 记的内角，，所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是的中线，且，的面积为，求的周长． 17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率． 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：； （2）证明: （3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$