精品解析：广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷

广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是等差数列，且，则（ ） A. 55 B. 58 C. 61 D. 64 5. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数同时满足：①，当时，有；②，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的有（ ） A. B. C. D. 10. 德国数学家高斯用取整符号“”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数，如已知函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 11. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 当时， D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和为，且满足，则____． 13. 已知函数，，用表示，中的较小者，记为，则不等式的解集为______. 14. 已知函数，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证： 16. 已知函数. （1）若,求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在区间上的最小值为，求m的最小值. 17. 已知函数 （1）若在区间单调递增，求a的取值范围； （2）讨论的单调性. 18. 已知函数在区间单调，，且 （1）求图象的一条对称轴； （2）求的解析式； （3）在锐角中，若，求的取值范围. 19. 已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点. （1）证明：数列是等比数列； （2）记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求k的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 2. 一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 3. 设是第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简 ，通过充分条件与必要条件的概念结合三角函数的知识进行求解. 【详解】，满足 ，故充分性成立； 但当时，是第一象限角，则， 不一定得出，故必要性不成立； 所以是第一象限角，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知是等差数列，且，则（ ） A. 55 B. 58 C. 61 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 已知 ， 作差得，即， 所以. 故选：C 5. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得的取值范围． 【详解】当时，， 而在上的极值点个数少于等于零点个数，不满足题意； 所以， 函数在区间恰有三个极值点、两个零点， ，，求得 ， 故选：C 6. 学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据14人参加游泳比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数以及只参加田径一项比赛的人数，结合古典概型的概率求法即可求解． 【详解】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y， 只参加球类比赛的人数为z， 只参加游泳比赛的有人， 作出韦恩图， 由韦恩图得，解得，， 只参加田径一项比赛的人数为 所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈， 则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为 故选：A 7. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式的性质将原式变形为，进而求出的范围. 【详解】因为，，，则， 当且仅当时，等号成立， 即  ， 解得  ，或  （舍）， 解得， 故选：C. 8. 若函数同时满足：①，当时，有；②，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析出为偶函数且在 单调递增，比较自变量大小可得解. 【详解】根据题意的定义域为，①，当时，有，即， 所以满足 ，则 为偶函数， 又因为 ，恒成立， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 因为为偶函数，则， 而，所以， 根据指数函数的性质得出 ，所以， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用周期的定义，结合诱导公式逐项判断即可得出结果. 【详解】对于，故A正确； 对于B.，故B正确； 对于C.，， ，故不是以为周期的函数，故C错误； 对于D.函数的最小正周期为 ，所以也是它的一个周期，故D正确. 故选：ABD 10. 德国数学家高斯用取整符号“”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数，如已知函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简已知函数解析式，作出函数图象，结合函数图象检验各选项即可判断. 【详解】由题意得， 则，A正确； 其大致图象如图所示： 结合函数图象可知，函数的最大值为，没有最小值，B错误； 由图象可得，函数的周期为，故，C正确； 由图象可得，，故D正确， 故选：ACD. 11. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 当时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得到，，从而求出的值，再借助导函数求函数的单调性进行逐项判断即可 【详解】由的图象关于直线对称，且，， 则，， 即，解得， ， 则， 令，解得，或，或， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递减增， 当时，，函数在单调递减， 是的极小值点，故A正确; ，故B正确; 当时，若，则，故C错误; ， 的最大值为，故D正确. 故选：ABD . 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数解析式得到，，再利用对称性得到，，进而求出参数的值，再结合导数进行求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和为，且满足，则____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列的首项为，在中将换为，两方程相减可得数列的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得所求和． 【详解】解：， 可得时， ， 时，， 又， 两式相减可得， 即， 上式对也成立， 可得数列是首项为1，公比为的等比数列， 可得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题． 13. 已知函数，，用表示，中的较小者，记为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式并求解，再按定义求出的解析式，分类讨论解分段不等式即得. 【详解】由，， ， 则， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上知，不等式的解集是 故答案为： 14. 已知函数，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意只需利用导函数求在一个周期内的最大值即可求解. 【详解】由题意，，故为的一个周期， 故的最大值与在上的最大值相同， 由，， 或， 当时，即时，； 当时，即或时，， 从而在和上单调递减，在上单调递增， 从而的极大值为，， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证： 【答案】（1） （2）令， 则，令 ，解得或， 当时，， 的变化情况如下表所示： x 2 0 单调递减 单调递增 又因为，, 所以在区间的最大值为 即当时，恒成立，亦即 . 【解析】 【分析】（1）求出导数，解得切线的斜率，切点坐标，然后求解在点处的切线方程； （2）令，求解函数的导数，求出最大值，转化即可． 【小问1详解】 由题可知， ，则， 所以曲线 在点处的切线方程为； 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）若,求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在区间上的最小值为，求m的最小值. 【答案】（1）或； （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简可得，代入求得答案; （2）结合正弦函数的单调性即可求得答案; （3）由已知确定，结合正弦函数的最小值可得，即可求得答案. 【小问1详解】 由辅助角公式知 已知，即， 因为，则，所以或， 可得或； 【小问2详解】 令，，则， 因为 的单调递减区间是， 且由，得； 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当，则， 在区间上的最小值为， 即在上的最小值为， 又因为，所以， 即，所以m的最小值为. 17. 已知函数 （1）若在区间单调递增，求a的取值范围； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） . （2） 当  时，  在  单调递增； 当  时，  在区间  单调递减， 在区间  和  单调递增. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：当  时，  恒成立，结合对勾函数分析求解； （2）分  和  两种情况，结合导数以及不等式的解法分析求解. 【小问1详解】 函数  的定义域为  ，  ，  在区间  单调递增，即当  时，  恒成立， 亦即  在区间  恒成立； 因为  当且仅当  时取等号 所以 a 的取值范围为  . 【小问2详解】 ①当  时，  在  恒成立， 则在 单调递增； ②当 时，  ，易知  ， 令  ，解得  ，  ，且  当  ，  ；当  或  时，  ； 所以，  在区间  单调递减，在区间  和  单调递增. 综上所述，当  时，  在  单调递增； 当  时，  在区间  单调递减， 在区间  和  单调递增. 18. 已知函数在区间单调，，且 （1）求图象的一条对称轴； （2）求的解析式； （3）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由最小正周期，且且，可得图像的一条对称轴. （2）由（1）知，故，由，得，2或再由直线为图像的一条对称轴可得，又由，可得，或得出或，判断出当时从而得，即得答案. （3）因为，得，再根据三角形为锐角三角形得出B的范围，根据二倍角公式化简问题式结合对勾函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由题可知函数的最小正周期, 又因为且， 所以直线为图像的一条对称轴； 【小问2详解】 由（1）知，故，由，得，2或 由直线为图像的一条对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数，，使得，2或 若，则， 即不存在整数，，使得或3； 当时，，此时， 由，得，所以. 【小问3详解】 因为，所以, 因为在锐角中，，所以， 由，得，,则； 而， 当且仅当，即时，取最小值， 当或1时，，则的值域为， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的图象与性质分类讨论可求解析式；由三角形为锐角三角形确定B的范围，通过二倍角公式化简结合对勾函数的性质可计算范围. 19. 已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点. （1）证明：数列是等比数列； （2）记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求k的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） . 【解析】 【分析】（1）结合题意表示关系式，再由等比数列的定义，即可得证； （2）利用导数求解极值即可求得通项，从而求得通项，则当  ，  成立，即  成立，亦即  成立，结合导数求解最值从而求解. 【小问1详解】 令 ，即 ， 解得 ， . 由题意可知 ，， ，  ， 因为  ，而  是常数. 所以数列  是首项为  ，公比为  的等比数列； 【小问2详解】 易知， 令，解得， 当，即时， 0，则， 当，即时，，则 ， 因此当  ，  时， 取得极值. 由题意可知，， 所以  ， ， 所以  ； 当  ，  成立，即  成立， 亦即  成立； 设，则 ， 令得 ， 当  时， ，当  时，， 所以在区间  上单调递减；在区间上单调递增. 因为，当时，，且  ，； 因为，，， 所以  的最小值为  ； 因此  ，  成立，当且仅当  成立，解得 ， 所以 k 的最大值是  . 【点睛】思路点睛：利用三角函数的性质及导数研究函数的极值点得出通项，再计算，分离得后构造函数，判定其单调性计算最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $