精品解析：北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷

通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件求出值. 【详解】直线与直线平行，所以. 故选：A 2. 若向量，，满足条件，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以， 又， 即， 即，解得. 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】点关于坐标平面的对称点坐标为， 故选：B 4. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断直线的方向向量和平面的法向量的位置关系，从而判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 所以∥或 故选：C. 5. 法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到平面距离的向量法求解即得. 【详解】依题意，， 所以点到平面的距离为. 故选：D 6. 过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 . 【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、， 而圆，即，则圆的半径为2，圆心, , 故，故，进而可得， 故选：C． 7. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 8. 如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出、、即可求解. 【详解】由已知，在平行六面体中，， 又因为，所以，，， 所以. 故选：D 9. 如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的一般式方程可得直线的斜截式方程，然后根据斜率和纵截距的几何意义即可判断. 【详解】因为，所以，，， 由得， 取，，，满足，此时直线方程为，且通过第三象限； 反之，若直线不通过第三象限，即直线不通过第三象限， 所以，得， 所以“”是“直线不通过第三象限”的必要不充分条件， 故选：B. 10. 如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题的处理策略关键在于作出正方形框图，即得出P的轨迹为正方形，此外利用阿氏圆的定义确定M轨迹，再数形结合即可. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】由直线平行可得直线的方向向量平行，再利用空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】因为，所以∥，故存在实数使得， 则，解得，， 所以. 故答案为：6. 12. 过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和圆的对称性可知所求直线过圆心，因此可得直线的斜率，再由斜率确定倾斜角. 【详解】因为过点的直线平分圆， 所以圆心在所求直线上， 因此直线的斜率，所以， 因为，所以， 故答案为：. 13. 直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意可知当直线与过定点的直径垂直时，弦AB最短，通过垂直关系即可求出结果. 【详解】由题得，直线，即， ，解得：， 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为2， 当垂直直线时，弦最短， 此时直线为，则. 故答案为：. 14. 已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为________.若点在圆上，且，则满足条件的点共有________个. 【答案】 ①. 相交 ②. 4 【解析】 【分析】先求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离判断直线与圆相交；先求出点到的距离， 再结合圆心到直线的距离为和圆的半径为判断得解. 【详解】由题得，所以直线的方程为， 所以直线的方程为， 由可知，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 又， 设点到直线的距离为，则， 解得， 又圆心到直线的距离为，圆的半径为， 所以圆上有个满足条件的点. 故答案为：相交；. 15. 直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P，满足，则下列正确结论的序号是________. ①满足条件的点一定有两个； ②三棱锥的体积是三棱柱体积的； ③三棱锥的体积存在最小值； ④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先根据，利用勾股定理，可得，即可根据方程的根，利用求解①；利用等体积法即可求解②，结合即可求解③，根据三角形面积公式得，结合以及基本不等式即可求解面积最小值时，；最后结合平移的思想，可知即为所求，即可判断④． 【详解】设，则， 根据可得，化简可得， 当时，只有唯一的一个实数根，此时符合的点只有一个，故①错误， 由于平面，故，②正确， 由②可知， 由①可知有实数根，故，故， 因此，当时，体积有最小值16，③正确， 由可得， 过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高， 在中，，， ， ， 把代入上式，化简得， 当且仅当，即，时，等号成立，此时的面积取得最小值，． ，即为异面直线与所成的角， ， ，即异面直线与所成的角的余弦值为，故④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】关键点点睛：根据，结合勾股定理，利用方程的根，得，以及根据三角形面积公式得，结合基本不等式求解. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在平面直角坐标系xOy中，点，，. （1）求直线BC的方程； （2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程； （3）求直线BC与直线l交点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求斜率，再写点斜式方程即可； （2）由垂直关系得斜率，再写点斜式方程即可； （3）联立两直线的方程，求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 故直线的方程为，化简得. 【小问2详解】 因为直线与直线垂直，故，所以， 直线的方程为，化简得. 【小问3详解】 联立，解得，即， 所以直线BC与直线l交点的坐标为. 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆. （1）求圆M的方程； （2）若直线与圆M相交，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可确定圆心坐标与半径，即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线距离小于半径，可得到关于的不等式，解不等式得到的范围. 【小问1详解】 由已知，，则圆心. 半径，所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线，即，又直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，可得， 整理有：，解得. 18. 如图，在棱长是2的正方体中，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，所以. ， 所以，所以. ，,故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明向量垂直，进而根据线面垂直的判定求证， （2）利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， 所以， 所以. 故， 因此异面直线EF与所成角的大小为 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点. （1）求线段的长； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点G，使得直线在平面内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）图中有正交基底，可用空间向量法来求线段长； （2）图中有正交基底，用空间向量法来求两平面夹角余弦值； （3）图中有正交基底，可用线向量在平面内，必与法向量垂直来求解. 【小问1详解】 因为平面，，平面， 则，，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 由已知，，，，，， 可得，，故线段的长为. 【小问2详解】 由（1）得：，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，.所以平面的一个法向量为， 由图知为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得直线在平面内，， 因为，所以， 即， 因为在平面内，故， 所以，解得. 故线段上存在点，使得直线在平面内，此时. 20. 如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起至，使平面平面，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：若选条件①，取中点，连，OE，， 故，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 又因为，且，平面,所以平面， 所以. 以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示， ，，，， ，，，，， ，， 所以， 所以. 若选条件②，取中点，连，，， 故，，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以，， 又因为，所以， 所以，所以.以下同条件①. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，选择条件①：； 继而可证明平面，选择条件②：.，可证明，即可求证，进而建立空间直角坐标系，利用向量坐标求解， （2）利用法向量与方向向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，取， ， 故与平面所成角的正弦值为. 21. 在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. （1）求圆的方程； （2）设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 【答案】（1） （2）, 证明:由圆的方程为：，令，则，则可设，， GSP 设，，，则，， 设，则，直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， ，， 直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， 则，， 设直线过定点，则直线斜率为：， 即有，整理得， 所以，故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，由可得，则可计算出，即可得圆心坐标，借助圆心坐标与点坐标即可得半径，即可得圆的方程； （2）求出，两点坐标后，设出点坐标，即可表示出，则，从而可设出直线、方程，从而联立曲线，得到，两点坐标，利用计算即可得. 【小问1详解】 因为圆心在轴上，故可设， 由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以， 则有，则，解得， 则，故圆的方程为：； 【小问2详解】 ，故直线过定点,证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试卷 2024年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若向量，，满足条件，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 5. 法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 8. 如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则______. 12. 过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________. 13. 直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 14. 已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为________.若点在圆上，且，则满足条件的点共有________个. 15. 直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P，满足，则下列正确结论的序号是________. ①满足条件的点一定有两个； ②三棱锥的体积是三棱柱体积的； ③三棱锥的体积存在最小值； ④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在平面直角坐标系xOy中，点，，. （1）求直线BC的方程； （2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程； （3）求直线BC与直线l交点的坐标. 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆. （1）求圆M的方程； （2）若直线与圆M相交，求实数k的取值范围. 18. 如图，在棱长是2的正方体中，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点. （1）求线段的长； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点G，使得直线在平面内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 20. 如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起至，使平面平面，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21. 在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. （1）求圆的方程； （2）设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $