幂函数与二次函数课件-2025届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数 【例1】幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(　　) 为什么过一个点就可求？ y＝xα 自变量 ⑵幂函数的图象: 练习1.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数y= 的图象经过的“卦限”是(　　) A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤ α取值 α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0,0),(1,1) 过(0,0),(1,1) 过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 y= y=x-1 当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征: B 这两个函数值还隐藏什么玄机？ ax2＋bx＋c(a≠0) a(x－m)2＋n(a≠0) a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【变式】1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=　　　　. 【解析】由题意知 解得 所以f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1 2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为 (-∞,4],则该函数的解析式f(x)=　　　　. 【解析】f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2, 由已知条件ab+2a=0,又f(x)的值域为(-∞,4], 则 因此f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4 求对称轴——画图象——截取区间上一段——观察求得 13 广东省阳江市第一中学周如钢 紧紧围绕着对称轴与区间的关系展开。 求解的本源在于探明函数单调性改变的点在哪。 14 例1 2 5 O x y 问题：若求函数y=g(x)在区间[a,a+4]上最大值，应该如何解？ 悟·技法 二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动. (2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．二次函数有三种形式的解析式，和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用交点式；一般式可作为二次函数的最终结果． 2．二次函数在闭区间上的最值问题：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点． 幂函数 (1)定义：形如 (α∈R)的函数叫幂函数，其中x是 ，α是常数． (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xneq \s\up4(2) －3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3．当n＝1时，f(x)＝x－2＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B． 例2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7． 法二：(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n． ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2)． ∴m＝eq \f(1,2)．又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8． ∵f(2)＝－1， ∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7． 例2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 法三：(利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1． 又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8． 解得a＝－4或a＝0(舍去)， ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7． 例2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝________________________． ②顶点式：f(x)＝______________________． ③零点式：f(x)＝________________________． [规律方法]　在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 例3.求函数 在区间[1，4]上的最值。 例3.求函数 在区间[1，4]上的最值。 变式1：求函数 在区间[1，4]上的最大值。 变式2：求函数 在区间[a，a+4](a∈R)上的最小值。 变式3.求函数 在区间[a，a+4]上的最小值。 $$