精品解析：黑龙江省黑河市第五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

黑河市第五中学2024-2025学年度上学期期中考试 高一数学试题 202411 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：请在答题卡上作答，写在本试卷上无效.只交答题卡 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共11小题. （一）单选题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由，让集合与中的元素完全相同，即可列式求解. 【详解】由题意，，， 故选：D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：B 3. 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 4. 设，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根充要条件的定义即可求解. 【详解】由于， 故， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得结果. 【详解】易知，因此， 当且仅当时，等号成立，的最小值是6. 故选：B 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 7. 下列函数为奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对选项中的函数的定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 且在上为增函数，即B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 由对勾函数性质可知其在单调递减，在上单调递增，可知C错误； 对于D，函数的定义为，关于原点对称，但不能满足奇函数定义，可得D错误. 故选：B 8. 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（ ）倍． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B （二）多选题：每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A和C特殊值举例判断即可；对于B，运用指数函数单调性判断即可；对于D，作差法比较大小即可． 【详解】对于A，令，，满足，此时，故A不正确； 对于B，因为指数函数在上单调递增，且，所以，故B正确； 对于C，令，，，，满足，， 此时，不满足，故C不正确； 对于D，因为，，所以，， 所以， 所以，故D正确． 故选：BD． 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数的定义域为，则定义域为 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数的性质令即可求解A，根据定义域的定义即可求解B，根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解C，利用换元法即可求解D. 【详解】对于A, 令，则，则，故且的图象恒过定点，A正确， 对于B，的定义域为，则则定义域为满足，解得，故定义域为，B错误， 对于C, 命题：“”的否定是“”,C错误， 对于D, 令，则，故，故 ,故D正确， 故选：AD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【详解】解析：f(x)＝＝＝1＋，∵ 2x＞0，∴ 1＋2x＞1，∴ 0＜＜1，则0＜＜2，∴ 1＜1＋＜3，即1＜f(x)＜3，当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1；当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．故选BC． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 【答案】 【解析】 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，将点代入，解出，即可求解. 【详解】设，因为函数的图象过点， 所以，解得，所以， 所以. 故答案为： 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 【答案】 ①. ②. （也可以写作） 【解析】 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 三、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设m为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的运算发展求解即可； （2）由交集的结论得不等式，解之可得参数范围． 【小问1详解】 时，，又，所以， 所以，或； 【小问2详解】 若，则或，解得或． 16. 计算： （1） （2）若，求的值. （3）已知，试用表示. 【答案】（1）10； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指对数的运算性质化简求值； （2）将条件等式两侧作平方处理求得，同理求目标式的值； （3）应用对数的运算性质用表示出. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由题意得，得， 同理，故. 【小问3详解】 . 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得到和是方程的两根，再由韦达定理即可求解； （2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得，； 【小问2详解】 由（1）得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最小值， 即的最小值为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，根据图象： （1）请将函数的图象补充完整并写出该函数的增区间（不用证明）. （2）求函数的解析式. （3）若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)，增区间为； (2)；(3) 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增区间；（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当时，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：（1）如图： 函数的增区间为. （2）当时，， 又∵是上的偶函数，∴， ∴ （3）∵，∴，∴ 对称轴. 当，即时，， 当，即时，， 当，即时， ∴ 【点睛】本题主要考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， （2） 由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增， 证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，， 所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解，根据奇函数的定义即可验证奇偶性， （2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据函数的单调性以及奇偶性，结合二次型函数恒成立，利用判别式即可求解. 【小问1详解】 对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 满足， 所以，当时，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为不等式对任意的恒成立， 且函数为上的奇函数， 所以，对任意的恒成立， 又因为函数为增函数，则， 则对任意的恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑河市第五中学2024-2025学年度上学期期中考试 高一数学试题 202411 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：请在答题卡上作答，写在本试卷上无效.只交答题卡 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共11小题. （一）单选题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若实数，满足，则的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数为奇函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（ ）倍． A. B. C. D. （二）多选题：每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题中正确的是（    ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数的定义域为，则定义域为 C. 命题：“”的否定是“” D. 若函数，则 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设m为实数，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 计算： （1） （2）若，求的值. （3）已知，试用表示. 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，根据图象： （1）请将函数的图象补充完整并写出该函数的增区间（不用证明）. （2）求函数的解析式. （3）若函数，求函数的最小值. 19. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $