精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

38中学2024-2025学年第一学期第一次月考 高二年级数学测试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答題卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，，且与相互垂直，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量 则在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 已知直线（不同时为0），则（ ） A. 当时，与轴垂直 B. 当时，与轴重合 C. 当时，过原点 D. 当时，的倾斜角为锐角 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C. 若，，则直线的倾斜角为90° D. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是1 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，则___________. 13. 如图，正四面体ABCD的长为1，点E是棱CD的中点，则______． 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 16. 如图，在长方体中，. （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）若，，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 18. 直线方程为． （1）证明：无论为何值，直线过定点； （2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 38中学2024-2025学年第一学期第一次月考 高二年级数学测试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答題卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于平面对称，则坐标和坐标不变，坐标变为相反数. 【详解】关于坐标平面的对称点为. 故选：D 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，则，从而即可求解 【详解】若，则，从而 即,解之得： 故选：D 3. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 5. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 6. 已知向量，，且与相互垂直，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量垂直的数量积坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为与相互垂直， 所以 即， 所以， 解得. 故选：D 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 8. 已知向量 则在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求向量在向量上的投影，再根据投影向量公式计算可得答案. 【详解】根据向量投影公式，向量在向量上的投影为. 先计算. 再计算. 所以向量在向量上的投影为. 投影向量为.. 所以投影向量为. 在向量上的投影向量为， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 已知直线（不同时为0），则（ ） A. 当时，与轴垂直 B. 当时，与轴重合 C. 当时，过原点 D. 当时，的倾斜角为锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程的特征一一分析即可. 【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误； 对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确； 对于D：当时直线，即，斜率， 所以的倾斜角为钝角，故D错误； 故选：BC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C. 若，，则直线的倾斜角为90° D. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是1 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B；连接，，，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D． 【详解】因为平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点， 以为坐标原点，正方向为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，,0,，,1,； 对于①，假设存在点,2,，使得，， 则，又， 所以，解得， 即点存在，使得，A正确； 对于②，假设存在点,2,，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 则，，， 所以，，方程无解； 所以不存在点满足题意，B错误； 对于③，连接，，，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值2； 又点到平面的距离， 所以，C错误； 对于④，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标计算公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以， 故答案为： 13. 如图，正四面体ABCD的长为1，点E是棱CD的中点，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由图象及已知条件，先用与来表示，再求，分别与的数量积，进而可得答案. 【详解】因为点E是棱CD的中点，所以. 又因为正四面体ABCD的长为1，所以， 所以. 故答案为：. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。 【详解】设, 因为实数， 所以两点在圆上，且, 所以，所以是等边三角形，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 在第三象限，所在直线与直线平行， 可设， 由圆心到直线的距离为，可得，解得， 即有两平行线之间的距离为， 所以， 所以， 所以的最大值为。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16. 如图，在长方体中，. （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得与平面的法向量，进而利用空间向量法求得点到平面的距离； （2）结合（1）中结论，求得的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 所以到平面的距离为. . 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）若，，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】（1）∵底面ABCD为正方形， ∴， 又∵，，AD，平面PAD， ∴平面PAD， ∵平面ABCD， ∴平面平面ABCD. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面，即可证出面面垂直； （2）解法一：取AD中点为O，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解； 解法二：设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明，取AD中点为O，取BC中点为M，连结PO，PM，OM，可证为平面PAD与平面PBC的夹角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （法一）取AD中点为O，连结PO， ∵在中，，， ∴，为等边三角形. ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， ∴平面ABCD， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面正方形的边长为2， ∴，，，，， ∴，， 设平面PBC的一个法向量， 则，即， 令，则，， ∴， 由（1）可知平面PAD的一个法向量， 设平面PAD与平面PBC的夹角为， 则， ∴平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. （法二）设平面PAD与平面PBC的交线为l， ∵，平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又∵平面PBC， ∴，， ∵平面PAD与平面PBC有一个交点P， ∴l为过点P且与BC平行的一条直线，如下图， 取AD中点为O，取BC中点为M，连结PO，PM，OM， ∵底面四边形ABCD为正方形，O，M分别为AD，BC的中点， ∴， 又∵平面PAD，∴平面PAD， ∵平面PAD，∴， ∵在中，，O为AD的中点， ∴，， 又，PO，平面PAD， ∴平面POM，∴， 又∵为锐角，∴为平面PAD与平面PBC的夹角， 设底面正方形ABCD的边长为2， 在中，，， ∴平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. 【点睛】 18. 直线方程为． （1）证明：无论为何值，直线过定点； （2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）的周长为，直线的方程 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，， 所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1）2 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角 与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形， 所以，， 因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $