第四章 一次函数 专题三一次函数应用-几何问题 专项训练 2024—2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册第四章专题三一次函数应用-几何问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知点， 直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（     ） A．或 B．且 C．或 D．或 2．如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为坐标原点，顶点，分别在轴、轴上，，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 10．已知直线过点，平面直角坐标系中有，，三点． （1）的值为 ． （2）若直线与三角形有交点，则的取值范围是 ． 11．如图，直线与轴、轴分别相交于点和，当点在直线EF运动时，OP的最小值是 ．    12．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ； （2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为 ． 13．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求点C和点D的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 16．阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A B A D D 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．先求解，的解析式，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， ∴或． 故选：D． 2．B 【分析】此题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，一次函数的综合运用，题目综合性较强，有一定的难度．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．作轴于点C，先证明为等腰直角三角形．求出，再求点坐标，即可得到答案． 【详解】当线段最短时， ∵l 为第二、四象限的角平分线， ∴ 又∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． 作轴于点C， 则 ∵点B 在第四象限， 故选 B． 3．D 【分析】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键． 求出的长，然后分三种情况讨论：①点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在上运动时，根据式整理得到y与x的关系式；③点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 当点P在上运动，即时，， ， ∴（）， 当点P在上运动，即时， ，， ∴ ， ∴（） 当点P在上运动，即时，， ， ∴， ∴（）， 综上所述， 的面积与点经过的路径长之间的函数关系式为， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴选项D的图象符合题意． 故选：D 4．A 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题． 作出的对称点连接，将三角形的周长转化为，根据两点之间线段最短得到的长即为最短距离，求出的解析式，即可求出点坐标． 【详解】解：作关于轴的对称点，连接， ∴， 则， 由两点之间线段距离最短得与x轴交点即为点，此时最小为， 的周长为， 为的中点， ， 和关于轴对称， ， 由题意得， 设直线的解析式为， 把，分别代入解析式得，， 解得，， 解析式为， 当时， 则， 故点坐标为． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质； 由解析式令，，即，令时，，即，，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得 与 的长， ，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， ， 由折叠的性质，得：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， , 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了动点问题的一次函数图象，设正方形的边长为，分别求出点在边上、点在边和点在边上时与的函数解析式，再根据一次函数的性质判断图形的变化情况即可求解，运用分类讨论思想正确求出与的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 当点在边上时，，为正比例函数，随的增大而增大； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而减小； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而增大； 综上，随先增大而增大，再增大而减小，最后又增大而增大， 故选：． 7．D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次图像的平移等知识，结合题意确定平移后的新直线解析式是解题关键．设直线与轴交于点，与交于点，根据题意可得，，，并确定点的坐标，结合平移的性质可得新的直线解析式，并确定新的直线经过点，然后根据求解即可． 【详解】解：如下图，设直线与轴交于点，与交于点， ∵四边形为正方形，点的坐标分别为、 ∴，，， 对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵将直线沿轴向左平移个单位， ∴新的直线解析式为， 令，可得， ∴新的直线经过点， ∴直线扫过正方形的面积． 故选：D． 8．D 【分析】由直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律．本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 9． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， ∵， ∴由题意得，则， 解得或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上，的值为． 故答案为：． 10． 2 或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）将点代入直线l的解析式中，即可求解； （2）直线l过定点，分别求出直线l过点A，过点B时k的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：（1）∵直线过点， ∴． 故答案为：2； （2）由（1）可知直线过定点， 当直线l过点时，如图， 则， 解得； 当直线l过点时，如图， ∴直线l解析式为，即， ∵直线与三角形有交点， ∴或． 故答案为：或 11． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，过点作于点，连接，根据垂线段最短，则的最小值等于的长,由，，可求出，，然后结合勾股定理和等积法即可求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵点在直线运动， ∴（当点和点重合时，）， ∴的最小值等于的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：．    12． 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法， （1）利用待定系数法和“阶和点”的定义即可求解； （2）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【详解】解：（1）点是关于的正比例函数的点， ， ． 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． ； 故答案为：； （2）关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有两个交点． 由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ①如图，当时， 一次函数的图象经过，则， ． ， ． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， ． ②如图，当时，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， ∴综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，设，则，求出直线解析式为，则可求出，利用勾股定理得到，利用偶次方的非负性推出，则或（舍去），据此可得答案． 【详解】解：设， ∵点关于轴的对称点是点， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．(1)， (2)存在，P点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． （1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，设，则,再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标； （2）求出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标． 【详解】（1）令得：， ∴． ∴， 令得：， 解得：， ∴． ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，，即， 解得：， ∴． 故，； （2）存在，理由如下： ∵， ∴． ∵点P在y轴上，， ∴，即， 解得：， ∴P点的坐标为或． 15．(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 16．(1)和； (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$