第四章专题四一次函数应用-选择方案问题2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册第四章专题四一次函数应用-选择方案问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 2．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 3．一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费． (1)设上网所用时间为分钟，选择方式A时，计费为元，选择方式B时计费为元，请分别写出，与之间的关系式： (2)小王准备在两种上网方式中选择一种，请你帮他选择上网方案． 4．从2024年起，宁夏中考体育考试总分将提高至70分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)求该校购买多少条跳绳时，在A、B两家网店的花费一样多． 5．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 6．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 7．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 8．临颍县地处河南省中部，地势平坦，耕作性能好，通过多年实践，临颍县已成为豫中南地区最大的小辣椒产销基地．甲、乙两个辣椒市场各有辣椒吨，现从甲、乙向丙、丁两地运送辣椒，其中丙地需要辣椒吨，丁地需要辣椒吨，从甲到丙地的运费为元/吨，到丁地的运费为元/吨，从乙到丙地的运费为元/吨，到丁地的运费为元/吨. (1)设甲地到丙地运送辣椒吨，请完成下表： 调往丙地（单位：吨） 调往丁地（单位：吨） 甲 乙 (2)设总运费为元，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围. (3)怎样调送辣椒才能使运费最少？ 9．某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题． (1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________； (2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案． 10．根据表中素材，探索完成以下任务： 建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴” 问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨． 素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨． 素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨． 问 题 解 决 问题1： 分析 素材 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 B村 ①________ ②_________ 问题2： 问题2：设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式及x的取值范围． 问题3： 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（最少费用用含a的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 2．(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式； （2）根据函数关系式画出图形即可； （2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案． 【详解】（1） 解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 3．(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据题意，直接写出，与之间的关系式即可； （2）分别计算当、、时的取值范围，从而得到在不同的取值区间选择哪种上网方式计费更少． 【详解】（1）根据题意得： ，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 当上网时间为400分钟时，，两种上网方式计费相同，任选一种即可； 当上网时间超过400分钟时，应该选择种上网方式； 当上网时间少于400分钟时，应该选择种上网方式． 4．(1)， (2)300 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意写出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列出解析式即可； （2）根据题意得到，计算得到答案即可． 【详解】（1）解：在店购买可列式：； 在网店购买可列式：； （2）解：当时， ， 解得：， 答：该校购买300条跳绳时，两家网店的花费一样多． 5．(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并能运用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的数量关系列代数式即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 6．(1)； (2)租车时间为小时，两个公司所需费用相同 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）设，，把，代入即可，把代入，即可； （2）当，求出，即可； （3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可． 【详解】（1）解：设，， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； 把代入， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同． （3）解：当， ∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； 当，， ∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当，， ∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 7．(1) (2)①购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少    ② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果 千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； ②根据题意分为和两种情况列不等式解题即可． 【详解】（1）当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克 ∴， 当时, ， 当时. 元； 当时, ， 当时, 元， ∵ ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元此时乙种水果(千克)， 答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少． ②当时,， 解得，不符合题意； 当时，，解得：， ∴甲种水果购进量的取值范围为：． 8．(1)，， (2) (3)甲调往丙地1吨，调往丁地吨，乙调往丙地吨运费最少，最少费用为元 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）求出从甲地调往丁地的数量，即可依次求解； （2）结合（1）中表格即可求解； （3）根据运费随着的增大而增大，即可求解； 【详解】（1）解：∵从甲地调往丙地吨， ∴从甲地调往丁地吨，还需从乙地调往丁地吨， 故从乙地调丙地吨， 故答案为：，， （2）解： ∴ （3）∵， ∴运费随着的增大而增大 ∴当时，运费最少 此时，， 即：甲调往丙地1吨，调往丁地吨，乙调往丙地吨运费最少，最少费用为元 9．(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)当人数时，按普通门票购票省钱；当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；当人数时，按团体门票购票省钱，详见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用， （1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式； （2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可； （3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论； 根据数字特点找出临界点是解决问题的关键． 【详解】（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元， ∴， 故答案为：； （2）∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元， ∴； （3）∵， 当人数时，按普通门票购票省钱； 当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱； 当人数时，按团体门票购票省钱． 10．问题1：； 问题2：， 问题3：当时， 【分析】本题考查一次函数的应用，找出等量关系并列出函数的解析式是解题的关键． 问题1：甲仓库往B村运送水泥量为总量减去运往A村的水泥量，乙仓库往B村运送水泥费用等于运往B村的单价乘以水泥量； 问题2：把四个方向的运费加起来就是总运费，据此列函数解析式； 问题3：设新的总运费为，建立关于的函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：问题1：从甲仓库往B村运送水泥量为：()吨， 从乙仓库往B村运送水泥费用为：吨， 故答案为：，； 问题2： 化简，得 ， 取值范围： 问题3：由题意得，设新的总运费为， 则，， ， ， 随着的增大而减小， 当时，总运费最少，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$