第四章 一次函数 专题五一次函数应用-利润问题 专项训练 2024—2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册第四章专题五一次函数应用-利润问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 2．某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． (1)该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） (2)在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 3．六盘水市2023年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，总分50分．其中，过程性评价10分，目标效果测试40分．目标效果测试项目为：第一类：立定跳远（男、女），分值15分；第二类：台阶试验（男、女），分值15分；第三类：篮球、足球、排球、跳绳、跳远（五选一），分值10分，某学校为了提高同学们的中考体育成绩，开学初分两次购进A，B两种跳绳供同学们练习，第一次购进A种跳绳40根，B种跳绳30根，共花费1100元；第二次购进A种跳绳20根，B种跳绳10根，共花费500元．（两次购进的A，B两种跳绳各自的单价均不变） (1)求A，B两种跳绳每根的价格分别是多少元？ (2)若购买A，B两种跳绳共120根，总费用为W元，设购买A种跳绳m根，B种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍．求W与m的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 4．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． (2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 5．草基地为了提高收益．对收获的草莓分拣成，两个等级销售，每千克草莓的价格级比级的2倍少4元．3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元． (1)问，两个等级的草莓每千克各是多少元？ (2)某超市从草莓基地购进、两个等级的草莓共200千克，且均价不超过19元，要求购进级草莓不少于48千克． ①根据所给的信息，、两个等级的草莓有哪几种购进方案？ ②超市对购进的两个等级的草莓进行包装销售（如表所示，若不足一包，则该包不进行销售），全部包装销售完，当包装级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 草莓等级 包装重量（千克） 售价（元/包） 级 1 68 级 2 82 6．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 7．温州某一企业原先一次性口罩和防雾霾口罩生产信息如表： 口罩类型 材料成本不含人工 出厂价 产量一人一天 一次性口罩 元个 元个 个 防雾霾口罩 元个 元个 个 已知该企业有名工人，工资每人每天元，该企业原来每天产量共个口罩． (1)求原先企业安排生产一次性口罩和防雾霾口罩各有多少人． (2)经一段时间运行，企业发现每天销售的防雾霾口罩，最多只能卖个，而一次性口罩可以全部销售，市场缺口较大，怎么安排生产口罩的人数可以使该企业每一天获得利润最大，最大利润是多少？（注：没有销售的口罩，作为库存暂时当做不赚不亏）． (3)在疫情期间，为了配合政府防疫工作，该厂“改为全部生产一次性口罩”，因为原材料价格暴涨，口罩的材料成本和出厂价分别变为元个和元个．一部分员工因为滞留在外，无法及时回来工作．所以该厂提高了剩余老员工的工资，也招募了几个新员工过来且老员工人数多于新员工，信息如表： 员工类型 每日工资 一次性口罩产量一人一天 老员工 元天 个 新员工 元天 个 要是该厂的利润达到元天求该厂留下来的老员工和招募的新员工人数． 8．“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 9．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 10．大连金州湾国际机场是国内首个离岸式“人工岛”机场，新机场预计2026年可建成运营．机场工地每天都有车辆进出，在某一个工地，从某时刻开始内只进车不出车，在随后的内既进车又出车，工地每小时的进车辆和出车辆可以近似的看成是两个常数，工地内的车辆总数y（单位：辆）与时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x的函数解析式； (2)若之后只出车不进车，现在工地需将一批重的工业残渣运出，已知工地现有A型车（载重）和B型车（载重），A型车每趟运费100元，B型车每趟运费120元，工地上的车辆全部参与运送，请问应如何设计工地上的车型及数量，才能使运费最低，并求最低运费． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)，图象见解析 (2)①该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损②当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出是解题关键． （1）利用，进而得出函数解析式即可，进而利用两点法画出直线即可； （2）①利用函数图象得出时，的取值范围即可；②将代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 如图所示：    （2）解：①当时能保证不亏损， ∴， 解之：； ∴该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损； ②当时，， 解之：， ∴ 当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 2．(1)购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 (2)小明付款382.2元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用， （1）两个关系式为：利润＝A种商品的利润＋B种商品的利润，进而根据函数的特点及自变量的取值得到利润最大的购买方案； （2）易得小颖购买的商品没有打折，让总价钱除以商品的单价即为相应的件数，小华购买的商品打了8折，求得小华购买商品的原价，进而得到相应的数量，根据打折方案得到相应的价钱即可； 得到总利润的关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）设利润为W，B种商品购进x件， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵，且为整数，A种商品的件数也为整数， ∴时，利润最大，A种商品的件数为件， 答：A种商品26件，B种商品8件时，利润最大； （2）小颖购买A商品的件数为：（件）, ∵不是48的整倍数， ∴小华购买B商品的件数为（件）， 小明一次购买需付原价为：， ∴实际付款为：（元）． 3．(1)种跳绳每根的价格是20元，B种跳绳每根的价格是10元； (2)，购买A种跳绳40根，B种跳绳80根最省钱，此时总费用为1600元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设A种跳绳每根的价格是x元，B种跳绳每根的价格是y元，根据第一次购进A种跳绳40根，B种跳绳30根，共花费1100元；第二次购进A种跳绳20根，B种跳绳10根，共花费500元得：，即可解得答案； （2）由B种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍，可解得，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A种跳绳每根的价格是x元，B种跳绳每根的价格是y元， 根据题意得：， 解得， 种跳绳每根的价格是20元，B种跳绳每根的价格是10元； （2）解：种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍， ， 解得， 根据题意得：， 与m的函数关系式为； ， 随m的增大而增大， 当时，W取最小值， 此时， 购买A种跳绳40根，B种跳绳80根最省钱，此时总费用为1600元． 4．(1)该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材 (2)y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键． （1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组； （2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【详解】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ， 解得：， 答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． （2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台， ∴， 整理得：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 5．(1)每千克级草莓为28元，每千克级草莓为16元 (2)①三种方案：见详解②当进货方案是级草莓50千克，所获总利润最大，总利润的最大值是5750元 【分析】（1）根据每千克草莓的价格级比级的2倍少4元，3千克级草莓比5千克级草莓的销售额多4元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得每千克级草莓、级草莓的利润分别为多少元； （2）①根据级草莓不少于48千克，且均价不超过19元，可得出结论； ②根据题意和①中的结果，可以得到与之间的函数关系式；然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【详解】（1）解：设每千克级草莓为元，每千克级草莓为元， 由题意得：， 解得：， 答：每千克级草莓为28元，每千克级草莓为16元； （2）解：①由题意可得，设购进级草莓千克，则购进级草莓千克， 根据题意可知，， 解得， ∵为整数 ∴ ∴（千克）； （千克）； （千克）； 则方案一：购进级草莓48千克，则购进级草莓152千克； 方案二：购进级草莓49千克，则购进级草莓151千克； 方案三：购进级草莓50千克，则购进级草莓150千克； ②设总利润为元， 根据题意可知，， ，且， 当时，所获利润最大，此时的最大值为（元）， 即当进货方案是级草莓50千克，级草莓150千克时，使销售总利润最大，总利润的最大值是5750元． 6．(1)m，n的值分别为10，14 (2) (3)甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值． 【详解】（1）根据题意，得 解得． 故m，n的值分别为10，14． （2）由题意可知． 当时，； 当时，． ∴； （3）当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，为520． 当时，，y随x的增大而减少， 当时，y最大，为520． 故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元． 7．(1)安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； (2)当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； (3)该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 【分析】此考查了一次函数、一元一次方程、二元一次方程的实际应用． （1）设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人，根据企业原来每天产量共个口罩列方程解方程即可； （2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元，分和两种情况列出一次函数，根据一次函数的性质求出最值即可； （3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人．该厂的利润达到元天，据此列出二元一次方程，根据题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人， 则， 解得 ∴ 答：安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； （2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元， 则当时， ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，，即y的最大值为， 当时， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，，即y的最大值为， 综上可知，当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； （3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人． 由题意可得，， ∴ ∵且均为正整数， ∴， 答：该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 8．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 9．(1)； (2)2310元； (3)总费用最多是2650元． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 10．(1) (2)当工地上有24辆A型车，12辆B型车时，能使运费最低，最低运费是3840元 【分析】此题主要考查一次函数图象与实际的应用，理解折点的含义是解题的关键． （1）当时，利用待定系数法求出函数解析式，即可知与的关系； （2）设工地现有A型车辆，则有B型车辆，总运费为元，则，再求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由图设，将点，代入得 ，解得 y关于x的函数解析式； （2）设工地现有A型车辆，则有B型车辆，总运费为元，则： ， 工地需将一批重的工业残渣运出， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 当工地上有24辆A型车，12辆B型车时，能使运费最低，最低运费是3840元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$