4.4.1 确定一次函数表达式 课件 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 4.4.1 确定一次函数表达式 复习回顾 一、三象限 二、四象限 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点 正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图象和性质 直线y=kx经过 的象限 增减性 图象必经过的点 k的正负性 k＞0 k＜0 y=kx(k是常数， k≠0)的图 x y 0 x y 0 2 一次函数图象及画法 图象 画法 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b. ①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移. 一次函数的性质 k>0 k<0 ①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； ②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； ①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； ②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小； 学习目标 学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式； 能利用一次函数解决简单的实际问题. 5 新课导入 1.确定正比例函数解析式 y=kx（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k 的值，知道 1 个条件即可. 正比例函数解析式 y=kx（k≠0）中 x, y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数解析式. 6 2.确定一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k，b 的值，知道 2 个条件即可. 一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x，y分别代表自变量和函数值，只要求出k ，b的值即可确定一次函数解析式. 那么该采取什么方法确定函数解析式呢？ 小结：在确定函数解析式的时候，需要求出几个系数的值，就需要知道几个条件. 新知探究 知识点一 确定正比例函数的表达式 解 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（m/s）与其下滑时间 t（s）的关系如图所示： （1）写出 v 与 t 之间的关系式； （2）下滑 3s 时物体的速度是多少？ （1）设 v＝kt，点（2，5）在函数图象上， 当t＝2时，v＝5，即2k＝5 ，解得 k＝2.5； 所以v 与t 的关系式为 v＝2.5t. （2）当t＝3时，v＝2.5×3＝7.5 （m/s）. 8 如图,直线l是某正比例函数的图象,点A( 4,6 ), B (－3,－2)是否在该函数的图象上? 例 1 解:设该正比例函数的表达式为y = kx( k 为常数，k≠0). 将点(2,3)代入y=kx ,得 2k=3,所以k= . 所以该正比例函数的表达式为y= x . 当x =4时,y= ×4=6,所以点A( 4,6)在该函数的图象上; 当x =－3时,y= ×(3)=－ ≠－2. 所以点B( －3,－2)不在该函数的图象上. 新知探究 知识点二 确定一次函数的表达式 已知一次函数的图象过点(0,5)、(2,﹣5)，求一次函数的表达式. 解： 设一次函数的表达式 y = kx+b， 根据题意，得 5=b，－5=2k+b, 解得，k=－5，b=5. 即一次函数的表达式为 y=－5x+5 ①设一次函数的表达式； ②列方程，将已知坐标代入表达式； ③解方程，求出k和b的值； ④写出表达式. 待定系数法 10 ④“写” 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: ①“设” ②“代” ③“求 设一次函数的表达式为y = kx+b ( k ≠ 0 )(正比例函数设 y = kx) 把图象上的两点的坐标代入表达式，建立关于 k、b的两个方程； 解这两个方程，求出k、b的值； 将所求得的系数k,b代回所设表达式，写出一次函数的表达式. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 知识点一 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件： 总结归类 设一次函数的表达式 y=kx+b（k≠0） 解方程，求得k ，b的值 列 设 解 将已知的x，y的对应值（两组）代入所设表达式中，得到关于k ，b的方程 知识点二 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 将k ，b的值代入所设表达式中，写出表达式 代 课堂练习 如图，直线 l 是某正比例函数的图象， 点 A（﹣4，12），B（3，﹣9）是否在该函数的图象上？ 【教材P89随堂练习 第1题】 设 y＝kx，根据题意，得 3＝﹣k 解得 k＝﹣3 所以该正比例图象的表达式为 y＝-3x 当x =﹣4时，y＝12， 所以点A（﹣4，12）在该函数图象上． 当x＝3时，y ＝﹣9， 所以点B（3，﹣9）在该函数图象上. 解 14 若一次函数y＝2x＋b的图象经过点A（﹣1，1）， 点 B（1，5），C（﹣10，﹣17），D （10，17）是否在该函数的图象上? 2. 【教材P89随堂练习 第2题】 把点A（﹣1，1）的坐标代入y＝2x＋b，得2×(-1)＋b＝1， 解得b＝3, 所以一次函数的表达式为y＝2x＋3. 当x＝1时，y＝2×1＋3＝5， 当x＝﹣10时，y＝2×（-10）＋3 ＝﹣17, 当x＝10时，y＝2×10＋3＝23≠17, 所以点B（1，5），C（﹣10，﹣17）在该一次函数的图象上， 点D（10，17）不在该一次函数的图象上． 解 3. 如图，直线 l 是一次函数y＝kx＋b的图象，填空: （1）当x＝30时，y＝______; （2）当y＝30时，x＝______; 【教材P90随堂练习 第3题】 ﹣18 ﹣42 设一次函数y＝kx＋b, 2＝0＋b ① 0＝3k＋b ② 解得b＝2，k＝ ， 所以一次函数的表达式为 . 解 一个正比例函数的图象经过点A（-2，3）， B（a，3），求 a 的值. 4. 【教材P90 习题4.5 第1题】 设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）. 其图象经过点A（﹣2，3）,所以3＝﹣2k，得k＝ ， 即正比例函数的表达式为 y＝ x . 当x＝a时，y＝﹣3， a＝﹣3, 解得a＝2. 解 如图，直线 l 是一次函数y＝kx＋b 的图象，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积. 5. 【教材P90 习题4.5 第2题】 因为一次函数y＝kx＋b的图象经过 （3，﹣3）,（0，1）两点, 所以b＝1且3k＋b＝﹣3.解得b＝1， k＝ 所以一次函数的表达式为y ＝ x+1. 因为函数图象与x轴的交点坐标为（ ，0）, 所以直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . （3，﹣3） 解 小明说，在式子y＝kx＋b 中，x每增加1，kx增加了k，b 没变，因此y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中，x 从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2．小明这种确定 k 的方法有道理吗?说说你的认识. 6. 【教材P90 习题4.5 第3题】 小明的方法有道理.实际上，当x增加1时，y值的增加量为k（x＋1）＋b－（kx＋b）＝ k， 而题中所给出的图象具体地表明了这一点. 解 从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度 v（m/s）是运动时间 t（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25 m/s，2s后物体的速度为 5 m/s. 7. 【教材P90 习题4.5 第4题】 （1）写出v，t之间的关系式; （2）经过多长时间后，物体将达到最高点?（此时物体的速度为零） （1）设v与t之间的关系式为v＝kt＋b（k≠0）.因为当t＝0时， v＝25, 所以25＝k×0＋b，解得b＝25，所以v＝kt＋25. 当 t＝2时，v＝5，所以5＝k×2＋25， 解得 k＝﹣10. 所以 v 与 t 之间的关系式为 v＝﹣10t＋25. （2）当物体达到最高点时，v＝0，所以 ﹣10t＋25＝0， 解得t＝2.5, 所以经过2.5s后，物体将达到最高点. 解 第三章 位置与坐标 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 课程结束 $$