第十章第二节二项式定理学案-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 第二节　二项式定理 一、课标要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、 命题规律及备考策略 二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n). [提醒]　二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k≤(n∈N*)时，是递增的 当k≥(n∈N*)时，是递减的 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项和取得最大值且相等 各二项式 系数和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [常用结论] 若二项展开式的通项为Tk＋1＝g(k)·xh(k)(k＝0，1，2，…，n)，g(k)≠0，则有以下常见结论： (1)h(k)＝0⇔Tk＋1是常数项； (2)h(k)是非负整数⇔Tk＋1是整式项； (3)h(k)是负整数⇔Tk＋1是分式项； (4)h(k)是整数⇔Tk＋1是有理项． 四、课堂考点突破 考点一　通项公式的应用 题型一 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式的特定项 [例1]　二项式展开式的常数项为（　　） A.－160　　　B.60　　　C.120　　　D.240 [答案]　B [解析]　展开式的通项为：Tk＋1＝＝·26－k··， 令6－k＝0得k＝4， 所以展开式的常数项为×22×＝60. 题型二 形如（a＋b）m（c＋d）n （m，n∈N*）的展开式问题 [例2]　（2022·新高考Ⅰ卷）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为　　　　.（用数字作答） [答案]　－28 [解析]　（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为＝28，x3y5的系数为＝56，因此（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28. 题型三 　形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式问题 [例3]　（x2－x＋1）10展开式中x3项的系数为（　　） A.－210　　B.210 C.30　　　 D.－30 [答案]　A [解析]　（x2－x＋1）10＝[x2－（x－1）]10＝（x2）10－（x2）9（x－1）＋…－x2（x－1）9＋（x－1）10，所以含x3项的系数为－＋（－）＝－210. 变式训练 1.（2024·山东烟台模拟）（1－2）8展开式中x项的系数为（　　） A.28　　　 B.－28 C.112　　　D.－112 答案：C 解析：（1－2）8展开式的通项公式为 ＝（－2）k＝（－2）k. 要求x项的系数，只需＝1，解得k＝2， 所以x项系数为（－2）2＝4×＝112. 2.已知（1＋x）（n∈N*，n＜10）的展开式中没有常数项，则n的最大值是（　　） A.6　　　　B.7 C.8　　　　D.9 答案：B 解析：∵（1＋x）（n∈N*，n＜10）的展开式中没有常数项，∴的展开式中没有x－1项和常数项.∵的展开式的通项为Tr＋1＝·xn－3r（r＝0，1，2，…，n），故n－3r≠0，且n－3r≠－1，即n≠3r，且n≠3r－1，∴n≠3，6，9，且n≠2，5，8，故n的最大值为7. 3.在的展开式中，x2的系数为（　　） A.10　　　 B.30 C.45　　　 D.120 答案：C 解析：因为＝＝（1＋x）10＋（1＋x）9＋…＋，所以x2只出现在（1＋x）10的展开式中，所以含x2的项为x2，系数为＝45. 考点二　二项式系数的和与各项系数的和的问题 [例4]　（1）的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含x项的系数是（　　） A.112　　 B.－112 C.60　　　D.－60 （2）若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a9｜＝（　　） A.1　　　 B.513 C.512　　 D.511 （3）已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝　　　　，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝　　　　. [答案]　（1）A　（2）D　（3）8　－2 [解析]　（1）由题意2n＝256，n＝8. Tr＋1＝（）8－r＝（－2）r，令4－r＝1，r＝2， 所以含x项的系数是（－2）2＝112. （2）令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a9｜＝[1－（－1）]9－1＝29－1＝511. （3）由（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，知含x2的项是由x＋2中的x和2分别与（x－1）4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的，所以a2＝（－1）3＋2（－1）2＝8. 对于（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝0，得a0＝2×（－1）4＝2； 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 变式训练 4.已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：（1）a1＋a2＋…＋a7； （2）a1＋a3＋a5＋a7； （3）a0＋a2＋a4＋a6； （4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜. 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ② （1）∵a0＝＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. （2）（①－②）÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. （3）（①＋②）÷2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. （4）法一：∵在（1－2x）7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝（a0＋a2＋a4＋a6）－（a1＋a3＋a5＋a7）＝1 093－（－1 094）＝2 187. 法二：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜即为（1＋2x）7展开式中各项的系数和，令x＝1，则｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＝37＝2 187. 考点三　系数与二项式系数的最值问题 [例5]　（2021·上海卷）已知（1＋x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1＋x）n的系数和为　　　　. [答案]　64 [解析]　由题意知， 则 解得5＜n＜7.又n∈N， 因此n＝6.设（1＋x）6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6， 令x＝1，则（1＋x）6的系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64. 变式训练 5.已知m为正整数，（x＋y）2m的展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝（　　） A.5　　B.6 C.7　　D.8 答案：B 解析：由题意可知，a＝，b＝. ∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，解得m＝6. 考点一 二项式定理的综合应用 题型一 整除问题、余数问题 [例1]　设a∈Z且0≤a＜13.若512 012＋a能被13整除，则a＝（　　） A.0　　B.1　　C.11　　D.12 [答案]　D [解析]　512 012＋a＝（52－1）2 012＋a＝×522 012－×522 011＋…＋×52×（－1）2 011＋×（－1）2 012＋a，∵×522 012－×522 011＋…＋×52×（－1）2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，∴×（－1）2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12. 题型二 　近似计算问题 [例2]　0.995的计算结果精确到0.001的近似值是（　　） A.0.950　　B.0.951 C.0.952　　D.0.953 [答案]　B [解析]　0.995＝（1－0.01）5＝×1－×0.01＋×（0.01）2－×（0.01）3＋…－×（0.01）5＝1－0.05＋0.001－0.000 01＋…－（0.01）5≈0.951. 变式训练 1.1－90＋902－903＋…＋（－1）k90k＋…＋9010除以88的余数是（　　） A.－1　　B.1 C.－87　 D.87 答案：B 解析：由题意1－90＋902－903＋…＋（－1）k90k＋…＋9010＝（1－90）10＝8910＝（1＋88）10＝＋88＋882＋…＋8810＝1＋88＋882＋…＋8810，所以原式除以88的余数为1. 2.求1.028的近似值（小数点后保留三位小数）. 解：1.028＝（1＋0.02）8＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋（0.02）8≈1.172. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知二项式5的展开式中的系数是10，则实数a等于(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　B 解析　二项式5的展开式为C·x5－k·(ax－1)k＝ak·C·x5－2k， 令5－2k＝－1，解得k＝3， 所以a3·C＝10a3＝10，a＝1. 2．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于(　　) A．49 B．56 C．59 D．64 答案　C 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59. 3．(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为(　　) A．－120 B．－40 C．80 D．200 答案　B 解析　(x＋2y)5的展开式通项为Tk＋1＝C·x5－k·(2y)k＝C·2k·x5－kyk， 因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5， 在xTk＋1＝C·2k·x6－kyk中，令6－k＝3可得k＝3， 在yTk＋1＝C·2k·x5－kyk＋1中，令5－k＝3可得k＝2， 因此，展开式中x3y3的系数为C·23－3C·22＝－40. 4．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A．1 B．243 C．121 D．122 答案　B 解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244， 即a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243. 5．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A．120 B．－120 C．60 D．30 答案　A 解析　方法一　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5， 展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k， 令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2， (x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym， 令m＝2，可得第3项为Cxy2， 所以(x＋y－2z)5的展开式中， xy2z2的系数是(－2)2CC＝120. 方法二　(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘， 含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x， 2个(x＋y－2z)中取y,2个(x＋y－2z)中取z， 故系数为CCC(－2)2＝120. 6．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．13 答案　C 解析　原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)， 所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x， 和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12. 二、多项选择题 7．已知n的展开式中的第三项的系数为45，则(　　) A．n＝9 B．展开式中所有项的系数和为1 024 C．二项式系数最大的项为中间项 D．含x3的项是第7项 答案　BCD 解析　n的展开式的第三项为T3＝Cn－22＝＝， 所以第三项的系数为C＝45，所以n＝10，故A错误； 所以二项式为10， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1 024，故B正确； 展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确； 通项公式为Tk＋1＝C10－k()k ＝＝， 令＝3，解得k＝6， 所以含x3的项是第7项，故D正确． 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　) A．由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 C＝C B．由 “在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C＝C＋C C．第9条斜线上各数之和为55 D．在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小 答案　ABD 解析　根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C＝C，C＝C＋C成立，故A，B正确； 第1条斜线上的数为C，第2条斜线上的数为C， 第3条斜线上的数为C，C，第4条斜线上的数为C，C，第5条斜线上的数为C，C，C，第6条斜线上的数为C，C，C，第7条斜线上的数为C，C，C，C，…， 由此，归纳得到，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C， 第(2n＋1)(n∈N)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C. 所以第9条斜线上各数为C，C，C，C，C，其和为C＋C＋C＋C＋C＝1＋7＋15＋10＋1＝34，故C错误； 在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D正确． 三、填空题 9．若展开式n中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为________． 答案　7 解析　由题意得n＝8，所以展开式中第k＋1项为Tk＋1＝C()8－kk＝， 令＝0，得k＝2， 故常数项为C·2＝7. 10．若(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则m＝________. 答案　1 解析　(1＋x)6展开式通项为Tk＋1＝Cxk， 则Cxk＝mCxk＋mCxk－2， ∴mC＋mC＝30，解得m＝1. 11．设(x＋1)(2x2－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝________. 答案　75 解析　令x＝2，得3×75＝a0＋2a1＋22a2＋…＋211a11，① 令x＝－2，得－75＝a0－2a1＋22a2－…－211a11，② 由，得a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝＝75. 12．写出一个可以使得992 025＋a被100整除的正整数a＝________. 答案　1(答案不唯一) 解析　由题意可知992 025＋a＝(100－1)2 025＋a， 将(100－1)2 025利用二项式定理展开得(100－1)2 025＝C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋C1001×(－1)2 024＋C1000×(－1)2 025， 显然C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋C1001×(－1)2 024能被100整除， 所以只需C1000(－1)2 025＋a＝－1＋a是100的整数倍即可， 所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)， 不妨取n＝0，得a＝1. 四、解答题 13．已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解　(1)令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n， 又展开式中二项式系数和为2n. 所以＝32，解得n＝5. 因为n＝5，所以展开式共有6项， 所以二项式系数最大的项为第三、四两项， 即T3＝C()3(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝. (2)设展开式中第k＋1项的系数最大， Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝， 得 解得≤k≤， 因为k∈N，所以k＝4， 即展开式中系数最大的项为T5＝＝. 14．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，________. (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值． 解　(1)若选①： 因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8. 若选②： 因为第4项与第6项的二项式系数相等， 所以C＝C⇒n＝8. 若选③： 因为奇数项的二项式系数的和为128， 所以2n－1＝128，解得n＝8. 所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝， 则有8＝a0＋＋＋…＋， 即有a0＋＋＋…＋＝0， 令x＝0，得a0＝1， 所以＋＋…＋＝－a0＝－1. 综上所述，＋＋…＋＝－1. (2)由(1)可知，n＝8， (2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7， 令x＝1， 则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第十章 　排列、组合与二项式定理、概率 第二节　二项式定理 一、课标要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 二、 命题规律及备考策略 二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n). [提醒]　二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k≤(n∈N*)时，是递增的 当k≥(n∈N*)时，是递减的 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项和取得最大值且相等 各二项式 系数和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [常用结论] 若二项展开式的通项为Tk＋1＝g(k)·xh(k)(k＝0，1，2，…，n)，g(k)≠0，则有以下常见结论： (1)h(k)＝0⇔Tk＋1是常数项； (2)h(k)是非负整数⇔Tk＋1是整式项； (3)h(k)是负整数⇔Tk＋1是分式项； (4)h(k)是整数⇔Tk＋1是有理项． 四、课堂考点突破 考点一　通项公式的应用 题型一 形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式的特定项 [例1]　二项式展开式的常数项为（　　） A.－160　　　B.60　　　C.120　　　D.240 题型二 形如（a＋b）m（c＋d）n （m，n∈N*）的展开式问题 [例2]　（2022·新高考Ⅰ卷）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为　　　　.（用数字作答） 题型三 　形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式问题 [例3]　（x2－x＋1）10展开式中x3项的系数为（　　） A.－210　　B.210 C.30　　　 D.－30 变式训练 1.（2024·山东烟台模拟）（1－2）8展开式中x项的系数为（　　） A.28　　　 B.－28 C.112　　　D.－112 2.已知（1＋x）（n∈N*，n＜10）的展开式中没有常数项，则n的最大值是（　　） A.6　　　　B.7 C.8　　　　D.9 3.在的展开式中，x2的系数为（　　） A.10　　　 B.30 C.45　　　 D.120 考点二　二项式系数的和与各项系数的和的问题 [例4]　（1）的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含x项的系数是（　　） A.112　　 B.－112 C.60　　　D.－60 （2）若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a9｜＝（　　） A.1　　　 B.513 C.512　　 D.511 （3）已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝　　　　，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝　　　　. 变式训练 4.已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：（1）a1＋a2＋…＋a7； （2）a1＋a3＋a5＋a7； （3）a0＋a2＋a4＋a6； （4）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜. 考点三　系数与二项式系数的最值问题 [例5]　（2021·上海卷）已知（1＋x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1＋x）n的系数和为　　　　. 变式训练 5.已知m为正整数，（x＋y）2m的展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝（　　） A.5　　B.6 C.7　　D.8 考点一 二项式定理的综合应用 题型一 整除问题、余数问题 [例1]　设a∈Z且0≤a＜13.若512 012＋a能被13整除，则a＝（　　） A.0　　B.1　　C.11　　D.12 题型二 　近似计算问题 [例2]　0.995的计算结果精确到0.001的近似值是（　　） A.0.950　　B.0.951 C.0.952　　D.0.953 变式训练 1.1－90＋902－903＋…＋（－1）k90k＋…＋9010除以88的余数是（　　） A.－1　　B.1 C.－87　 D.87 2.求1.028的近似值（小数点后保留三位小数）. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知二项式5的展开式中的系数是10，则实数a等于(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 2．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于(　　) A．49 B．56 C．59 D．64 3．(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为(　　) A．－120 B．－40 C．80 D．200 4．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A．1 B．243 C．121 D．122 5．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A．120 B．－120 C．60 D．30 6．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．13 二、多项选择题 7．已知n的展开式中的第三项的系数为45，则(　　) A．n＝9 B．展开式中所有项的系数和为1 024 C．二项式系数最大的项为中间项 D．含x3的项是第7项 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　) A．由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 C＝C B．由 “在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C＝C＋C C．第9条斜线上各数之和为55 D．在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小 三、填空题 9．若展开式n中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为________． 10．若(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则m＝________. 11．设(x＋1)(2x2－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝________. 12．写出一个可以使得992 025＋a被100整除的正整数a＝________. 四、解答题 13．已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 14．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，________. (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$