上海市静安区风华中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

风华中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ 一、填空题 1．两个平面最多可以将空间分成　 　部分． 2.设a，b是空间中两条不同的直线，则“a⊥b”是“a与b相交”的　 条件． （选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要 ”、“既非充分也非必要”） 3． 若球O1、O2表面积之比，则它们的半径之比＝　 ． 4．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有 3 　条． 5. 已知正三角形ABC的边长为2，边BC在水平线上，则其平面直观图的面积为 . 6. 已知圆锥的底面面积为4，母线长为4，则该圆锥的体积为 . 7. 已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为4，则该圆柱的表面积为 . 8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD内（包括边界） 的动点，满足D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段DP扫过的面积为　 　． 9. 在四面体ABCD中，，则直线AC与BD所成角为 . 10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB＝6，BC＝BB1＝，点P是线段BC1上的一动点， 则AP+PB1的最小值是 . 二、单选题 11.下列条件中，能够确定一个平面的是 ( ) A.两个点 B.三个点 C.一条直线和一个点 D.两条相交直线 12．若l、m、n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　） A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β 13．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直． 以下判断正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题 14. 如图，正四棱柱 的底面边长为2，侧棱长为3， 的中点为F.(1)求证：直线AF与直线CD是异面直线； (2)求直线AF与CD所成角的大小. 15．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）． 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地，设圆锥P﹣O1中 母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米， 底面半径为2米． （1） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的一个点， 求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 16．已知，如图P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线 PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影．求证：对平面α上任一直线a，a⊥OA是a⊥PA的充要条件． 17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，D、E分别是AB、A1B1的中点． （1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；（2）求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1；（3）求证：直线AC1∥平面CDB1． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，BC＝2AB， E、F分别为棱BC、BP中点．（1）求证：平面AEF∥平面DCP； （2）若平面PBC⊥平面ABCD，直线AP与平面PBC所成的角为45°， 且CP⊥PB，①求四棱锥P-ABCD的体积；②求二面角P﹣AB﹣D的大小． 风华中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷解析 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ 一、填空题 1．两个平面最多可以将空间分成　4　部分． 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几 部分.【解答】解：两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分， 若两个平面相交，可将空间分成四部分，故答案为：4．【点晴】本题考查平面的基本性质及推论，解答本题， 关键是了解两个平面的位置关系，根据每种情况下的位置进行讨论，得出最多可分成几部分． 2.设a，b是空间中两条不同的直线，则“a⊥b”是“a与b相交”的　既非充分也非必要 条件． （选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要 ”、“既非充分也非必要”） 4． 若球O1、O2表面积之比，则它们的半径之比＝　 3 ． 【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可． 【解答】解：根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以＝所以＝3. 故答案为：3.【点晴】本题是基础题，考查相似比的知识，面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方． 4．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有 3 　条． 【分析】利用异面直线的定义和列举法能求出结果．【解答】解：如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1的9条棱所在直线中， 与直线A1B是异面直线的有：B1C1，AC，CC1，共3条．故答案为：3． 【点晴】本题考查异面直线的定义和三棱台的结构特征，是基础题． 5. 已知正三角形ABC的边长为2，边BC在水平线上，则其平面直观图的面积为 . 6. 已知圆锥的底面面积为4，母线长为4，则该圆锥的体积为 . 7. 已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为4，则该圆柱的表面积为 6 . 8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点， 满足D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段DP扫过的面积为　π　． 【分析】由CC1∥DD1，知D1P与直线CC1所成角为D1P与直线DD1所成角，即∠DD1P＝， 而点P在底面ABCD内的轨迹是以DP为半径的圆的四分之一，再求得DP的长，即可得解． 【解答】解：因为CC1∥DD1，所以D1P与直线CC1所成角可转化为D1P与直线DD1所成角，即∠DD1P＝， 在Rt△D1DP中，DD1＝1，∠DD1P＝，所以DP＝，所以点P在底面ABCD内的轨迹是以为半径的 圆的四分之一，所以线段DP扫过的面积为π•＝π．故答案为：π． 【点晴】本题考查异面直线所成角，动点的轨迹问题，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9. 在四面体ABCD中，，则直线AC与BD所成角为 90° . 10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB＝6，BC＝BB1＝，点P是线段BC1上的一动点， 则AP+PB1的最小值是　5　． 【分析】将△BB1C1沿BC1为轴旋转至于平面ABC1共面，可得△BB2C1，利用AP+PB1＝AP+PB2≥AB2求解即可． 【解答】解：将△BB1C1沿BC1为轴旋转至于平面ABC1共面，可得△BB2C1，则∠ABB2＝135°， 故AP+PB1＝AP+PB2≥AB2＝， 当且仅当P为AB2与BC1的交点时取等号，所以AP+PB1的最小值是．故答案为：． 【点晴】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，解决此类问题的方法是：折线或曲线的最值问题， 通常沿着多面体的棱或旋转体的母线展开成平面图形或曲面，结合平面图形求解，属于中档题． 二、单选题 11.下列条件中，能够确定一个平面的是 ( D ) A.两个点 B.三个点 C.一条直线和一个点 D.两条相交直线 【详解】解：对于A：两点确定一直线，故A错误；对于B：不在同一直线上的三点确定一个平面，故B错误； 对于C：一条直线和不在直线上的一个点确定一个平面，故C错误；对于D：两条相交直线确定一个平面，故D正确.故选: D. 12．若l、m、n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　D　） A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β 【解答】解：对于A：α∥β，l⊂α，n⊂β，则有l∥n，可能l与n异面．∴A不对；对于B：α⊥β，l⊂α，则有l⊥β，可能l在平面β内，∴B不对；对于C：l⊥n，m⊥n，则有l∥m，可能l与m异面．∴D不对； 对于D：l⊥α，l∥β，则有α⊥β，∴C对．故选：C．【点晴】本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等 简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力，属于基础题． 13．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直． 以下判断正确的是（　A　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【分析】首先利用线面平行的判定定理，判定①的结论正确，进一步利用线面垂直的判定定理判定②的结论正确． 【解答】解：对于①：由于M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN∥BD， 由于MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，故直线MN恒与平面ABD平行；故①正确； 对于②，取AC的中点O，连接BO和DO，如图所示：根据菱形的性质，所以BO⊥AC，DO⊥AC， 故AC⊥平面BOD；由于BD⊂平面BOD，所以AC⊥BD，由于MN∥BD，所以AC⊥MN，故②正确．故选：A． 【点晴】本题考查的知识要点：平面图形和直观图的转换，线面平行和线面垂直的判定和性质，主要考查学生的 空间想象能力，属于基础题和易错题． 三、解答题 14. 如图，正四棱柱 的底面边长为2，侧棱长为3， 的中点为F. (1)求证：直线AF与直线CD是异面直线；(2)求直线AF与CD所成角的大小.（ arctan ） 15．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）． 假设我们把亭子看成由一个圆锥P﹣O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）．一般地，设圆锥P﹣O1中 母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米， 底面半径为2米． （2） α=30°，求几何体Ω的体积；（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的一个点， 求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 15．(1) (2)，该亭子满足建筑要求【分析】（1）利用柱体，锥体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可． 【详解】（1）圆柱的体积， 圆锥的体积为，几何体的体积； （2）连接，，根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，，， 圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为. 又，因为，， 所以，故该亭子满足建筑要求. 【点晴】本题考查空间几何体的体积的计算和异面直线所成角的求法，考查了转化思想，属中档题． 16．已知，如图P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线 PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的投影．求证：对平面α上任一直线a， a⊥OA是a⊥PA的充要条件． 【分析】利用线面垂直的判定定理分别证明充分性和必要性即可． 【解答】证明： 充分性：∵PO⊥α，∴PO⊥a，又∵a⊥OA，PO∩OA＝O，∴a⊥平面PAO，又∵PA⊂平面PAO，∴a⊥PA； 必要性：∵PO⊥α，∴PO⊥a，又∵a⊥PA，PO∩PA＝P，∴a⊥平面PAO，又∵OA⊂平面PAO，∴a⊥OA， 综上，对平面α上任一直线a，a⊥OA是a⊥PA的充要条件． 【点晴】本题主要考查了充分性和必要性的证明，考查了线面垂直的判定定理，是基础题． 17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，D、E分别是AB、A1B1的中点． （1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；（2）求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1；（3）求证：直线AC1∥平面CDB1． 17． （1）48+8（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析. 分析】（2）证明出和，从而证明出面面平行，进而得出线面平行； （3）证明出线面垂直，从而证明面面垂直. 【详解】（1）48+8 （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥，又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥，因为，平面，故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （3）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面， 所以平面，因为，，所以四边形为平行四边形，故，， 又，，所以，，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面，又，平面， 所以平面平面，又∵平面A，直线AC1∥平面CDB1. 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，BC＝2AB， E、F分别为棱BC、BP中点．（1）求证：平面AEF∥平面DCP； （2）若平面PBC⊥平面ABCD，直线AP与平面PBC所成的角为45°， 且CP⊥PB，①求四棱锥P-ABCD的体积；②求二面角P﹣AB﹣D的大小． 18．(1)证明见解析；（2）①；②. 【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；（2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知， 根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果. 【详解】（1）为中点，，，，，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面；分别为中点，， 平面，平面，平面；，平面，平面平面. （3） 平面平面，平面平面，平面，，平面， 即为直线与平面所成角，即；，则， 平面，平面，，； 作PG⊥BC，则由平面平面，平面平面得PG⊥平面且PG=， 四棱锥P-ABCD的体积为=； ②，，平面，平面，平面平面， 即为二面角的平面角，，，， 即二面角的大小为. 【点晴】本题考查面面平行的判定以及二面角的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$