专题06 正多边形与圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题06 正多边形与圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 己知正多边形的中心角求边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形和圆的综合 题型八 尺规作图—正多边形 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可． 【详解】如图，连接 ，，，． 正三角形的中心角 ， 正八边形的中心角 ， ， ， ． 2．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 【经典例题二 己知正多边形的中心角求边数】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 1．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2023·江西九江·一模）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：正六边形的边，与相切于点，， ， 六边形是正六边形， ， 在五边形中， ， 故选：． 2．（2024学年上海市黄浦区三校联考3月自适应性练习数学试题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 1．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 2．（2024·甘肃陇南·三模）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为， ∴正六边形的周长为， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 又是半径， 是的切线； （2）解：， 以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ， 以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 【答案】A 【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案． 【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，， ∴， ， 同理 空白部分面积和阴影部分面积的比值为：． 故选：A． 1．（2024·广西梧州·一模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：B． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点， 由题意知． ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：解：连接、，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 1．（2023·上海·一模）下列说法正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外 C．圆心角相等，它们所对的弧相等 D．边长为R的正六边形的边心距等于 【答案】D 【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质对各选项进行逐一判断． 【详解】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、当半径大于点到圆心的距离时，点在圆内，原说法错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，原说法错误，不符合题意； D、边长为R的正六边形的边心距等于，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键． 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积， 作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：作于D． ∵是正三角形， ∴点O在上，， 在中，， ， ∴，． 又∵， ∴， ∴，，，． 【经典例题七 正多边形和圆的综合】 【例7】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质；如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 1．（22-23七年级下·重庆·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 2．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 3．（2023·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 3．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系； （2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系； （3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可． 【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确； ②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确； ③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确． 故选D 【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式． 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 5．（2022·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 6．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 7．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 8．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 9．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，灵活运用相关定理成为解题的关键． 如图，根据正五边形的性质，可知圆周长，进而求出，求出，即可解答． 【分析】解：五边形为正五边形， ， 圆周长， ， ， ． 故答案为：． 10．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 11．（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)3 【分析】（1）根据为边上的中线，可得即可证明； （2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解； （3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：在Rt中，， ， ， ， 为边上的中线， ，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴当最短时，面积最小， 根据垂线段最短，即，面积最小，如图，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵为边上的中线， ∴， ∴ 解得：，即 ∴， ∴面积的最小值为1； （3）作辅助线如图所示，其中，    由正十二变形的性质可得： 又∵ ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴阴影面积； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键． 12．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正多边形与圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 己知正多边形的中心角求边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形和圆的综合 题型八 尺规作图—正多边形 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 ． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【经典例题二 己知正多边形的中心角求边数】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 1．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    3．（2023·江西九江·一模）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024学年上海市黄浦区三校联考3月自适应性练习数学试题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·甘肃陇南·三模）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 1．（2024·广西梧州·一模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 1．（2023·上海·一模）下列说法正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外 C．圆心角相等，它们所对的弧相等 D．边长为R的正六边形的边心距等于 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为 ． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【经典例题七 正多边形和圆的综合】 【例7】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 1．（22-23七年级下·重庆·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 2．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2023·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中． ①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 5．（2022·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 6．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 7．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 8．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 9．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 10．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 11．（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 12．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$