4.3.1 等比数列的概念（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 学习目标 1 2 3 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，培育逻辑推理的核心素养 掌握等比中项及其应用，培育数学运算的核心素养 掌握等比数列的通项公式及其应用，培育数学运算的核心素养 复习回顾 1. 等差数列: 2. 等差数列的通项公式: 3. 等差中项: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）. 数学表达式: ( n ≥ 2，n ∈N *) 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. （2A= a+b ） 新课导入 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 请看以下几个实例中的数列，思考它们有何共同特征？ 【实例1】两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 新知探究 【实例2】 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： 新知探究 【实例3】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是： 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 n 次 …… 分裂次数 8 【实例4】 某人存入银行 ɑ元钱，存期为5年，年利率是r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ‧‧‧. ⑤ 新知探究 问题1 仔细观察实例中的6个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现这些数列的取值规律?你发现了什么规律? 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ‧‧‧. ⑤ a(1+r), a(1+r)2, a(1+r)3, a(1+r)5, a(1+r)6. ⑥ 如果用{an}表示数列①，那么有 取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 追问 数列②~⑥，从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都分别等于多少？ 新知探究 问题2 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示. an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) 符号 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____ 二 比 同 等比数列. 公比 比 等比数列 q 符号 公比通常用字母 表示. 学以致用 教材P31 1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… (7) 1,a2,a4,a6,… a≠0时，是等比数列，公比为a a=0时，不是等比数列 新知探究 辨析1 等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 辨析2 常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 辨析3 是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0 新知探究 问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 等差中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 等比中项 如果三个数a, G, b组成 ，那么G叫做a和b的 . 等比数列 等比中项 追问 任意两个实数a，b都有等比中项吗？ 若a，b异号则无等比中项. 若a，b同号(且均不为0)则有两个等比中项. ∴a, G, b成等比数列  (ab>0) 问题4 根据等比数列的定义及推导它的通项公式吗？ 新知探究 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 ∴ a2= a1q， a3= a2q = a1q2， a4= a3q= a1q3， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). 又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立. 因此，首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 追问 还有其它方法推导吗？ 追问 还有其它方法推导吗？ 累加法 …… +） 等差数列 类比 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 …… n-1个 又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立. an=a1qn-1 (n∈ ) 累乘法 新知探究 等比数列的通项公式 概念生成 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为 思考 已知等比数列{an}的公比为q，能否用{an}的第m项am表示an？ an=a1qn-1 (n∈ N*) 等比数列{an}的通项公式： 等差数列{an}的通项公式： 问题5 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ 指数型函数 l 0<q<1 q>1 q=1 指数函数 y=qx 的单调性   等比数列an=qn 的单调性 不变 等比数列an=a1qn-1的 单调性 a1>0 不变 a1<0 不变 单调递减 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 追问1 类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？ 新知探究 新知探究 追问2 公比q＞0且q≠1的等比数列{an}的图象有什么特点？ ● ● ● ● ● 从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点. 下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题. 典例分析 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. ① ② ②的两边分别除以①的两边，得 解得 两个，需对其分类讨论 把代入①，得 此时==384=24 把代入②，得 此时==-384=-24 因此，的第5项是24或-24 解法1: 典例分析 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 解法2: 因为是和的等比中项，所以 因此，的第5项是24或-24 == 所以 典例分析 例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 注意设法 解: 学以致用 教材P31 a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4 16 50 0.08 0.0032 学以致用 教材P31 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 能力提升 题型一 等比数列的概念 例题 1. 多选题 以下数列中是等比数列的是( @1@ ) A. 数列 ， ， ， ， B. 数列 中，已知 ， C. 常数列 ， ， ， ， ， D. 数列 中， （ 为常数，且 ），其中 [解析] 在B中，不一定满足 <m></m> ； 在C中，若 <m></m> 为0，则不是等比数列； 在A、D中，满足 <m></m> 为非零常数， <m></m> 、D中数列是等比数列. </m> D 能力提升 题型一 等比数列的概念 例题 2. “ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的( @3@ ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析] 由 <m></m> ，不能推出 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等比数列， 例如 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故充分性不成立． 若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等比数列，则 <m></m> ，所以 <m></m> ，故必要性成立． 综上，“ <m></m> ”是“ <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等比数列”的必要不充分条件. B 能力提升 题型二 等比数列的通项公式与应用 例题 3. 已知在等比数列 <m></m> 中. (1)若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> 的值； (2)若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> ． [解析] (1)设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ． 由 <m></m> 得 <m></m> ． 由 <m></m> 得， <m></m> ， 则 <m></m> ，所以 <m></m> ，解得 <m></m> ． (2)由题意知， <m></m> ，因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> . 能力提升 题型三 等比数列通项公式的函数特征 例题 4. 已知数列满足，点 在函数的图象上， 则 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A [解析] 由已知得，则 ， 解得 ， ， ，故选A. 能力提升 题型三 等比数列通项公式的函数特征 例题 5. 已知等比数列的通项公式为 . (1)求公比 ； (2)判断数列 的单调性. [解析] (1)由得公比 . (2)解法一：由于，公比，且 ， 所以等比数列 为递增数列. 解法二：由 ，得 ， 所以 ， 所以等比数列 为递增数列. 课堂小结 形 等差数列 等比数列 类比 抽象概念 代数运算 归纳法 累乘法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 指数函数 数 形 $$