4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 理解等比数列的前n项和公式的推导方法 熟练掌握等比数列中，，，， 之间的关系，能够“知三求二”，培育数学运算的核心素养 握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题 复习回顾 1. 等比数列定义： 2. 等比数列通项公式： 3. 等比中项 4.等差数列的前n项和公式 那么等比数列的前n项和公式又会是怎样的？ 新课导入 国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求." 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨， 各个格子里的麦粒数依次是： 1 2 …… 这位聪明的发明者到底要求的是多少麦粒呢？ 问题1 根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言？ 新知探究 追问1 把上述问题中每个格子里放的麦粒数 看成一个数列，那么构成什么数列？ 以1为首项，2为公比的等比数列. 追问2 那么求麦粒总数 可以归结为什么数学问题呢？ 求等比数列的前n项和问题 追问3 总麦粒数S64怎么求？ 新知探究 追问4 观察下列各式，能否发现什么规律？ 猜想一下S64应该等于多少？ 该猜想正确吗？该如何验证呢？ 新知探究 追问5 S64进行怎样的变形能出现264？ S64 = 1 + 2 + 22 + ··· + 262 + 263 ① ② 2S64 = 2 + 22 + ··· + 262 + 263 + 264 等式两边乘上的2是什么？ 追问6 根据两式我们如何求出S64的值呢？ ①-②得 错位相减法 反思 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？ 新知探究 问题2 类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？ ② ①-②得： ①×q 得 是否可以把等式两边同除以(1-q)？ 概念生成 等比数列的前n项和公式： 首项 末项 公比 前n项和 项数 新知探究 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了. 1000粒麦子的质量约为40g 发明者要求的麦粒的总质量超过了7000亿吨 是2016~2017年世界小麦年产量（7亿多吨）的981倍，按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上约_____年. 1千克 80 240 所以国王兑现不了他的承诺. 典例分析 [例7] 已知数列{an}是等比数列. 解： 学以致用 教材P37 1. 已知数列{an}是等比数列. 学以致用 教材P37 学以致用 教材P37 4. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个等比数列的首项和公比. 典例分析 [例8] 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 解： 典例分析 [例9] 已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 证明： 典例分析 [例9] 已知等比数列{an}的公比q ≠－1，前n项和为Sn，证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 证明： 性质4 若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n ,…成等比数列,其中公比为qn. 学以致用 教材P37 5. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少? 解法1： 解法2： 能力提升 题型一 与等比数列前n项和有关的基本量的计算 例题 1. 已知数列 满足 , ,若 为单调递减的等比数列，其前 项和 ，则 ____. <m></m> [解析] 设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ， 由 <m></m> , <m></m> , 得 <m></m> , <m></m> 是方程 <m></m> 的两根. 又 <m></m> 为单调递减的等比数列， <m> </m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ,解得 <m></m> . 2. 已知等比数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 成等差数列． （1） 求 <m></m> 的公比 <m></m> ； （2） 若 <m></m> ，求 <m></m> . 能力提升 题型一 与等比数列前n项和有关的基本量的计算 例题 [解析] （1）依题意有 <m></m> ， 由于 <m></m> ，故 <m></m> ，又 <m></m> ，从而 <m></m> . （2）由（1）及题意可得 <m></m> ，得 <m></m> ， 从而 <m></m> . 能力提升 解题感悟 计算等比数列基本量的方法技巧 （1）等比数列的基本量有 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，知道其中任何三个量，都可以求其余的两个量，即“知三求二”. （2）计算等比数列的基本量的关键是掌握等比数列的通项公式与前 <m></m> 项和公式，通常将已知条件转化为首项和公比的方程（组）求解，这里运用了方程的思想. 能力提升 题型二 与等比数列前n项和有关的基本量的计算 例题 3.在等比数列 <m></m> 中,已知 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> . [解析] 解法一：设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> , 由已知得 <m></m> ② <m></m> ①得 <m></m> ,即 <m></m> ,③ 将③代入①得 <m></m> ， <m></m> . 能力提升 题型二 等比数列的“片段和”性质的应用 例题 3.在等比数列 <m></m> 中,已知 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> . 解法二： <m></m> 为等比数列,且显然公比不等于 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 成等比数列， <m></m> ， <m></m> . 解法三：由性质 <m></m> 可知 <m></m> ， 即 <m></m> ，得 <m></m> ， <m></m> . 能力提升 解题感悟 等比数列的前 <m></m> 项和性质的证明与应用 （1）利用等比数列前 <m></m> 项和公式证明“片段和”性质，容易想却不容易算，利用等比数列的项的性质，通过整体代换法证明可以简化解题过程. （2）灵活利用等比数列的项的性质以及前 <m></m> 项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度.注意等比数列的公比为1或-1时前 <m></m> 项和的性质判断，这是易错点. 课堂小结 1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）. 2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）. $$