四川省成都市成华区某校2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三数学半期考试 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．4 C． D．32 3．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．将图（1）所示摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（   ） A．50米 B．60米 C．65米 D．75米 6．已知函数为，在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知是函数在上的两个零点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于函数和，则（    ） A．与的零点相同 B．与的最小值相同 C．与的最小正周期相同 D．与的极值点相同 10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， .D．满足的点有且仅有2个 11．设函数且，则（    ） A．函数和的图像关于直线对称 B．函数和的图像一定有交点，且交点在直线上 C．若，方程的根为，方程的根为，则 D．已知，若恒成立，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．已知数列满足，，表示不超过的最大整数（如，记，数列的前项和为）. ①若数列是公差为1的等差数列，则 ； ②若数列是公比为的等比数列，则 ． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边 分别与单位圆相交于点，. (1)求的值； (2)求的面积. 16．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求平面ABD与平面ABF所成角的正弦值． 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值大于2，求的取值范围. 18．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， ,. 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C A B C D B D BC ABD AC 12． 13．2 14. 6 15．【详解】（1）由题意知，角的终边与单位圆交于,角的终边与单位圆交于， 所以，，则解得或，且或， 因为在第一象限，在第二象限，所以，， ……………………4分 所以，，所以； ……………………7分 （2）在单位圆中，因为，，所以， ，又，由两角差的正弦公式得， ， ……………………11分 又，，. ……………………13分 16.【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形，，从而②， 由①②，，平面，所以平面， ……………………4分 而平面，所以． ……………………5分 （2）不妨设，，． ，，又，平面 平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，……………………8分 设平面与平面的一个法向量分别为， 平面ABD与平面ABF所成角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以，……………………12分 所以，，……………………14分 从而． 所以平面ABD与平面ABF所成角的正弦值为．……………………15分 17．【详解】（1），……………………1分 ①当时，在上单调递增，无递减区间，……………………3分 ②当时，， ， 在上单调递增，在上单调递减，……………………5分 综上：当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减. ……………………6分 （2）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值，……………………8分 ，即，……………………10分 令， 恒成立，在上单调递增，……………………13分 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是.……………………15分 18．【详解】解：，…………2分 因为服从正态分布， 所以.……………………3分 所以，所以的数学期望为.……………………5分 ①棋子开始在第格为必然事件，. 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即. ……………………6分 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以， 即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.……………………11分 ②由①知，，，…，， 以上各式相加，得， 所以. 所以闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为. ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.……………………17分 19．【详解】（1）因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：；……………………4分 （2）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得，可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及，……………………6分 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则；……………………9分 （ii）设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，，……………………11分 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 设在新图形中对应点记为， 由，，， ，， ①， 即 所以②， 由由可得可得： 即 则 即，， 解得， ……………………16分 因为，所以．……………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$