江苏省各地2023-2024学年高二期末考试数学汇编：裂项相消法解答题

裂项相消法解答题专项训练 裂项相消法解答题专项训练 1．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知数列的首项，前n项和为，且．设． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 2．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知正项数列和满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求使成立的的取值范围． 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前n项和为，，__________，__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 7．（23-24高二下·江苏盐城·期末）数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）设的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)已知，且的前项和为，求证：. 9．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，记集合且，求集合中所有元素的和． 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$裂项相消法解答题专项训练 裂项相消法解答题专项训练 1．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知数列的首项，前n项和为，且．设． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）在数列中，①， ②， 由①-②得：，即，， 所以，即， 在①中令，得，即，而，故． 则，即， 又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）， ， 又因为，所以，所以. 2．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知正项数列和满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意，所以， 又因为是正项数列，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以其通项公式为， 而， 所以当时，有， 而当时，也满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以， 两式相减得， 所以数列的前项和. 3．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即， 所以（，）， 又，符合上式，所以（）． （2）由（1）， 所以． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设、，又， 则可得， ， 即有，解得或， 又、，故，， 即，； （2）， 则， ， 若成立，即， 由，即，整理得， 解得，又，故或， 即使成立的的取值范围为. 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为 由题意得，， ， ， 因为数列是等差数列， 所以，即， 解得，，所以. （2）由（1）得， 所以， 故， 所以 因为，所以，故， 因为为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 故当时，， 综上：. 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前n项和为，，__________，__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于是等差数列，设公差为d， 当选①②，，解得 所以的通项公式 选①③，，解得， 所以的通项公式 选②③，，解得， 所以的通项公式 （2）由（1）知，， 所以， 所以 ． 7．（23-24高二下·江苏盐城·期末）数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2021 【详解】（1）将两边都加，得，而，所以， 即有，又，即，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知，，则， ， 则， 因此，两式作差得到，， 所以； （3）由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以， 所以不超过的最大的整数是2021. 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）设的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)已知，且的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：， 令得； 又当时，， 可得，即①； （解法1）退位作差证明等差数列：②， 由①－②得， 即∴ 数列是等差数列. 由及可得公差， 可得. （解法2）变形构造： 由，，可知，∴. 当时，； ， ∴， 当时也成立，所以. （2）证明： ， 因为， 所以 ， 即. 又因为， 所以 ， 因为，所以. 综上，. 9．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，记集合且，求集合中所有元素的和． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【详解】（1）因为，所以，， 因为，所以， 又数列是等差数列，所以的公差， 故数列的通项公式， 所以， 即的通项公式． （2）由（1）知， 则． （3）由（1）知， 当为偶数时，， 故 ， 此时，由，又且，所以解得，即． 当为奇数时，， 此时． 综上可得 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1）由对任意正整数m，n都有，令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以. （2）由（1）得，当n为偶数时， = ; 当n为奇数时，为偶数，. 综上所述，. 若k为偶数，则为奇数，由，即，整理得，解得（舍去）或; 若k为奇数，则为偶数，由，即，整理得，解得或，均不合题意，舍去. 综上，所求k的值为2. （3）由 . 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以 .故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$