专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 例2．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 例3．（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 例5.（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    1．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（  ）    A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24辽宁九年级月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 4．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 5．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中，，点 E、F 分别是边上的动点，且， 当为 时，最大． 6．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 7．（2023·广东·九年级专题练习）如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ． 3．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ． 8．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长； 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED． 9．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，点B在线段CE上． 【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知△ACB∽△AED（不要求证明）； 【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED； 【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，则△ABD与△BDE的面积比为　 　． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题背景：如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．（无需证明） (1)探究：如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．(2)应用：请利用（1）获得的经验解决问题：如图3，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆与相切时，求的值． (3)拓展：在（2）的条件下，当时，直接写出点在边上所走的总路程__________． 11．（2024·绵阳市·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF． （1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积． 12．（2024·广东·九年级专题练习）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    14．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．    15．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．    (1)如图1，若点恰好落在边上，求的长； (2)如图2，延长交边于点，当时，求的值； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 16．（2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当 时，；（2）点从点以每分钟个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 17．（2023·吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 18．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．①求点的坐标；②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据等腰三角形性质可知，，再根据可知，结合，可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：为等边三角形，，，， ，， ，，， ，，，，故答案为：10． 例2．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 【答案】 3 【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故． 【详解】解：①∵，，∴， ∵四边形是矩形，∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，故答案为：； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，      ∵四边形是矩形，∴， ∵点O为中点，∴，∴由勾股定理得， ∵，∴∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴，∴ ∵∴∴， ∴，∴，∴的最大值转化为的最大值， ∵，∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵，∴当三点共线时，取得最大值为18，∴．故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键． 例3．（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 【答案】1或4 【分析】根据题意可证，得出比例关系式，进而求出AP的长． 【详解】∵在梯形中，，∴． 又∵，， ∴，∴．∴． 设，则，∴，解得或4.∴或4． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是解题的关键． 例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角，∴， 即，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：； 拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE，∴， 即，解得：，∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 例5.（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2 【分析】(1) ①求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可； ②分为三种情况，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等)，三角形全等推出即可；(2)存在，可证 得到CD=AC=2． 【详解】解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,∴∠B=∠C=45° ∵∠ADE=45°,∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,即45°+∠1=45°+∠2．∴∠1=∠2． ②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况: 第一种情况: DE=AE,∵DE=AE,∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,即DE⊥．AC． ∴AD= DC．∴E为AC的中点，∴ 第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,即AE=AC=2; 第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴  ,∴BD=CE，AB=DC, 设BD=CE=x,在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ． ∴DC=-x．∴-x=2,∴x=-2,∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或 (3)解:存在，理由如下：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵∴ ∴ 又∵ ,∴ ， 故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点的应用，用了分类讨论思想． 例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【分析】由，可确定A项正确；由可得，进而由确定点F为的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到，得到为圆的直径，因为，根据垂径定理得到，故C项正确；因为D为的三等分点，即，可得，由此确定D项错误． 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴．在与中，， ∴，∴，又∵，∴； ∵为等腰直角三角形，∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴，∴，， ∴，∴；∴．故D项错误．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【分析】（1）由题意可得，又由，可得，据此证得结论；（2）假设与相似，存在两种情况：①当，可得，根据题意可知此种情况不成立；②当，使得与相似，设，则，可得，，再由，即可求得值． 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到，，的长；再根据，利用对应边成比例即可得的长． 【详解】解：矩形中，，    ，又是的中点，， 中，，由题可得，， ，， ，，即，解得，故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确． 【详解】解：如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由翻折可知：，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①②正确， 如图2中，当M与C重合时，设．则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，可得， ∴， ∴，故③正确， 如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，    如图1中，∵于H，， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴．故⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24辽宁九年级月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由可得：,所以,利用相似三角形的性质可以得到①正确；由以及已知条件可以得到，进而由①所得结论确定为的三等分点，可确定结论②正确；根据可以得到，，则，由线段的比例关系即可求得面积的比例关系；当四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到，则是所在圆的直径，由垂径定理可得； 【详解】由题意可得： 故结论①正确； , ,是等腰直角三角形 在和中：   是等腰直角三角形，    由结论①可得： 点是的中点 故结论②正确； ，， , , ,即 故结论③错误； 当四点在同一个圆上时， , 是所在圆的直径 故结论④正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键. 4．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，同时平分和， ，， 在与中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 5．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形 中，，点 E、F 分别是边上的动点，且， 当为 时，最大． 【答案】/ 【分析】在中，，则，当增加时，也增加，因为，要使取最大值，所以取最小值，然后证明，利用二次函数求得的最小值即可． 【详解】设，∵矩形中，， ∴， ∴, ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即，整理得：， ∵，∴当时，y取最小值， ∵中，，∴， ∴要使取最大值，即最大时，y应取最小值， ∴，即，故答案为：． 【点睛】本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，也体现了数学中转化的思想，灵活运用是关键． 6．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，，由，， ，，且， ，，∽， ， ，， 又， ， ∽，， 又，，或舍去， 经检验：符合题意，．故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 7．（2023·广东·九年级专题练习）如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ． 【答案】或． 【分析】分情况讨论：方法一：当点落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到，根据设求出AN；方法二：当在的延长线上时，如图2，同样方法求出AN. 【详解】方法一：当点落在如图1所示的位置时， 是等边三角形，， ， 得，得， ，设则，， ，，解得； 方法二：当在的延长线上时，如图2， 与同理可得.得. ，， 设则，， ，解得：，，故答案为：或. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点落在直线上的点处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解. 3．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ． 【答案】 2 15 【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN， ∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点 ∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合， 当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合， ∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线， ∴． 故G的运动路径=2， 过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴ 为的中点， ∴ 设AE=x， ∵AB ∴HF       ∴当 时，△CEF面积的最小值 故答案为：2，15． 【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键． 8．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长； 小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED． 【答案】CD=5；（1）见解析；（2） 【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出； （2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得 ，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解． 【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DE＝AD＝AE， ∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°， 且∠ADC＝∠ADE+∠EDC， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠BDA＝∠DEF， ∴△ADB∽△DEF， ∴＝， ∵AB＝2， ∴DF＝4， 又∵∠CDE+∠C＝45°， ∴∠CEF＝∠CDE， ∴△CEF∽△CDE， ∴， 又∵DF＝4，CE＝， ∴， ∴CF＝1或CF＝5（舍去）， ∴CD＝CF+4＝5； （2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE， ∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC， ∴AB＝AC，AD＝CD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠EAD+∠EBD＝90°， ∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°， ∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE， ∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE， ∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT， ∴△DBE∽△ATD， ∴，∠ADT＝∠BED， ∴，且AD＝DC， ∴， ∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD， ∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD， ∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD， ∴△ARE≌△ATD（ASA） ∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER， ∴∠BED＝∠AER， ∴∠AED＝∠BER＝∠EBD， ∴RE＝RB＝DT， ∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC， ∴△ABR≌△ACT（AAS） ∴BR＝TC， ∴DT＝TC， ∴CD＝2DT， ∴＝ 【点睛】本题主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性质，作合适的辅助线对证明三角形相似起到关键作用. 9．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，点B在线段CE上． 【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知△ACB∽△AED（不要求证明）； 【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED； 【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，则△ABD与△BDE的面积比为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7：2 【分析】（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，从而得证． （2）由∠C＝∠ABD＝∠E与∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED． （3）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案． 【详解】（1）∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°， ∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°， ∴∠A＝∠DBE， ∴△ACB∽△BED； （2）∵AC＝AE， ∴∠C＝∠E， ∵∠ABD＝∠E， ∴∠C＝∠ABD， 又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE， ∴∠CAB＝∠DBE， ∴△ACB∽△BED； （3）∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD， ∴∠CAB＝∠DBE， ∵∠C＝∠E＝60°， ∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝CE﹣BC＝4， ∴△ACB与△BED的相似比为：3：2， ∴S△ABC：S△BED＝9：4，S△ABC：S△ABE＝1：2＝9：18， 设S△ABC＝9x，则S△ABE＝18x，S△BDE＝4x， ∴S△ABD＝S△ABE﹣S△BED＝18x﹣4x＝14x， ∴S△ABD：S△BDE＝14：4＝7：2． 故答案为：7：2． 【点睛】此题是相似形的综合问题，主要考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题背景： 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．（无需证明） (1)探究：如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．(2)应用：请利用（1）获得的经验解决问题：如图3，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆与相切时，求的值． (3)拓展：在（2）的条件下，当时，直接写出点在边上所走的总路程__________． 【答案】(1)依然成立；理由见解析 (2)， (3)2 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点作于点，利用勾股定理求出的长，根据切线的性质，得到，进而求出的长，由（1）可知，列式求解即可； （3）根据，得到关于的二次函数，推出点从点出发，当时，达到最大值，此时点运动的总路程为，接着点向点返回，求出返回的路程，两个路程和即为所求． 【详解】（1）解：结论依然成立；理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作于点， ∵， ∴． ∴； ∵以为圆心，以为半径的圆与相切． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 同法（1）可知：， 设点的运动时间为（秒），则：， ∴， 解得：，； 即：当运动秒或秒时，以为圆心，以为半径的圆与相切． （3）解：设点的运动时间为（秒），则：， ∵， ∴， ∴； ∵，对称轴为， ∴当时，的值先增大，再减小， 即：点从点出发，当时，达到最大值，此时点运动的总路程为，接着点向点返回， 当时：， 即第秒到第秒，向移动了：， ∴当时，点在边上所走的总路程； 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及二次函数的性质．本题是一线三等角相似模型，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． 11．（2024·绵阳市·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF． （1）求证：△BEP∽△CPF；（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证△BEP∽△CPF； （2）由题意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC， ∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC， ∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°， ∴∠BEP＝∠FPC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BEP∽△CPF； （2）∵∠PAB＝30°， ∴∠BPA＝60°， ∴∠BPE＝30°， 在Rt△ABP中， ∠PAB＝30°，AB＝， ∴BP＝1， 在Rt△BPE中， ∠BPE＝30°，BP＝1， ∴EP＝， ∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°， ∴PF＝2CP＝2﹣2， ∴△PEF的面积为：PE•PF＝2﹣． 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型． 12．（2024·广东·九年级专题练习）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为． ①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元． 【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解； （3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解； ②根据二次函数性质求最值 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵点E为的中点， ∴ 故答案为：； （2）存在，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴． ∵Q是的中点，∴． 由折叠的性质得：， 当点P、、三点在同一条直线上时，， ∴． ∵， ∴． ∵∵， ∴， ∴，即， 解得：或； （3）①根据题意做出辅助线，如图所示． 由题意得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由，则． ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②由①知，， 当时，四边形的面积取得最小值为， ∴最低造价为（元）， ∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：．(2)求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴， ∵，∴，解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．    【答案】(1)6(2)(3)或 【分析】（1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：过点作与点，    ∵，，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为矩形，∴，，∴， 在中，，∴ （2）∵，∴，， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴，即：，整理，得：， ∵点E在线段上，∴，∴； （3）当点在线段上时， ①当时，如图，过点作与点，则：，    由（1）知，，∴，由（2）知：， 当时：或，即：或； ②当时，∵，∴此种情况不存在； 当点在线段的延长线上时：如图，    则：，同法（2）可得：，即：， 整理，得：， ∵是以为腰的等腰三角形，则：， 在中：， 在中：， 在中：， 整理，得：， ∵，∴， 整理，得：，解得：（负值已舍掉）；∴， 综上：或． 【点睛】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理．解题的关键是读懂题意，正确的作图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 15．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．    (1)如图1，若点恰好落在边上，求的长； (2)如图2，延长交边于点，当时，求的值； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）可证，可得，从而可求，即可求解； （2）过点作交于，可证，可得，设，则有，，可得，即可求解；（3）①当在边上，时，可证，从而可证，即可求解；②当在矩形内部时，（ⅰ）当时，由（2）得： ，即可求解；（ⅱ）当时，由（2）得同理可求： ， ，，由，即可求解；③如图，当在矩形外部时，由判断，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，，，， ，，， ，解得：，，，解得：． （2）解：如图，过点作交于，    ，，， 由（1）得同理可证：， ，，，解得：， ，，， 设，则有，，  ， 整理得：，解得：，，经检验：，是此方程的根， ， (不合题意，舍去)，，在中，． （3）解：①如图，当在边上，时，    ，由（1）得：， ，，， ，，故此种情况不存在． ②当在矩形内部时，（ⅰ）如图，当时，        由（2）得： ，，； （ⅱ）如图，当时，    由（2）得同理可求：，， ，，在中， ，整理得：， 解得：，（舍去），； ③如图，当在矩形外部时，    ，始终不是等腰三角形． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定及性质，勾股定理，一般角的三角函数值等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 16．（2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当 时，；（2）点从点以每分钟个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【答案】 6或8 3 【分析】（1）根据边的垂直关系可证，则，于是可求的长． （2）根据题意，两三角形全等分两种情况分别予以讨论，注意求得的结果同时需要满足． 【详解】（1）∵ ∴ ∴∴设，则， ∵∴整理得：解得： ∴或8．故答案为：6或8． （2）设运动y分钟后，与全等，则．    ①时，，即，解得：， 因所以不合题意，舍去． ②时，，即，化简得： ∴或（不合题意，舍去） 故运动3分钟后，与全等．故答案为：3． 【点睛】本题考查了动态几何在一元二次方程的实际应用，涉及相似三角形、全等三角形等知识点,解题的关键是找准相似或全等三角形的对应边． 17．（2023·吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 【答案】（1）详见解析；（2）4；[应用]AP= 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠DPB=∠A+∠ADP，然后推出∠ADP=∠CPB即可证明相似； （2）由相似得到对应边成比例，建立方程即可求AP； [应用]同（1）的方法，先证明∠EPB=∠ACP，然后证明△APC∽△BEP，再由对应边成比例建立方程求AP. 【详解】（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP， ∵∠A=∠DPC，∴∠ADP=∠CPB ∵∠A=∠B∴ （2）∴∴∴AP=4. [应用]AP=，理由如下： ∵∠BPC=∠A+∠ACP∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP ∵∠CPE=∠A∴∠EPB=∠ACP 又∵AC=BC∴∠A=∠B∴△APC∽△BEP∴ ∵CE=3EB∴BE=BC=1∴解得AP= 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型的证明方法是关键. 18．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．①求点的坐标；②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或 【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证； [类比迁移] （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标； ②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为； [拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解． 【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，，∴， ∴，∴， 又∵，∴； [类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，    ∵将线段绕点逆时针旋转得到，∴， 又，∴， ∴，∴， ∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点， 当时，，即，当时，，即， ∴，∴，∴； ②∵，设直线的解析式为， 将代入得：解得：∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，，解得：，∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，    ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 设，则，∵，∴，， ∵，，∴，解得：，∴， 设直线的解析式为， 代入，得：，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，    同理可得，∴，设，则， ∵，∴，， ∵，∴，解得：，∴， 设直线的解析式为， 代入，得：，解得：，∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$