专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得，，得，从而得出与相似，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：是等边三角形，，，， ， ， ，，；， ，，，，的边长为．故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．综合利用题目中条件证明出两个三角形相似是解题的关键． 例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴，解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例3．（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3- 【分析】（1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】解：⑴，，， 又梯形中，，，，， 设，，，解得，，的长1或4; ⑵①由⑴易得（如图），，即， ②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或， ，解得：AP=2或3−. 【点睛】考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键． 例4．（2023·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1，， ，， 又，； （2）结论仍成立；理由：如图2，， 又，， ，， 又，， ； （3）,,, 是等腰直角三角形   是等腰直角三角形 又即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 例5.（2024·浙江·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB． (1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)4或 【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得结论； （2）过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）的结论可得： △NFO∽△OEM，可得 ，可求点N坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解． (1)解：理由如下，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB； (2)解：如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴，NF⊥x轴， 由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1， ∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝ ，∴点N（，3）， ∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝-x+； (3)解：当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H， ∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线， ∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝4， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝4， 当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝4，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5-x， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝4，∴PN＝4-x，CH＝4-（5-x）＝x-1＝DN， ∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°， ∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDN， ∴，∴=∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝， 综上所述：当BE的长为4或时，△DPC为直角三角形． 【点睛】本题是考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 例6．2024江苏中考数学模拟试题）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择． 【详解】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，设AB＝BC＝2，则AC＝2， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝1，在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理） ∵BG⊥CD，∴∠DEB＝∠ABC＝90°，又∵∠CDB＝∠BDE，∴△CDB∽△BDE， ∴∠DBE＝∠DCB， ,即∴DE＝ ，BE＝, 在△GAB和△DBC中，∴△GAB≌△DBC(ASA)∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝， ∵∠GAB+∠ABC＝180°，∴AG∥BC，∴△AGF∽△CBF， ∴，且有AB＝BC，故①正确， ∵GB＝，AC＝2，∴AF＝＝，故③正确， GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误， S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键． 例7．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值． 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2023·湖南益阳·统考一模）矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（    ）．    A．1 B．3 C．1或3 D．1或4 【答案】D 【分析】结合矩形的性质，证明，即可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，，∴， ∵，∴， ∵在中，，∴， 又∵，∴，∴，∴， 整理：，解得：，或者，故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明是解答本题的关键． 2．（2024山东中考模拟预测））如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】试题分析：∵∠ABC=90°，∠GAB=90°，AB=BC， ∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴，故①正确； 又∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG， ∵AB=BC，∴△CBD≌△BAG，∴AG＝BD， ∵BD＝AB，∴AG：BC＝１：２，∴AF：FC＝１：２，∴AF：AC＝１：３， ∵AC＝AB，∴AF＝AB，故②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠DBC＝９０°，∴CD是直径，∴∠CFD＝９０°， ∵BF⊥CD，∴BE＝EF，∴BD＝DF，故③正确； 若，则有BD：BC＝1：3，∵∠BEC＝∠DEB＝９０°，∠BCD=∠ABG， ∴△BDE∽△CBE，∴DE：BE＝BE：CE＝BD：BC＝1：3， ∴DE：CE＝1：9，∴S△BDF：S△BFC＝1：9，即S△ＢＣＦ＝9Ｓ△BDF，故④错误；故选C. 考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质. 3．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（  ）      A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6 【答案】B 【分析】根据得出，再根据长方形的性质证得，，从而得到，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：由题意知，， 四边形为长方形，，，， ，，，， 设，则，， 整理得，，解得，，，即的长应为2或8，故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 4．（2023春·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的结论： （填序号）    【答案】②④ 【分析】根据点E为中点和正方形的性质，得出的正切值，从而判断①，再证明，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得，可判断②③，过点E作的垂线于点G，再证明，，即可证明④． 【详解】解：∵E是的中点，∴，∴，故①错误； ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵，即，∴，故③错误； 设，则， ∴，，，∴，，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴射线是的角平分线，故②正确； 过点E作的垂线于点G，    在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∴，故④正确．综上，正确的有②④，故答案为：②④． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用． 5．（2024·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于 ．    【答案】 【分析】因为，，，，所以，可证，从而可得，即，，在直角三角形中，根据，构建方程求出即可． 【详解】解：，，， ，，， 正方形，， ，，， ，即，， ，，．故答案为：． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质和勾股定理的应用，本题中利用勾股定理得出是直角三角形是解题的关键． 6．（2024·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ，∴ ，解得： ．故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    【答案】或 【分析】根据是等边三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入数值求得结果． 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∵，， ∴，∴， ∴，即，解得：或， 经检验：或是原方程的解，故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 8．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．    【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）证明两个角对应相等； （2）点到直线的距离就是线段的长度，由相似三角形对应边成比例求解即可； 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，，∴ ，，∴， ∴，∽， （2）解：∵∽，∴，即。∴故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得∽是解题的关键 10．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求证；（2）根据，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴，∵， ∴且，∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴，即， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．（1）求的长．（2）求证：． 【答案】（1）5；（2）证明见解析； 【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长；（2）由（1）可知，推出≌，得出结果； 【详解】（1）∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴∽，∴， ∵为中点，∴，∵，设，则， 即：，解得：，，∵，∴． （2）由（1）可知，∵，∴， 在和中，，∴≌∴ 【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 12．（2023·重庆九年级课时练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求证：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）CF＝． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质得到∠BDE＝∠CEF，从而证得结论；（2）首先求出线段CE的长，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出结果． 【详解】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE. (2)∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝6，∴BC＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝4. 由(1)知△BED∽△CFE，∴=，∴＝，∴CF＝. 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定． 13．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5 【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论； （2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°， ∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°， ∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG， ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠BAE=∠FEG， ∵∠B=∠G=90°， ∴△BAE∽△GEF； （2）∵AB=BC=10，CE=2， ∴BE=8， ∴FG=CG， ∴EG=CE+CG=2+FG， 由（1）知，△BAE∽△GEF， ∴， ∴， ∴FG=8， ∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8； （3）设CE=x，则BE=10-x， ∴EG=CE+CG=x+FG， 由（1）知，△BAE∽△GEF， ∴， ∴， ∴FG=10-x， ∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=， 当x=5时，S△ECF最大=， ∴当EC=5时，的面积最大. 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键． 14．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形，∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，∴， ∴，∴ （2）由题意可得，， ∴∴∴， ∴∴，由勾股定理得， ∴，∴； （3）过点作于点．∴ 又∵∴．∴． ∵，即∴， 又∵BM平分，，∴NG=AN， ∴，∴整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 15．（2023·北京西城·九年级校考期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长； 【答案】（1）见解析；（2）长为2或3 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠CED=∠B+∠BDE，结合∠DEF=∠B可推出∠BDE=∠CEF，再加上∠B=∠C可证明△DBE∽△ECF；（2）由△DBE∽△ECF可得对应边成比例，设，则，建立方程求解即可. 【详解】（1）证明：∵，∴； ∵，， ∴.∴. （2）∵（已证）.∴； ∵为的中点，，∴. 设，则；又， ∴，解得或3. 故长为2或3. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，此图形可作为“一线三等角”模型记住证明方法，第（2）题由相似得到对应边成比例，建立方程是解题的关键. 16．（2024•广东中考模拟预测）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由. （2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值； ②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比. 【答案】（1），见解析；（2）①；②与的周长之比为. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明； （2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】解（1）， 理由：，在中，， ，， ，，，； （2）①设，，是等边三角形，，， 由折叠知，，，， 在中，，， ，， ，， ，，， ，， ，，，； ②设，，是等边三角形， ，， 由折叠知，，，， 在中，，， ，，， ，，， ，，， ，，. .与的周长之比为. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质. 17．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点D，点E在边上，，点F在边上，，则的值为_____________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点D、E分别在边上，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴是直角三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴，即,故答案为：2 （3）在上截取，连接，如图3， ∵，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，， ∴，， ∴， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴，． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考阶段练习） 是菱形边上一点，是等腰三角形，，（），，交边于点，，连接．    (1)如图，当时，①求的度数；②若，，请直接写出的长； (2)如图，当时，若，，求的面积． 【答案】(1)；；(2)． 【分析】（）如图，过点作于点，证明，得，即可； 延长至，使，连接，，证明，设，则，，在中，根据勾股定理，得，再代入计算即可； （）如图，连接，先证明，得，过点作于点，交边于点，过点作于点，由，根据三角形相似对应边成比例即可求得． 【详解】（1）如图，过点作于点，则，    ∵，∴菱形是正方形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，，∴，∴， ∴，∴，∴； 由①中结论：是等腰直角三角形，则，∴， 如图所示，延长至，使，连接，，      ∵菱形是正方形，∴，， ∴，∴，， ∵是等腰三角形，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，设，则，， 在中，∴，解得，即， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，故的长为； （2）如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，，，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 如图，过点作于点，过点作于点，交边于点，过点作于点，则， ∴四边形是矩形，∴，，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∵，∴，∴， ∵，，∴，∵∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∴，， ∴，∵，，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴，解得，同理可得， ∴，解得，∴，∴的面积． 【点睛】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    例3．（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 例4．（2023·浙江·九年级专题练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 例5.（2024·浙江·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB． (1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长． 例6．2024江苏中考数学模拟试题）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 例7．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·湖南益阳·统考一模）矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（    ）．    A．1 B．3 C．1或3 D．1或4 2．（2024山东中考模拟预测））如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 3．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（  ）      A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6 4．（2023春·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的结论： （填序号）    5．（2024·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于 ．    6．（2024·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 7．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    8．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 9．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．    10．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．    11．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．（1）求的长．（2）求证：． 12．（2023·重庆九年级课时练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求证：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长． 13．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大． 14．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 15．（2023·北京西城·九年级校考期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长； 16．（2024•广东中考模拟预测）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由. （2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值； ②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比. 17．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点D，点E在边上，，点F在边上，，则的值为_____________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点D、E分别在边上，，若，，求的长． 18．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考阶段练习） 是菱形边上一点，是等腰三角形，，（），，交边于点，，连接．    (1)如图，当时，①求的度数；②若，，请直接写出的长； (2)如图，当时，若，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$