专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 34 58 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 例1．（23-24八年级上·福建·期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（    ）    A．小正方形的面积为4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，故B错误， ，，故D错误，，故A错误， ，∴，，故C正确；故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． 例2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长； (2)当时，小正方形的面积是多少？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查勾股定理，代数式求值，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，， 图2中正方形的边长是； （2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边， 由勾股定理可知，当，时，，小正方形的面积等于5． 例3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，，，，， ，， ，，， ，，故选：D． 例4．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，，∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为：故选：C 例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）    A．74 B．76 C．78 D．80 【答案】B 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】如图，根据题意，， ∵，∴，即， ∴，∴，∴这个风车的外围周长是，故选B．    【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 例6．（2024·浙江·温州八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 【答案】     ##     ## 【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解． 【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， ，， ，，，，，， 四边形是正方形，，， ， ，，，，， ，．故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题关键． 例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积． 故答案为：． 例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1)求证：．(2)若，求AE． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）证明(AAS)，由全等三角形的性质得出；（2）根据全等三角形的性质，得出，，结合题意得出，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又∵，且，∴在和中，， ∴(AAS)，∴； （2）由（1）可得，∴，， ∵AE是BC边上的中线，∴，∴， 在中，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 例9．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．（1）根据直线l，直线l得，再根据得，由此得，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得线段的数量关系； （2）同（1）可证和全等，则，由此可得线段的数量关系； （3）先证，再证，根据在（2）的条件下得，由此可依据“”判定和全等，则，在中由勾股定理得，再根据，可得线段的数量关系． 【详解】（1）线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （2）（1）中的结论不成立，线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）如图：线段的数量关系是，证明如下： ∵，∴，即， ∵直线l，则，∴， ∵，则，∴， ∵在（2）的条件下，则，在和中， ∴，∴，在中，由勾股定理得：， ∵，∴． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）； 结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】D 【分析】分别表示出、、的面积，根据勾股定理判断即可． 【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，， 图1中，，，， 则，，， 同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：， 对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，掌握勾股定理是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案． 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴，， ∴， ， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴ ∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键． 例3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是找出规律．解决该题型题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：如图，    正方形的边长为1，为等腰直角三角形，，， ∴，∴，．观察，发现规律： ，，，，，． 当时，，故答案为：． 例4．（2024·浙江·八年级专题练习）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，∴设，则 根据勾股定理得， ∵ ∴ ∴ ∴图①中正方形面积和为： 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 例5．（22-23八年级下·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个）故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键． 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．2S1+S2+S3 B．2S2+2S3 C．3S1 D．S1+S2+S3 【答案】D 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b， 由勾股定理得，，∴， ∴，∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3，故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等． 1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，由题意，，， ∵大正方形的面积为13，∴，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴小正方形的面积为，故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 2．（2023·浙江温州·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别以为边向外作四个正方形，已知正方形的面积为S（S为整数），则S的值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接BD，构建两个直角三角形，设AD为x，则BC为2x，利用勾股定理，求出的范围，即可确定S的范围，进而判断答案． 【详解】解：如图：连接BD， 设AD的长为x，则BC的长为2x，∵，∴与均为直角三角形． 由勾股定理得：，∴，， ∵，∴，解得：，又∵正方形的面积为S=，A、C、D选项不在范围内，故排除，B选项在范围内，故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，找出直角三角形各边的关系是解题的关键． 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴； 故选B． 5．（2024·广东八年级期中）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 6．（2024·浙江八年级期中）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝（）n﹣1，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1． 观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝ ，…，∴Sn＝（）n﹣1． 当n＝2022时，S2022＝（）2022﹣1＝（）2021，故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn＝（）n﹣1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 7．（2024·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可． 【详解】解：如图1， 在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得： ∵为等边三角形，∴高为∴ ∵为等边三角形，∴高为∴ ∴即：解得： 在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键． 8．（2024·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意推出，可得． （2）由（1）可知，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）由题意，，∴，∴； （2）由（1）可知，，∴，∴，∴AC=5，BC=6， ∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12，∴AD=， ∴这个风车的外围周长． 【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键． 9．（2024·杭州市九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答案】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【解析】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ，，， ，， ， ，，，，故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 10．（2024·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 【答案】16 【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，分别以的各边为边向外作正方形，顺次连结四个正方形的对称中心，得到四边形，则四边形面积为 ． 【答案】 【分析】连接、、、，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，推得，，求得，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，求得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，同理推得，根据菱形的判定可得四边形是菱形，结合题意可求得，根据正方形的判定可得四边形是正方形，根据平行四边形的性质可得，，，求得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，求得，根据勾股定理求得，根据正方形的性质可得四边形的面积． 【详解】解：连接、、、，过点作交的延长线于点，如图： ∵四边形是平行四边形，∴，即以为边的正方形的对角线也相等， ∵点、、是以为边的正方形的对角线的交点，∴，， 即，则 ∵四边形是平行四边形，∴∴， 则∴， ∵，，，∴，∴，， 同理可得，∴四边形是菱形， ∵点是正方形的对角线的交点，∴， 又∵，∴， ∴，∴四边形是正方形， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， 解得：， 同理可得：， 在中，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水． （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ； （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得Ⅲ的面积，根据图形面积相减即可求得图2的Ⅲ中有水部分的面积； （2）根据正方形的中心对称的性质可知，过中心的线将正方形的面积平分，据此即可求得图3的Ⅱ中有水部分的面积 【详解】已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水 Ⅲ的面积是 Ⅰ的面积为AC Ⅱ的面积为 （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水， Ⅲ中有水部分的面积为 故答案为： （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点）， 根据正方形是中心对称图形，经过点的直线将正方形的面积平分， 则Ⅲ中有水部分的面积为Ⅲ的面积的一半， Ⅱ中有水部分的面积 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 13．（2023秋·浙江九年级专题练习）数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题： “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为．    解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）． (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 【答案】(1) (2)小直角三角形的短直角边为，长直角边为 【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，可得答案； （2）由题意可得：正方形，，，可得正方形的边长为，设，，则，，再解方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形， ∴，    ∵正方形，， ∴， （2）如图，由题意可得：正方形，，，    ∴正方形的边长为， 设，， ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：，（负数舍去） ∴， 答：小直角三角形的短直角边为，长直角边为． 【点睛】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键． 14．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______． (2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系． (3)如图②，以的三条边分别作三个等边三角形，若，，，求出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)22 【分析】（1）根据勾股定理可得； （2）分别计算出小正方形的面积、直角三角形的面积和大正方形的面积，根据大正方形等于小正方形加四个直角三角形建立等式即可得到； （3）分别计算出三个等边三角形的面积，根据建立等式，利用进行化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，如果，，，， 那么； （2）证明：如下图所示， 由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图所示，设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形、等边三角形和正方形的性质，解题的关键是根据图形中的面积关系建立等式． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 16．（23-24八年级上·河北唐山·期末）（1）【阅读】 公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”． （2）【验证】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c． 求证： 证明：由图可知 ∵，________，正方形FCHG边长为________， 即． （3）【操作】 如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E． 求证：CE＝BC＋DE． （4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程． （5）【拓展】 如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）斜边的平方；（2）ab，(a﹣b)；（3）见解析；（4）见解析；（5）飞镖状图案的面积＝24 【分析】（1）由勾股定理内容可知； （2）根据图形可得； （3）证明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，转化线段即可； （4）运用等面积法表示梯形BCED的面积，变形即可； （5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飞镖图形的面积． 【详解】（1）斜边的平方． （2）S△ABC＝ab，正方形FCHG边长为（a﹣b）． （3）解：在等腰直角三角板ABD中 由已知得AD＝AB，∠BAD＝90° ∴∠BAC＋∠DAE＝90° 又∵BC⊥l，DE⊥l ∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90° ∴∠DAE＝∠ABC ∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS） ∴BC＝AE，AC＝DE 又∵CE＝AC＋AE ∴CE＝BC＋DE． （4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b ∴S梯形BCED＝(BC＋DE)×CE＝(a＋b)2＝a2＋ab＋b2 又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝ab＋c2＋ab ∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2＋ab 整理得a2＋b2＝c2 （5）解：∵飞镖模型的周长为24，观察可知4（AB+AC）=24 ∴AB+AC=6 ∵OB=OC ∴AB=5，OB=3，OA=4 ∴飞镖状图案的面积＝4S△ABO＝4××3×4＝24． 【点睛】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． 17．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明． 定理表述 （1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言） 尝试证明 （2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理． 拓展延伸 （3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整． ∵，______， 在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，， ∴ 【答案】（1）解答见解析部分；（2）证明见解析部分；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）根据勾股定理解答即可； （2）证明，推出是直角三角形．再结合，可得结论； （3）根据，构建不等式，解决问题即可． 【详解】（1）解：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方，如果直角边为，斜边为，那么． （2）证明：在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 即， 整理得． （3）解：∵， ， ， 又∵在直角梯形中有，即， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）经典与拓展 图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．赵爽弦图在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义．弦图之美，美在简约．赵爽弦图被誉为“中国数学界的图腾”．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图是由4个全等的直角三角形围成1个大正方形和1个小正方形构成的． 【经典解读】 （1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为______；连接，则的面积为______． 【经典迁移】 （2）如图2，P是正方形内的一点，连接，，．当；时，求的面积． 【经典拓展】 （3）如图3，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，C．D为线段上一个动点，连接，过点B作于点E．在上取一点F，使，过点F作，交于点G．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）4；8；（2）；（3），理由见解析． 【分析】问题发现：先由，，，根据勾股定理求得，再由图①中的四个直角三角形全等得，则，再根据正方形面积公式，三角形面积公式即可解答． （2）过点A作，交的延长线于点Q，根据正方形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形的面积公式即可解答． （3）过点G作于点H．先证明四边形是矩形，则，，而，于是得；再证明，得，于是得． 【详解】解：（1）如图①，连接， ∵，，， ∴， ∵图①中的四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图②，过点A作，交的延长线于点Q． 四边形是正方形， ，． ， ， ． ， ， ， ， ． （3）． 如图③，过点G作于点H． ，， ， 四边形是矩形， ，． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 19．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【初识图形】 数学爱好者小明观察图形，并选取图形的一部分如图进行研究，发现，，他在的内部作一条射线，过点作于点，过点作于点，小明猜想．请问猜想是否正确，并说明理由； 【迁移应用】 如图，是等腰直角三角形，，，，求的面积； 【拓展延伸】 如图，在四边形中，，，，过点作于点，，，以线段为直角边构造等腰，请直接写出三角形的面积． 【答案】【初识图形】正确，理由见解析；【迁移应用】；【拓展延伸】的面积为或或． 【分析】【初识图形】由，则，通过，，得，然后证明即可； 【迁移应用】过点作 于点，同理可证，然后用面积公式即可求解； 【拓展延伸】分三种情况讨论即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义，勾股定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【初识图形】如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【迁移应用】如图，过点作 于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【拓展延伸】如图，当时， 过作，使得，连接，过作交延长线于点，交于点， ∴， 同上理：， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作于点交于点， 同（）理， ∴， 又， ∴， ∴， 如图，过作交延长线于点，过作交BA延长线于点，则 同（）理， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的面积为或或． 20．（2023·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． (1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值； (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9 (2)S4＝S1+S2+S3，理由见解析 【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案； ②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案； （2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案． (1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6， ∴AD=CD=3， ∴S1=×3×3=9； ②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=5，CF=BF=4， 设S△BEG=S5， ∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9； (2)设S△BEG=S5，如图， ∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB， ∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2， ∵AC2+BC2=AB2， ∴AC2+BC2=AB2， ∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3， ∴AB2-BC2=S4-S2-S3， ∴AC2=S4-S2-S3， ∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3， ∴S4＝S1+S2+S3． 【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的综合和利用． 21．（2023·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺． 【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3； 迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积； 【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小； 迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解； 【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab； 图③的面积为c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2； 【探究二】S1+S2=S3． 证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47； 【探究三】S1+S2=S3． 证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab， ∵a=5，c=13，∴12，∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30； 【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：绳索长为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 22．（2024春·山东济南·八年级统考期末）在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《几何原本》）． (1)赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． (2)欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________， __________________， 同理可得 所以： 即． 【答案】(1)， ，= (2) 【分析】（1）根据正方形和三角形面积公式即可得出答案 （2）由正方形性质有推出，再证，由正方形、三角形、长方形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）大长方形的面积为，还等于 ， 可得= （2） 四边形BCKH和四边形ABED是正方形， ∴ 即 在中 由题干知 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与积，拥有数形结合思想是解题关键． 23．（2023秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明见解析；（3）3；（4） 【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案； （2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方； （2）如图2 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴∴，满足直角三角形勾股定理； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c； 根据题意得： 如图4： ，， ∴； 如图5： ，， ∵∴； 如图6： ，， ∵∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （4）以a为直径的半圆面积为： 以b为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积∴ 结合（1）的结论：∴∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 34 58 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 例1．（23-24八年级上·福建·期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（    ）    A．小正方形的面积为4 B． C． D． 例2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．(1)用含有的式子表示图2中正方形的边长；(2)当时，小正方形的面积是多少？ 例3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）    A．74 B．76 C．78 D．80 例6．（2024·浙江·温州八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1)求证：．(2)若，求AE． 例9．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 例3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ．    例4．（2024·浙江·八年级专题练习）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 例5．（22-23八年级下·江西上饶·阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．2S1+S2+S3 B．2S2+2S3 C．3S1 D．S1+S2+S3 1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江温州·八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，，，分别以为边向外作四个正方形，已知正方形的面积为S（S为整数），则S的值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·广东八年级期中）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ） A．12 B．32 C．64 D．128 6．（2024·浙江八年级期中）正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（       ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽芜湖·八年级统考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求；（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 9．（2024·杭州市九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 10．（2024·福建龙岩·八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 11．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，分别以的各边为边向外作正方形，顺次连结四个正方形的对称中心，得到四边形，则四边形面积为 ． 12．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水． （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ； （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ． 13．（2023秋·浙江九年级专题练习）数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题： “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题：(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）． (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？    14．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______． (2)如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系． (3)如图②，以的三条边分别作三个等边三角形，若，，，求出的值． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 16．（23-24八年级上·河北唐山·期末）（1）【阅读】公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”． （2）【验证】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．求证： 证明：由图可知 ∵，________，正方形FCHG边长为________， 即． （3）【操作】如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E．求证：CE＝BC＋DE． （4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾股定理．请你帮聪聪完成证明过程． （5）【拓展】如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，直接写出该飞镖状图案的面积． 17．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明． 定理表述（1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言） 尝试证明（2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理． 拓展延伸（3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整． ∵，______， 在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，，∴ 18．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）经典与拓展 图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．赵爽弦图在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义．弦图之美，美在简约．赵爽弦图被誉为“中国数学界的图腾”．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图是由4个全等的直角三角形围成1个大正方形和1个小正方形构成的． 【经典解读】（1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为______；连接，则的面积为______． 【经典迁移】（2）如图2，P是正方形内的一点，连接，，．当；时，求的面积． 【经典拓展】（3）如图3，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点A，C．D为线段上一个动点，连接，过点B作于点E．在上取一点F，使，过点F作，交于点G．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 19．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【初识图形】 数学爱好者小明观察图形，并选取图形的一部分如图进行研究，发现，，他在的内部作一条射线，过点作于点，过点作于点，小明猜想．请问猜想是否正确，并说明理由； 【迁移应用】如图，是等腰直角三角形，，，，求的面积； 【拓展延伸】如图，在四边形中，，，，过点作于点，，，以线段为直角边构造等腰，请直接写出三角形的面积． 20．（2023·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． (1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值； (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 21．（2023·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 22．（2024春·山东济南·八年级统考期末）在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为，所以．这种特殊的关系被称为勾股定理． 勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《几何原本》）． (1)赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为_________，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为__________________．于是得到等式__________________；化简后可得． (2)欧几里得的证明方法： ①如图3，设的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做交HK于N，交BC于M，首先请证明 ② 正方形ADEB与同底等高，长方形BHNM与同底等高， =______________，__________________， 同理可得 所以： 即． 23．（2023秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$