专题17 勾股定理实际应用模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题17 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 11 模型3.信号站（中转站）选择模型 19 模型4.台风（噪音）、爆破模型 23 模型5.超速模型 34 模型6.风吹莲动模型 40 模型7.折竹抵地模型 48 模型.8不规则图形面积模型 57 68 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m。（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC； （2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】（1）2.4米；（2）1.3m 【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案． 【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7， ∴AC＝=（米）， 答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米； （2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′， ∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m）， 在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2， ∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m）， ∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m）， 答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 例2．（2023春·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？    【答案】墙的高度为3米 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：设墙高为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ∵，∴，即．解得：． 答：墙的高度为3米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 例4．（2023春·河南三门峡·八年级统考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】m 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】解：在中，，m，m，m， 此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，m， m，m． 答：船向岸边移动了m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？    【答案】两船相距100海里． 【分析】先证明，求解，，再利用勾股定理作答即可． 【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处， ∴，，，， ∴，∴，∴此时两船相距100海里． 【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 例2．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？    【答案】海里/小时 【分析】先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵，∴，∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里，∴我军巡逻艇的航行速度是海里/小时， 答：我军巡逻艇的航行速度是海里/小时．    【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 例3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 【答案】(1)；(2)4小时． 【分析】（1）根据题意可得：，，，，从而可得，进而可得，然后利用平角定义求出，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；(2)过点作，垂足为，根据题意可得：千米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：       由题意得：，，， ，， ，，的度数为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，在中，， 千米，千米， 在中，，千米， 小时，乙船航行4小时被甲船追上． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例3．（2023·内蒙古包头·八年级期末）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）． (1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； (2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由． 【答案】(1)3h；(2)C岛在A港的北偏西40°方向． 【分析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间； （2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果． 【解析】(1)解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD= (km)， 在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，∴AC=(km)， 轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． (2)C岛在A港的北偏西40°方向； 理由：∵752+1002=1252，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°， ∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，∴C岛在A港的北偏西40°方向． 【点睛】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．    【答案】1km 【分析】设，则．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解． 【详解】解：由题意，设，则． ∵在中，，∴． ∵在中，，∴． ∵，∴，即，解得：． 答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 【答案】20cm 【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴， 设，则，∵，∴， ∵，∴， ∴，解得：，∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键． 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023·河南南阳·八年级校考期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°，∴米， ∵，∴米， ∵24米＜25米，∴有危险，公路段需要暂时封锁．故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶． (1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间 【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2) 【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传． （2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果． 【详解】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下： 村庄到公路的距离为米米，村庄能听到广播宣传． （2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播， 则米，米，由勾股定理得：米， 米，能听到广播的时间为：分钟，村庄总共能听到的宣传． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键． 例3．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米，米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米，由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒，影响时间应是：秒．故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作 【分析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算； （2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km， 所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点， 答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点； （2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km， ∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18， ∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时， ∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析． 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023·河北·八年级专题练习）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A．在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7) 【答案】见解析 【详解】试题分析:根据方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,进而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判断是否超速就是求BC的长,然后比较即可. 解：(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB. ∵OA＝100 m，∴AB＝200 m. 由勾股定理，得OB＝＝100(m)． 在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°. ∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100，0)，C(100，0)． (2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>， ∴这辆汽车超速了． 例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米 米，米米，米（米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时AC1=20，AB1=15，此时 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 【答案】该河的宽度BC为120米 【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离． 【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米， 设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120． 答：该河的宽度BC为120米． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键. 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设芦苇的长度为尺，则为尺， 在中，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度尺，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 例2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有尺长，    则，即，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 例3．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（    ）    A．7 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，      ，如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，，， 此时，的取值范围是．故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·山东德州·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，，即．故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．    【答案】不会 【分析】先利用勾股定理求出，比较折断前大树高度与高压电线高度判断即可解题． 【详解】解：不会，理由为：根据勾股定理可得：， ∴折断前大树高度为：，∴该树在折断前不会接触到电线． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键． 例3．（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为 米．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可得：， 在中，由勾股定理得，， ∴米，答：风筝的高度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·四川广元·八年级期末）如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知．求四边形的面积． 【答案】四边形ABCD的面积234m2． 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接AC，如图， 在△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，，∴AC＝＝25（m）． 在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2）， 又∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2）， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2）， 答：四边形ABCD的面积234m2． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式等，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形． 例2．（2024·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形． （1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数． 【答案】（1）12.5；（2）；（3）90° 【分析】（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积； （2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长； （3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果． 【详解】解：（1）根据题意得：四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5； （2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=， ∴四边形ABCD的周长==； （3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 例3．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积，所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为3米， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 则这支铅笔长度可能为； 故选：D． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇长度为尺， 由勾股定理，可得， 解得， ∴水深12尺． 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， （米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 故选：A． 6．（2024·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m． 【答案】5 【分析】根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，∵，∴，即，解得：， ∴，∴，故答案为：5． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键． 7．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【详解】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 ． 【答案】8m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．由题意可知，，先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，因为，， 由勾股定理得：， 由题意可知， 又， 根据勾股定理得：， 故． 故答案为：． 9．（23-24八年级·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 【详解】解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米， 则红地毯至少要米. 故答案为： 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？   【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 12．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）（1）如图，在中，于点D，，，． ①____________，____________；②判断的形状，并说明理由． （2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 【答案】（1）①，，②为直角三角形，见解析；（2）旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）①利用勾股定理即可求解；②利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设旗杆高为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， ②为直角三角形．理由： ∵，，， ∴， 由勾股定理逆定理，为直角三角形． （2）如图，设旗杆高为x米，则绳子的长为米， ∵在中，米，， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为12米． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 14．（23-24八年级下·山东临沂·期末）2024年5月29日，我国谷神星一号海射型遥二运载火箭在日照市黄海海域发射，将4颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图是火箭从海平面处发射，当火箭到达点时，从岸边处的雷达站测得的距离是；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）    【答案】火箭从点上升到点的高度为 【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，先利用含的直角三角形的性质，得出，在中，利用勾股定理求出，利用等角对等边求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ． 设，则， 在中，由勾股定理可列方程： ．解得． 即． ，， ． ． ． ． 答：火箭从点上升到点的高度为． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 16．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    【答案】A，B两点间的距离是 【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 17．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】距离为73米，速度为24米/秒 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵，则，， ∴在中，， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为3秒， ∴轿车的速度是（米/秒）. 19．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距离点，10千米处 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又∵， ， ， 答：站应建在距离点，10千米处． 20．（2023·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 【答案】(1)10 (2)图见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式即可得； （2）根据，结合网格特点画图即可得． (1)解：，图①中正方形的面积． (2)解：如图②，正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 21．（2023·山东八年级专题练习）问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 【答案】（1）4.5；（2）画图见解析，7 【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可； （2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可． 【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是： S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，故答案为：4.5； （2）如图2的△MNP， S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1＝7，即△MNP的面积是7． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大． 22．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 11 模型3.信号站（中转站）选择模型 19 模型4.台风（噪音）、爆破模型 23 模型5.超速模型 34 模型6.风吹莲动模型 40 模型7.折竹抵地模型 48 模型.8不规则图形面积模型 57 68 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m。（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC； （2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？ 例2．（2023春·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？    例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    例4．（2023·河南·八年级统考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？    例2．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？    例3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上．    例3．（2023·内蒙古包头·八年级期末）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）． (1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．    例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023·河南南阳·八年级校考期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶． (1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间 例3．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023·河北·八年级专题练习）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A．在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7) 例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 例2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（    ）．    A． B． C． D． 例3．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（    ）    A．7 B．15 C．16 D．17 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·山东德州·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．    例3．（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为 米．    模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·四川广元·八年级期末）如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知．求四边形的面积． 例2．（2024·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形． （1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数． 例3．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 6．（2024·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m． 7．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 ． 9．（23-24八年级·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？   12．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）（1）如图，在中，于点D，，，． ①____________，____________；②判断的形状，并说明理由． （2）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 13．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 14．（23-24八年级下·山东临沂·期末）2024年5月29日，我国谷神星一号海射型遥二运载火箭在日照市黄海海域发射，将4颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图是火箭从海平面处发射，当火箭到达点时，从岸边处的雷达站测得的距离是；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）    15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 16．（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    17．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶． (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？    18．（23-24八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 19．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 20．（2023·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 21．（2023·山东八年级专题练习）问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 22．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$