专题16 勾股定理中的翻折模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题16 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 11 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 27 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 58 模型7.三角形中的其他翻折模型 62 48 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若，则的长为 ．    例2．（2023·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 例3．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 例4．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 例5．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上．若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______． 例2．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，点A的对应点为点，若，，则的面积为 ． 例3．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 例4．（2022春·四川雅安·九年级专题练习）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则 ． 例5．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形中，，点G在边上，，边上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为__________． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（23-24八年级上·广东·期中）在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 例2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 ．    例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在中，，，，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则：(1) °；(2)的长为 ． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．6 D．5 例2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    例2．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 例4．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 1．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的长为（　　）    A．3 B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（    ） ①；②的面积为30；③的面积为18． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为 ． 9．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）已知，直角三角形纸片中，，，．点是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点的对应点为点． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题． A．如图1，若点落在边上，则线段的长为 ． B．如图2，若点落在边上，则线段的长为 ． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    11．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，将边长为的正方形纸片沿，，折叠，折成一个三棱锥，则折痕的长度为 cm． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ．（2）图3中的长为 ． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 15．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交的延长线于点F．若，，，的面积为5，则点F到的距离为 ．    16．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长；(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：；(2)求证：；(3)求的长． 19．（23-24八年级上·沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】(1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】(2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】(3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】（1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】（2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，．①求折痕的长；②连接，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 11 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 27 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 58 模型7.三角形中的其他翻折模型 62 48 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据翻折的性质，证明，可得，然后求出，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形，∴，， 由翻折的性质可知，在与中， ， ，， ，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和长方形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 例2．（2023·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积． 【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，， 由折叠的性质，可得，，，，， 设，则， ，即，解得，．故答案为． 【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积． 例3．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明（设），根据勾股定理列出，求得，即可解决问题． 【详解】解：设，∵矩形沿对角线翻折，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在中，，∴，解得：， ∴，∴点的坐标为．故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是掌握翻折变换的性质，矩形的性质及勾股定理． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用勾股定理求出，利用折叠的性质得到，，，则，设，则，，利用勾股定理得到，解方程即可得到的长．本题考查了矩形的折叠问题、矩形的性质以及勾股定理，利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∵把沿折叠，使点B落在对角线上，，，， ，设，则，， 在中，，，解得，．故答案为：3． 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形，，，， 在中，，， 设，则，在中，，， 解得：，即，故选：C． 例3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可 【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF． ∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE 代入数据求得AE=5 根据三角形的面积公式 得BH=即可得BF= 由FE=BE=EC，可得∠BFC=90° 再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF= 故答案为： 【点睛】此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分． 例4．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得，∴， 在中， ，∴，解得．故答案是： 例5．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在线段AE上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上．若AD＝6，CD＝10，则△ECF和△EHG的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折不变性可得AE=AB=10，推出DE=8，EC=2，设BF=EF=x，在Rt△EFC中，x2=22+（6-x）2，可得x=，设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=（8-y）2，可得y=3，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=6， 由翻折不变性可知：AB=AE=10，AD=AG=6，BF=EF，DH=HG，∴EG=4， 在Rt△ADE中，，∴EC=10-8=2， 设BF=EF=x，在Rt△EFC中有：x2=22+（6-x）2， ∴x=，即BF=∴CF=BC-BF=6-= 设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=（8-y）2，∴y=3，即DH=GH=3 ∴，故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题． 例6．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时. 【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; （2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; 【详解】解：（1）由题意可得,∴ 设,则在中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得∴    在中∵∴∴ 在中解得： 此时 ∴当时，点恰好落在边上 这时. 【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______． 【答案】 【分析】先确定当，，共线时，的值最小，再根据勾股定理解题． 【详解】如图，连接， ∵，，， ∴，∴当，，共线时，的值最小， 不妨设此时点落在上的点处，设， ∵， ∴，解得．故答案为：． 【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方) ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小． 例2．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，点A的对应点为点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，即可证明，有，，由勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， ∵将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，∴，， ∴，，∴，∴，， ∵，∴，解得， ∴，∴，过作于H，如图， ∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 例3．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得，设，则， ∵是边的中点，∴，由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴． 例4．（2022春·四川雅安·九年级专题练习）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则 ． 【答案】10 【分析】先根据矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质求出，AE==5， =60°，然后根据含30度的直角三角形性质求出，过点E作EM⊥BC于M，根据矩形的判定与性质可求EM=AB=，最后在Rt△EFM中，根据含30度的直角三角形性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，， ∵折叠，AE=5，， ∴∠BFE==60°，AB=，∠A==90°，AE==5，， ∵， ∴∠DEF=∠EFB=60°，∠AEF=180°-∠BFE=120°=， ∴，∴，∴， ∴，过E作EM⊥BF于M， 又∠A=∠B=90°，∴四边形ABME是矩形，∴EM=AB=， ∵∠EMF=90°，∠EFB=60°，∴∠MEF=30°，∴EF=2FM， 在Rt△EFM中，，∴， ∴FM=5，∴EF=2FM=10．故答案为：10． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用折叠的性质解决问题是解题的关键． 例5．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形中，，点G在边上，，边上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为__________． 【答案】7或1/1或7 【分析】分两种情况，分别画出图形，再根据勾股定理求出线段长，进而得出答案． 【详解】当点A，点，点，共线时， 根据题意可知，，∴． 在中，，∴； 当点A，点，点，共线时，根据题意可知，， ∴．在中，， ∴.所以的长为7或1．故答案为：7或1． 【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，准确的画出图形是解题的关键． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（23-24八年级上·广东·期中）在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，，根据题意得出，由勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知，，，设， ，且， 在中，，，解得，故选A． 例2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出，折叠得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵，∴， ∵折叠，∴，∴；故选A． 例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出． 【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴， ∵中，，∴，∴， ∵，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成，， 在中，，即，解得．故选：C． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 ．    【答案】/ 【分析】连接，延长交于点，作于点，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得为直角三角形，且为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长． 【详解】解：连接，延长交于点，作于点，如图所示，    由折叠的性质可得：，，∴为的中垂线，∴， ∵点是的中点，，，， ∴，，，∴，， ∵，即， ∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点到直线的距离为．故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出为的中垂线，． 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在中，，，，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则：(1) °；(2)的长为 ． 【答案】(1)90(2) 【分析】（1）利用翻折的性质可知翻折前后对应角相等，结合原来的和互余即可得到的度数；（2）利用翻折的性质可知翻折前后对应边相等，结合（1）中得到的结论设为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由翻折可知：，， ，即；故答案为：90； （2）解：，， 由翻折可知：，∴， 设，则，，解得，即． 【点睛】本题考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解； 【详解】解：设，由折叠的性质可得， ∵D是的中点，，∴，在中，， 解得，即，故选：A． 例2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，本题先设，再表示，再利用勾股定理建立方程求解即可，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 【详解】解：设，∵，，∴，， ∵，∴，解得：，∴，故答案为： 例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，根据折叠的性质得，， 又，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题． 【详解】解：，，，    由翻折可知，，，，， ，，，， 设点到的距离为，则有，，故答案为：． 例2．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____． 【答案】17或 【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， （1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点， 由折叠得：，，设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：（舍去），，因此，． （2）当时，如图2，此时点与点重合， 由折叠得：，则，设，则，， 在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理得，求出的值即可 【详解】解：如图，∵点为的中点，∴， 在中，∴，∴, 设，由折叠得，，，∴， 在中，由勾股定理得∴， 解得，，∴，故答案为： 例4．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题) 、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的性质可知为，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解. 【详解】， ， 根据两次翻折可知： ， ，，，∴， ，，，， 在中 ，， ，故答案为：． 1．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的长为（　　）    A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由折叠知，，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可 【详解】解：使点与的中点重合， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（    ） ①；②的面积为30；③的面积为18． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识， ①由折叠得到，然后由勾股定理即可判断①；首先由折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式即可判断②；由折叠得，然后在中，利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式即可判断③． 【详解】∵长方形中 ∴ ∴ ∵沿将此长方形折叠，使点B与点D重合 ∴ ∴，故①正确； ∵在长方形中， ∴，， 由折叠可得，， ∴，即 解得， ∴的面积，故②正确； 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得 ∴的面积，故③错误； 综上所述，结论中正确的有2个． 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值． 【详解】解：设，则：， 连接，，    在中，， 在中，， ∵折叠， ， ， 即， 解得，即， 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图， ∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． 设，则． ∵是直角， ∴，即， 解得：， ∴． 故选B． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故选B． 6．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故选：A． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用勾股定理求出，利用折叠的性质得到，，，则，设，则，，利用勾股定理得到，解方程即可得到的长．本题考查了矩形的折叠问题、矩形的性质以及勾股定理，利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ∵把沿折叠，使点B落在对角线上， ，，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为 ． 【答案】/ 【分析】折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 设，则：，， ∴， 在，，即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 9．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）已知，直角三角形纸片中，，，．点是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点的对应点为点． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题． A．如图1，若点落在边上，则线段的长为 ． B．如图2，若点落在边上，则线段的长为 ． 【答案】 A/B 【分析】A、根据折叠的性质以及勾股定理可得，从而得出，根据等面积法求出的长，然后根据勾股定理的长，从而得出的长，根据即可得出答案； B、过点作分别交、于点、，根据折叠的性质可得，根据求出的长，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：A、根据折叠的性质可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 解得：， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； B、过点作分别交、于点、， 根据折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴平分， 设， 则， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识点，根据三角形的面积公式求解是解本题的关键． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可. 【详解】解：如图1，当时，    ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图2，当时，，    ∵， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 11．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，将边长为的正方形纸片沿，，折叠，折成一个三棱锥，则折痕的长度为 cm． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先根据题意得到，，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握勾股定理：若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 【详解】由题意可得， ， ∵ ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ． （2）图3中的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）在直角三角形纸片中，，勾股定理求得，如图1中，设，则，，在中，勾股定理即可求解； （2）设交于点，根据折叠可得，证明，在中，勾股定理求得，进而证明，即可求解． 【详解】解：（1）在直角三角形纸片中，， ∴， 如图1中，设，则，， 根据折叠可得，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． （2）∵折叠， ∴，， ∴； 在图2中，设交于点，根据折叠可得，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 在图3中，∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长． 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：， 则为的中垂线， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 【答案】2或5 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 15．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，三角形纸片，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点G，连接交的延长线于点F．若，，，的面积为5，则点F到的距离为 ．    【答案】 【分析】首先利用线段倍数关系求出，根据折叠的性质得到，，可得，继而求出，可以求出，利用勾股定理求出，过作，垂足为H，利用面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， 又由折叠可知：，且垂直平分， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 在直角中，， 如图，过作，垂足为H，    则有， 即， 解得：，即F到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，折叠的性质，点到直线的距离，解题的关键是灵活运用三角形的面积求出关键线段的长度． 16．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    【答案】的长为cm 【分析】根据折叠的性质得到，，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：是直角三角形，， 由折叠的性质得：，，， ∵ ∴，， ∴， ∵的面积， ∴（cm）； 故答案为：cm． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等面积法求高，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得，利用可证； （2）由全等三角形的性质得到，由即可得到，又由折叠的性质可得，，即可得到结论； （3）由长方形的性质得到：，，由折叠性质可得， 设，表示出、、，在中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案． 【详解】（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得， ∴， 在与中，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，    即， 由折叠的性质可得，    ∴； （3）由长方形的性质得到：，， 由折叠性质可得， ∵， ∴， 设， 则，，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19．（23-24八年级上·沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）①根据折叠的性质得到，求得，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论； ②如图，根据全等三角形的判定和性质定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵将长方形纸片沿折叠， ， ∵ 解得 （2）①：将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，    ∵， ∴， ∴， 有 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$