专题15 勾股定理中的最短路径模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题15 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，有一个圆柱形油罐，要以点环绕油罐建梯子，正好建在点的正上方点处，问梯子最短需 米？（已知油罐的底面半径是，高是，取3）． 例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，有一圆柱，它的高为，底面周长为．则蚂蚁沿圆柱侧面从点爬到点的最短路程是 ．      变式2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 变式2．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ． 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．    变式1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 变式2．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 变式1.（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（　　） A． B． C． D．17 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 3．（2023春·山东德州·八年级统考期末）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江西景德镇·八年级统考期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 6．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 7．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（  ）． A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    9．（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，圆柱的底面直径为，高，按如图所示的方式缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要 长的细线．    10．（2024·黑龙江大庆·七年级校考期末）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 （π取3） 11．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为 m．（取3）    12．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ． （1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”） （2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ． 16．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法；(2)帮助小明完成探究2． 18．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 19．（2023秋·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．(1)求线段的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?    20．（2023秋·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．    (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，有一个圆柱形油罐，要以点环绕油罐建梯子，正好建在点的正上方点处，问梯子最短需 米？（已知油罐的底面半径是，高是，取3）． 【答案】10 【分析】本题考查了平面展开--最短路径问题，将圆柱展开，得到矩形，求出矩形对角线即为所建的梯子最短距离． 【详解】解：如图， ∵油罐的底面半径是，∴油罐的底面周长为； 又∵高是，即展开图中，，∴， 故所建梯子最短为，故答案为：10． 例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，由勾股定理即可得出的距离． 【详解】解：将半圆面展开可得：米，米，    在中，（米）．即滑行的最短距离为米．故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 变式1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，有一圆柱，它的高为，底面周长为．则蚂蚁沿圆柱侧面从点爬到点的最短路程是 ．      【答案】 【分析】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程即为的长，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，    ∵圆柱高为，底面圆的周长为，， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程为的长， 在中，．故答案为：25． 变式2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：如图， 在直角三角形中，∵尺，尺，∴尺， 即这根藤条的长度是15尺．故答案为：15 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图，∴； 如图，展开图，∴； 如图，展开图，∴； 综上可知：∵∴爬行到达点的最短路线长为，故选：． 例2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接，此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴（米），∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：C． 变式1．（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用， 结合题意可知，将正方体展开，分析可知蚂蚁从M爬到有四种情况（如下图），根据两点之间线段最短以及正方体的棱长可知，的最短长度即为所求． 【详解】蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示： 第种情况：，第种情况：， 综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是，故选A． 变式2．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ． 【答案】26 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， ，， ，，， 答：所用彩条最短长度是．故答案为:26 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ，．故选C． 例2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线长是解题关键． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，    ∴长方形的长为米米， ∵长方形的宽为米，∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线， ∴米，故答案为：． 变式1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米．故选：B． 变式2．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接，则最短路径，故选A 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点B相对容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点，    过作交的延长线于，则四边形是矩形， ，，连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，．故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 变式1.（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得． 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键． 变式2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（　　） A． B． C． D．17 【答案】C 【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：①若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：， ②若蚂蚁从平面和下底面平面经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2： ∵∴蚂蚁到达饼干的最短距离是，故选：C． 【点睛】考查了平面展开−最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解答本题的关键． 根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理求出，由此得到答案． 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，，由勾股定理得：，， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得，故爬行的最短路程为．故选：D 3．（2023春·山东德州·八年级统考期末）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是柱体水晶杯侧面展开图的一半，    作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，． 作交的延长线于点D，则四边形是矩形，∴，． ∵，∴即为最短距离，∵底面周长为，∴ ∵高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处，∴， ∴．故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 4．（2024·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出相邻的两个展开图，过作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 在中，，，（）， 从点爬到点的最短路径是，故选：A． 【点睛】本题考查了最短路线问题，勾股定理，将平面展开，构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023·江西景德镇·八年级统考期中）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 【答案】C 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，      ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得：，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 6．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图：    长方体的宽为，高为点离点的距离是， ，， 在直角三角形中,根据勾股定理得：； ②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图：       长方体的宽为，高为点离点的距离是，，， 在直角三角形中,根据勾股定理得：； ③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图： 长方体的宽为，高为点离点的距离是，， 在直角三角形中,根据勾股定理得:， ．蚂蚁爬行的最短距离是．故选：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 7．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，求出线段的长即可． 【详解】解：把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长， ，．故选：B． 【点睛】本题考查最短路径问题，关键是掌握两点之间线段最短，从而可找到最短路径． 8．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据，计算求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，．∴滑行的最短距离约为，故答案为：20． 9．（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，圆柱的底面直径为，高，按如图所示的方式缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要 长的细线．    【答案】/20米 【分析】将圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开，    ∵圆柱的底面直径为，∴，∴， ∵，，∴， ∴按如图所示的方式缠绕细线，缠绕一周（不记接头）至少需要绳子长度为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱体的侧面展开，找出最短距离． 10．（2024·黑龙江大庆·七年级校考期末）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 （π取3） 【答案】cm 【分析】将圆柱体侧面展开后利用两点之间线段最短得到最短长度时的线段，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，丝带绕圆柱一圈半，侧面展开后如图所示： 得到的矩形的长为圆柱底面周长的倍，即 ∴丝带的最短长度为cm． 【点睛】本题主要考查两点间最短距离的计算，熟练掌握勾股定理及两点之间最短距离的判断是解决本题的关键． 11．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为 m．（取3）    【答案】 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U形池的侧面展开，进而根据两点之间线段最短，得出结论． 【详解】解：U形池的侧面展开图如图：    由题意，，， 在中，，故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径问题，把U形池的侧面展开矩形，化曲面为平面是解题的关键． 12．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    【答案】13m/13米 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：，即，， 故答案为：m． 【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ． （1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”） （2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ． 【答案】 能 【分析】（1）利用勾股定理求出线段的长度与7比较大小即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】如图， 长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ∴ （1）在中， 在中， ∴一根长7的木棒能放人盒子里． 故答案为：能； （2）①如图1，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行的最短路程是. 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 16．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点在棱上，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： ∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴A； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是，； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ； ，蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 【答案】(1)小明的做法不正确，正确的做法见解答过程 (2)这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为 【分析】（1）将长方体盒子展开成平面图形，使高和宽展到一条直线上，用勾股定理可得装饰条的最小长度为20cm，从而得到答案； （2）画出图形，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：    ， ， 在中， ， ∵小明的结果为，且， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2）解：如图：    ， ， 又， 在中， ， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，能熟练画出图形 是解题关键． 18．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析；(2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ，，； （2）画出圆柱侧面展开图：    根据圆柱底面半径为，得出， 高为，， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 19．（2023秋·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．    (1)求线段的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】(1)(2)蚂蚁爬行的最短距离是 【分析】（1）根据长方体的性质求出，利用勾股定理即可求解；（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较． 【详解】（1）解：，，，线段的长为． （2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图    ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 20．（2023秋·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．    (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析(2)两点之间线段最短(3) 【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）如图所示即为所求：    （2）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的，． 由题（1）可得：在中， 由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$