专题19 垂美四边形模型与378、578模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题19 垂美四边形模型与378、578模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，，∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 例2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图,四边形的对角线与互相垂直,若,则的长为（   ） A．3 B．3 C．4 D． 例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．64 B．32 C．16 D．以上都不对 例4．（23-24八年级下·绵阳市·课后作业）如图，P为矩形内一点，，则的长为 ． 例5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知矩形和点P，当点P在上任一位置（如图1所示）时，易证得结论： ，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，，，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论． (1)对图2的探究结论为 ；并证明；(2)对图3的探究结论为 ． 例6．（2023春·江苏淮安·八年级校联考阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．    (1)如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；(2)如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； (3)如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 例7．（23-24八年级下·河北承德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠A+∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．12 C．24 D．12 3．（2023春·浙江八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 4．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 5．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 6．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____． 7．（2024八年级下·重庆·专题练习）已知：在中，，，，则为 ． 8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在中，，将它折叠使点与点重合，折痕交于点，则线段的长为 ． 9．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，，则四边形的面积为 ． 10．（23-24八年级下·福建福州·期中）【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 【类比应用】（1）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【迁移应用】（2）如图，在四边形中，对角线，交于点，且，，求四边形面积的最大值． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，②  (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S. 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，P长方形ABCD内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求的值． 13．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． (1)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程． (2)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接． ①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求的长（直接写出答案）． 14．（2023春·浙江·八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 15．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 16．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)[概念理解]如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度； (2)[性质探索]如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系?并证明你的猜想．(3)[解决问题] 如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 18．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ； (2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 垂美四边形模型与378、578模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，， ∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 【答案】34 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：四边形为“垂美”四边形，，， 在中，，在中，， ， 在中，，在中，， ，故答案为：34． 例2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图,四边形的对角线与互相垂直,若,则的长为（   ） A．3 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，从而在Rt△ADO中用勾股定理即可得出AD的长度． 【详解】在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2； Rt△DOC中可得：DO2=DC2-CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=18， 即可得AD= =3．故选B． 【点睛】此题考查勾股定理的知识，解题关键是在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式． 例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．64 B．32 C．16 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设，将四边形的面积转化为代数式，求最值即可． 【详解】解： ∵，∴四边形的面积； 设，∵，∴，∴四边形的面积， 当时，四边形的面积最大：32，∴四边形的最大面积是：32；故选B． 【点睛】本题考查配方求最大值和几何的综合应用．根据题意，列出正确的表达式是解题的关键． 例4．（23-24八年级下·绵阳市·课后作业）如图，P为矩形内一点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，根据题意，设，则有勾股定理，分别求得，根据已知数据以及，进而即可求得的长． 【详解】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图， 四边形是矩形，， 四边形是矩形， ， 设，则， ，，，．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键． 例5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知矩形和点P，当点P在上任一位置（如图1所示）时，易证得结论： ，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，，，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论． (1)对图2的探究结论为 ；并证明；(2)对图3的探究结论为 ． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法．结论均是，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等． （1）根据矩形和直角三角形的性质，过点P作，交于点M，交于点 N，可在，，和分别用勾股定理表示出，，，，然后我们可得出与，我们不难得出四边形是矩形，于是，，然后我们将等式右边的值进行比较发现． （2）如图3方法同（1），过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点 N，易证． 【详解】（1）解： 如解图1，过点P作，交于点M，交于点 N， ∴ 四边形和四边形均为矩形．根据题干中的结论，可得在矩形中， 在矩形中，有 两式相加得 （2）解： 如解图2，过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点 N， ∴ 四边形和四边形均为矩形，同样根据题干中的结论可得， 在矩形中，有在矩形中，有 两式相加得 例6．（2023春·江苏淮安·八年级校联考阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直．    (1)如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；(2)如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； (3)如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）依据垂美四边形定义，即可判定；（2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．          四边形的对角线，四边形是垂美四边形． （2）证明：设与相交于点， 已知四边形是垂美四边形，，， 由勾股定理得，， ，． （3）如图3，设与相交于点，连接、， ，，即， 在和中，，，， 又，，即， 四边形是垂美四边形，由（2）得，， ，，，，，，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理等知识，推导出垂美四边形四条边的关系是解题的关键． 例7．（23-24八年级下·河北承德·期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理） 变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来： 拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握定理形式是解题关键； （1）在、、、中分别利用勾股定理列出方程即可得，即可求解；（2）由（1）可得：，结合即可求解；（3）由题意可得，结合即可求解； 【详解】解：（1）在中：；在中：； 在中：；在中：； ∴，即：， （2）由题意得：，∵，∴四边形为“垂美四边形”， 由（1）可得：，即：，整理得：， （3）由题意得：， ∵E为的中点，∴，∴， ∵四边形为“垂美四边形”，∴， ∴，解得：或（舍去） 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°， 所以最大角和最小角的和是 120°.故选D. 法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠A+∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵在△ABC中AB＝8，AC＝7，BC＝3， ∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如下图,即：∠ABC=60° ∵AB>AC>BC ∴∠BCA>∠ABC>∠CAB（由三角形中大边对大角） ∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC= 120° 所以最大角和最小角的和是 120°.故选C. 法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D， ∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x， 在 中， ，在中， ， ∴，解得： ，∴BC=3+x=4， ∴在中， ，∴ ，∴ ． ∵AB>AC>BC ∴∠BCA>∠ABC>∠CAB（由三角形中大边对大角） ∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC= 120° 所以最大角和最小角的和是 120°.故选C. 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 解：作AD⊥BC于D， 由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1， 则BC边上的高AD＝＝4． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 【答案】C 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图， ∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2， 解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面积=10，故选C． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 【答案】5或3 【分析】分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时两种情况，过点A作于D，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴；       如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； 综上所述，的长为5或3，故答案为：5或3． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．12 C．24 D．12 【答案】A 【分析】利用三角函数定义求高，再计算面积． 【详解】过A作AD⊥BC于点D．∴∠BAD=90° ∵已知△ABC中，∠B=60°，∴∠BAD=30° ∵AB=6，∴BD=3∴AD=3．∴S△ABC=BC×AD=×8×3=12．故选A． 【点睛】此题的关键在于求高． 3．（2023春·浙江八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： 设CD＝x， 则BD＝BC−CD＝5−x， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2， ∴AB2−BD2＝AC2−CD2， 即：72−（5−x）2＝82−x2， 解得：x＝4， ∴CD＝4， ∴CD＝AC， ∴∠CAD＝30°， ∴∠C＝90°−30°＝60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键． 4．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC ∴∠BAD=30゜ ∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜ ∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB ∴∠BAC>∠ABD>∠C 故最大角与最小角的和为120゜ 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 5．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】53 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知，∴， 根据勾股定理得，，， ∴，根据勾股定理得，，， ∴，故答案为：53． 6．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____． 【答案】4﹣2 【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得，即可求出CE的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求． 【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示： 则AB＝DE，由题意得：，即，解得：CE＝， 当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值． 7．（2024八年级下·重庆·专题练习）已知：在中，，，，则为 ． 【答案】3或5 【分析】作交于点，则，根据直角三角形的性质可得，设为，则为，可得，，在中，根据勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图：作交于点，则．    ，．∴，设为，则为．∴， ∵，∴，在中，， ．解得：，． 当时，；当时，．故为3或5．故答案为：3或5． 8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在中，，将它折叠使点与点重合，折痕交于点，则线段的长为 ． 【答案】3/5 【分析】当是锐角三角形，作图，利用折叠的性质求出的形状，从而求出，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出，的长度，进而求出和长度，即可求出长度；当是钝角三角形时，采用同理的方法即可求出长度. 【详解】解：当是锐角三角形时，连接，过点作于点，如图1所示， 是折痕， ，， ， 为等边三角形， ，. ， ， 在中， ，， ，. 在中， ，， ， ， ， . 当是钝角三角形时，连接，过点作延长线于点，如图2所示， 是折痕， ，， ， 为等边三角形， ，. ， ， 在中， ，， ，. 在中 ，， ， ， ， . 综上所述，的长为3或5. 故答案为：3或5. 【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理、直角三角形的性质，解题的关键在于分情况讨论三角形的形状. 9．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，，则四边形的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，先证明四边形是平行四边形，得，，再由勾股定理得，然后由三角形面积公式即可求出结论 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴.四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ 即， ， ∴， 故答案为：11 10．（23-24八年级下·福建福州·期中）【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 【类比应用】（1）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【迁移应用】（2）如图，在四边形中，对角线，交于点，且，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）当时，有最小值，最小值是7；（2）当时，有最大值，最大值是8 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用完全平方公式进行解题是关键． （1）依据题意，由，再结合题干中的信息即可得出答案； （2）设，四边形的面积为，得出，依据题意，由，根据完全平方公式变形为，进而即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，有最小值，最小值是7； （2）解：设，四边形的面积为 ， ， 当时，有最大值，最大值是8． 11．（23-24八年级下·山东淄博·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，②  (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S. 【答案】；. 【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案； 【详解】 ． 又． 所以 【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，P长方形ABCD内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求的值． 【答案】34 【分析】如图，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，通过勾股定理和线段的转化求出PD2，然后进行计算即可． 【详解】解：矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD， 分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA＝3，PB＝4，PC＝5， ∵PD2＝AE2+MD2， 又MD＝FC， 解得PD2=18. 所以PB2+PD2=16+18=34 【点睛】本题考查利用勾股定理求线段的平方关系．通过P点向矩形的两边作垂直，构造直角三角形是解题的关键． 13．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． (1)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程． (2)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接． ①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)，见解析(2)①四边形是垂美四边形，见解析；② 【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；（2）①根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得，再代入计算即可 【详解】（1）∵，垂足为点E， ∴， 由勾股定理得，，， ∴； 故答案为：， （2）①连接与交于点O，与交于点N，如图， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即CE⊥BG， ∴四边形是垂美四边形； ②∵在中，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是垂美四边形， ∴，即 解得， 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 14．（2023春·浙江·八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案； （3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形； 【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下： 如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：； 长方形DEFG中，由勾股定理有：； 都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形． （2）解：答案如图所示． （3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． ． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题． 15．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，由题意得点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，据此即可求解； （2）根据即可求解； （3）连接，设与交于点M，证得，可得，结合（3）的结论即可求解． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图所示： ∵ ∴点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ 即：四边形是垂美四边形； （2）解：∵ ∴ 故答案为：； （3）解：如图3，连接，设与交于点M， 由题意得： ∴ 即： ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由（3）可得： ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可. 16．（23-24八年级上·山东济南·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度； (2)[性质探索] 如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系?并证明你的猜想． (3)[解决问题] 如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析；； (2)，见解析； (3) 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）直接利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，利用新定义即可判定，再由勾股定理求解即可； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）连接，则四边形是垂美四边形，根据题意得出，，利用（2）的结论代入求解即可； 理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵即， ∴为直角三角形， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ∴； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； （3）如图所示，连接，则四边形是垂美四边形，    ∵，长方形，， ∴，， 由（2）结论得： 即， ∴， 解得：， ∴． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）先证明可得再证明从而可得结论； （2）由 结合勾股定理可得： 从而可得结论； （3）利用已知条件结合勾股定理分别求解再利用（2）中的结论解题即可. 【详解】解：（1） ∠BEC＝∠AED＝90°， BE＝EC，AE＝ED， 四边形是垂美四边形. （2）猜想：理由如下： 同理可得： （3） （负根舍去）故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平方根的含义，理解题意，熟练运用以上知识解题是关键. 18．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ；(2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【答案】(1)(2)7(3) 【分析】本题主要考查了勾股定理：（1）利用勾股定理即先求出的长，再利用勾股定理可求出的长． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到，据此可得答案． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． 【详解】（1）解：，，， ；故答案为：； （2）解：，， ，，，，， ，，．故答案为：． （3）解：由（2）得：， ．故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$