专题13 赵爽弦图模型与勾股树模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题13 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 10 17 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴，∴，即④错误； 综上，正确的有①②③．故选B． 例2．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线裁剪成四个直角三角形，再将裁得的四个直角三角形分别拼成图2和图3，图2中间正方形的面积是13，图3中间正方形的面积是1，则图1中菱形的面积是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了菱形，正方形的面积的计算，勾股定理的运用，完全平方公式的运用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据图1的菱形与图2中间正方形的面积可得菱形的边长，设，由此可得图3中正方形的面积和菱形的面积，根据勾股定理，完全平方公式的运用即可求解． 【详解】解：根据题意，图1中的菱形，∴，       剪开后是四个全等的直角三角形，拼成了图2的正方形，∵图2中间正方形的面积为， ∴中间正方形的边长为，即菱形的边长为， 设，则，∴图3中，，图1中菱形的面积为， ∴，∴，∴图1中菱形的面积为，故答案为：12 ． 例3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，.若，则的值是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】设，，，根据勾股定理可知，由题意可知，，，再结合，代入可求出答案．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，，，由题意，可知：． 由图可知：，，． 因为，所以， 即，则，所以．故选：A． 例4．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为， ∴，故选：B． 例5．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，，据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是，故选：C． 例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a<b），则ab=______． （2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，=______． 【答案】     12     ##0.5 【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得 （2）根据题意，证明，根据，即可求解． 【详解】（1）∵大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， ∴，，由，得，∴． （2）∵四边形EFGH为正方形， ∴，，，∴． ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD， ∴，∴． 在和中，，∴，∴，， ∴． ∵，∴．故答案为：12，0.5 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值，正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、梯形面积的计算等知识，掌握以上知识是解题的关键． 例7．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    【答案】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，．∴． ∴．故①正确； ∵，∴． ∴．∴．故②正确； ∵，，∴．即．∴．∴．故③正确； ∵点A是线段的中点，∴．即．∴． ∴．∴．故④不正确；故答案是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题． 例8．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F． (1)求证：；(2)若点B是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由即可证明；（2）由全等三角形的性质得，，再由点是的中点，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴． 在和中，∴． （2）解：∵，∴， ∵点B是的中点，∴，∴， 在中，根据勾股定理，得： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 例9．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 【答案】(1)见详解(2)72 【分析】（1）根据证明，即可得，，进而可得； （1）过点C作于点E．根据证明，即可得．在中，根据勾股定理求出的长，则可得的长，进而可求出的面积．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定和性质以及勾股定理时解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，，， 又，，． 在和中，，，， ，． （2）解：如图，过点C作于点E． ∵，，，， 又，，， 在和中，，， ∵，， ，． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，先以的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为，，，相应的三个正方形的面积分别为，，，则下列关系式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，半圆的面积，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积公式可推出即，无法得出，可判断A、D错误；根据半圆的面积公式分别表示出、、，再结合勾股定理即可推出结论． 【详解】解：由勾股定理可得，， ，， 即 无法得出和 故A、D错误； ，，，， ，故B正确，C错误，故选：B 例2．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，，即， ，．故答案为：12 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形，∴，，∴． 观察，发现规律：，，，，，∴， 当时，，故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 例4．（2023春·山东八年级期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．1 【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即．“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是，… “生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：A． 【点睛】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题关键． 例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（    ） A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积 C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积 【答案】D 【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E， ∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN， 又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN 同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴， ∴ ， ∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形． 1．（2024·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案． 【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，分别以一个直角三角形的两条直角边和斜边为一边向外作正方形和半圆．若的面积为，半圆的面积为，则直角三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分别算出直角三角形斜边，一直角边的长，根据勾股定理可得另一个直角边的长，由此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，正方形的边长为，设半圆的直径为，根据已知得：， ∴半圆的直径：（负值舍去）， ∴正方形的边长为 ∴直角三角形的面积为， 故选：A ． 3．（2024·江苏八年级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误. 【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2， 由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长， ∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确； 根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab， 4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确； 由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误， 由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确． 【详解】解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形， ∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°， ∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB， 即∠IAB＝∠CAD， 在△ABI和△ADC中， ， ∴△ABI≌△ADC（SAS）， ∴BI＝CD， 故①正确； ②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M， ∴∠BMA＝90°， ∵四边形ACHI是正方形， ∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2， ∴∠CAM＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°， ∴四边形AMBC是矩形， ∴BM＝AC， ∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1， 由①知△ABI≌△ADC， ∴S△ACD＝S△ABI＝S1， 即2S△ACD＝S1， 故②正确； ③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N， ∴∠CNA＝90°， ∵四边形AKJD是矩形， ∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK， ∴∠NAK＝∠AKC＝90°， ∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°， ∴四边形AKCN是矩形， ∴CN＝AK， ∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3， 即2S△ACD＝S3， 由②知2S△ACD＝S1， ∴S1＝S3， 在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2， ∴S3+S4＝S1+S2， 又∵S1＝S3， ∴S1+S4＝S2+S3，   即③正确； ④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2， ∴S3+S4＝S1+S2， ∴， 故④错误； 综上，共有3个正确的结论， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】//4.2 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【详解】解：， ， 设， 则， ， ， 根据题意可知： ，， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 6．（2023春·广东汕尾·八年级统考期末）将长为10，宽为6的矩形分割成四个全等的直角三角形（如图1），拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．则小正方形的面积是 ．    【答案】49 【分析】先求出小正方形的边长，再求面积即可． 【详解】解：由题意得， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是． 故答案为：49． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，求出小正方形的边长是解答本题的关键． 7．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、且， 由题意可知： ，，， ∴， ， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 8．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为 ．    【答案】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：，    ∵大正方形的面积为 ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． 9．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）如图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点顺时针连续旋转次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则的斜边 cm．    【答案】 【分析】根据题意可知，，，设，根据，可得关于的方程，求解进而可得到答案． 【详解】  根据题意可知，，． 设，则． 根据题意，得即．化简得． 解得，（舍去）． 所以，，． 在中，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程、勾股定理、图形的旋转，根据题目中的等量关系得到二元一次方程是解题的关键． 10．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．    【答案】2024 【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 根据勾股定理可得：， ∵,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律． 11．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值． 【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形， 则CE=DE，，∴，即， 同理可得：，， ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 12．（2024·重庆南岸·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，∴设，则 根据勾股定理得， ∵ ∴ ∴ ∴图①中正方形面积和为： 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____． 【答案】2.5 【分析】分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，分别交、于点、点 ∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 14．（2023·江苏·八年级期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 ． 【答案】123 【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积， 同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积， ∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积， 故答案为：123． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 15．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ． 【答案】 【分析】如图所示，设图1中大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，根据图2的分割方式可得，，，根据图1中，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设图1中大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，如图2所示，连接，即为正方形的对角线，    ∵四边形，四边形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是正方形的对角线，即点在同一条线直线上， ∴图2中，，， ∵由图1可知，， ∴， ∴， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解图示，掌握以上勾股定理的运用是解题的关键． 16．（2023春·浙江金华·八年级校考开学考试）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若，则 °，的值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据题中条件，根据两个三角形全等的判定定理证得，根据全等的性质得出， （2）在（1）的基础上，得到，；设，则可得、、、及的长，再由证得，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形、四边形四边形都为正方形， ，，，， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可知， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，，若，则 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 18．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为 S． 【答案】13 【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题． 【详解】解：设．．则正方形ABCD的面积=AB2， 由题意可知， ∵， ∴， ∴， ∵正方形EFGH的面积为S， ∴， ∴正方形ABCD的面积， 故答案为：13． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，．过点A在外作直线MN，于M．于N． (1)求证：； (2)若，，．试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可证∠MAB＝∠ACN，再利用AAS即可证明△ABM≌△CAN； （2）从整体和部分两个角度分别表示出梯形CNMB的面积，从而得出等式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵∠CAB＝90°，， ∴，， ， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）∵， ，，， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明等知识，运用两种方法表示梯形CNMB的面积是解题的关键． 20．（2024八年级上·江苏·专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【答案】(1)DE (2)见解析 (3) (4)2 【分析】（1）利用全等三角形对应边相等，可知； （2）分别过点和点作于点，于点．利用“字”模型证，，同理得出，推出．再证明，推出，即可证明点是的中点； （3）过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．先证，，推出，，．再证，推出，再通过等量代换证明； （4）同（3）可证， ，由勾股定理解直角可得，等量代换可得，可知，由此可解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：分别过点和点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 即点是的中点； （3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M． ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，． 同理可以证明， ∴，， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ． 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查“字”模型的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握“字”模型和类比推理思想． 21．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】 （2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积； （3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． (1)根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差即可得结论； (2) 同（1）可证，求出、的长，再根据三角形的面积公式即可得到结论； (3) 过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E，证明是等腰直角三角形，同（1）可证，求出，进而可求的面积． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴； （2）同（1）可证， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的面积为； （3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同（1）可证， ∴， ∴的面积为． 22．（22-23八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 【答案】(1)证明见详解 (2)“勾股风车”图案的面积为 (3) 【分析】（1）根据图形可知，由此即可求解； （2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积； （3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，，设直角三角形的两条直角边分别为，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由图①可知， ∵， ∴， 即． （2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，，设， ∴，即， ∴， 在中，，，， ∴，解方程得，，即， ∴，， ∴， ∴“勾股风车”图案的面积是． （3）解：设，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键． 23．（2024·江苏·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示： （1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________； （2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________； （3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是_________________； （4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4）7.5 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）根据三角形面积公式以及，小正方形面积加上四个直角三角形的面积与大正方形面积相等进行求解即可； （3）根据圆的面积公式以及勾股定理求解即可； （4）根据S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：大正方形面积，小正方形面积， 故答案为：，； （2）由题意得：四个直角三角形的面积和为， ∴根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为， ∴， 故答案为：，； （3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 由题意得：，，， ∵， ∴， 故答案为：； （4）如图所示，∠ACB=90°，AC=5，BC=3， ∴， ∴S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆 ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，以及以弦图为背景的计算题，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 24．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)； (2)，证明详见解析； (3)120 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用． （1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （2）根据半圆的面积公式：乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （3）易知，设为x，则，，根据勾股定理建立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：，，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意，，， 由勾股定理得，， 则 ∴； （3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的， ∴， ∵， ∴， 设为x，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 的面积， ∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成， ∴该飞镖状图案的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 10 17 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 例2．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线裁剪成四个直角三角形，再将裁得的四个直角三角形分别拼成图2和图3，图2中间正方形的面积是13，图3中间正方形的面积是1，则图1中菱形的面积是 ．    例3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，.若，则的值是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 例4．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 例5．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a<b），则ab=______． （2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，=______． 例7．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    例8．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知和均是直角三角形，，，于点F．(1)求证：；(2)若点B是的中点，，求的长． 例9．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，先以的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为，，，相应的三个正方形的面积分别为，，，则下列关系式中正确的是（     ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023春·山东八年级期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．1 例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（    ） A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积 C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积 1．（2024·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，分别以一个直角三角形的两条直角边和斜边为一边向外作正方形和半圆．若的面积为，半圆的面积为，则直角三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏八年级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为 ． 6．（2023春·广东汕尾·八年级统考期末）将长为10，宽为6的矩形分割成四个全等的直角三角形（如图1），拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．则小正方形的面积是 ．    7．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．    8．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为，则的长为 ．    9．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）如图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点顺时针连续旋转次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则的斜边 cm．    10．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．    11．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________． 12．（2024·重庆南岸·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____． 13．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____． 14．（2023·江苏·八年级期中）如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是 ． 15．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ． 16．（2023春·浙江金华·八年级校考开学考试）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若，则 °，的值为 ． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，，若，则 18．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为 S． 19．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，．过点A在外作直线MN，于M．于N．(1)求证：；(2)若，，．试利用这个图形验证勾股定理． 20．（2024八年级上·江苏·专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 21．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 22．（22-23八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 23．（2024·江苏·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示： （1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________； （2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________； （3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是_________________； （4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________． 24．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$