专题12 勾股定理实际应用模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题12 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 11 模型3.信号站（中转站）选择模型 19 模型4.台风（噪音）、爆破模型 23 模型5.超速模型 34 模型6.风吹莲动模型 40 模型7.折竹抵地模型 48 模型.8不规则图形面积模型 57 68 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．    例2．（2023秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    例4．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？ 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？ 例3．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．    模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2024·江苏·八年级专题练习）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？ 例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶． (1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间 例3．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响． (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？    例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．    例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．    A．10 B．12 C．13 D．14 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）    A． B． C． D．不能确定 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（    ）米． A．7 B．8 C． D． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2023·山东滨州·八年级期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____． 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，．(1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 例3．（2023·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 4．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 7．（2024八年级·江苏·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 8．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 11．（23-24八年级·江苏·期中）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 12．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题： (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 15．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 16．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长． (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 19．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问：(1)城市是否会受到台风影响？(2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 21．（2023·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 22．（2024·山东八年级专题练习）问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型1.梯子滑动模型 2 模型2.轮船航行模型 11 模型3.信号站（中转站）选择模型 19 模型4.台风（噪音）、爆破模型 23 模型5.超速模型 34 模型6.风吹莲动模型 40 模型7.折竹抵地模型 48 模型.8不规则图形面积模型 57 68 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．    (1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)小明，理由见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可； （3）利用勾股定理在中，求出，继而得到a与b的关系式，再令，求出a值，可得a与b的值相等时的具体值，即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即这个梯子顶端A距地面有； （2）此定点为梯子的中点，道理为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）小明说的对，理由是：设梯子下滑至的位置， 由题意可得：，，则， 在中，， ∴，则， 则b可能比a的值大，也可能比a的值小，令，解得：（舍）或， ∴只有当下滑的距离为时，a与b的值才相等． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，抓住直角三角形，利用好勾股定理是解题的关键． 例2．（2023秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则的长度为多少？      【答案】的长度为米． 【分析】根据勾股定理，，列方程即可得到结论． 【详解】解：根据勾股定理得，，， ∵，∴，∴，∴， 答：的长度为米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 例4．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？ 【答案】船向岸A移动了米 【分析】先求出，在根据勾股定理求出、的长度，即可得出答案． 【详解】解：明明收绳6米后，船到达D处， ，由题可知，， 在中，，，，， ，∴船向岸A移动了米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 【答案】25 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知，∴．在中，，， ∴（nmile）．故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】30（海里/时） 【分析】根据题意，利用勾股定理求得AB的长，再利用速度=路程÷时间即可求得答案． 【详解】解：依题意可知：∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里， ∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速为（海里/时）． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解决直角三角形的实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信号 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【详解】（1）由题意，得：；∴； ∵；∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵；∴；∵；∴； ∵；∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到14次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2024·江苏·八年级专题练习）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？ 【答案】4米 【分析】设EC为x米，BE为（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵AB=4，DC=6，BC=10，设EC为x米，则BE为（10﹣x）米， 在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2， 又∵AE=DE，∴x2+62=（10﹣x）2+42，x=4， 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根4米． 【点睛】本题考查了勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键． 例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 【答案】15米 【分析】设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米，利用勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米， ∵，∴，解得． 即树的高度是10+5=15（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决． 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析 【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为， ， 是直角三角形 着火点C受洒水影响 （2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点 则 在中， 着火点C能被扑灭． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶． (1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间 【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2) 【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传． （2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果． 【详解】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下： 村庄到公路的距离为米米，村庄能听到广播宣传． （2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播， 则米，米，由勾股定理得：米， 米，能听到广播的时间为：分钟，村庄总共能听到的宣传． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键． 例3．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响． (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？    【答案】(1)受影响，理由见解析(2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟 【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响；（2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间． 【详解】（1）受影响．理由如下：过点Q作于点H， ∵，∴．∴．∴． ∵，在中，， ∴．∴火箭发射塔会受到大风的影响．    （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则， 在中，． ∵，，∴，∴， ∴（小时）（分钟）．∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？ 【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作 【分析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算； （2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km， 所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点； （2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km， ∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18， ∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时， ∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析． 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米(2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，，由勾股定理得 ，   新路长度是80米． （2）该车超速     在中，，由勾股定理得 ，   该车经过区间用时∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米 米，米米，米（米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时AC1=20，AB1=15，此时 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度． 【答案】该河流的宽度为60米 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得： AB60（米）．∴该河流的宽度为60米． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．    A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，解得：， 芦苇的长度（尺），答：芦苇长13尺．故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．从实际问题抽象出勾股定理是解题的关键． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【答案】 【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 在中，，∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）    A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解∶，， 露出杯口外的长度为．故答案为：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力． 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：．故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3m处折断(2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为，设长为，则长， 则，解得．故旗杆距地面3m处折断； （2）如图．因为点D距地面，所以， 所以， 所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． 例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（    ）米． A．7 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵，∴，在中，，， ∴，∴， ∴在中，，∴，故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2023·山东滨州·八年级期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____． 【答案】36 【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接BD，如图所示： ∵∠C=90°，CD=4，BC=3，∴BD===5， ∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，∴△ABD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=AB•BD+BC•CD=×12×5+×3×4=36 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，是解答此题的关键． 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，． (1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长； （3）利用分割法求面积． (1)由图可得：；； (2)，， ∴的周长为； (3)由题意知，．故答案是：9.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，求非直角三角形的面积时，利用“分割法”求其面积． 例3．（2023·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 【答案】(1)(2)① 5；②(3)<(4) 【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解． (1)解：的面积为；故答案为： (2)解：① ；故答案为：5； ②线段的长可表示为；故答案为： (3)解：如图， 根据题意得：，，，∴， ∵，∴；故答案为：< (4)解：解：如图，，，， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题， 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，设，然后可得，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则有，， ∴，即， 解得：（负根舍去）， ∴梯子的底端外移； 故选A． 2．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，，在中，， ∵，，在中，，故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意画出符合题意的图形，然后根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， 由勾股定理得：， ∴这棵树折断之前的高度为， 故选：． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在中即可求出． 【详解】解：如图， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即； ∴， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， ， ∴此时， ∴， ∴吸管露在罐外部分的长度最短是． 故选：B． 6．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 7．（2024八年级·江苏·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得米， ∵米， ∴米， ∴则米， 故选：B． 9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：，由图中数据可得：， ，∴米，故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 11．（23-24八年级·江苏·期中）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 12．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题． 【详解】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，，，，，， ， 梯子长度不变， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是24米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）在中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题： (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为：； （2）解：连接，则点A、B、F三点共线， 在中，（米）， ∵（米）， ∴在中，（米）， ∵， ∴米， ∴小男孩需向右移动的距离为米． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是 (2)此时踏板离地的垂直高度为 【分析】（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去）， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长． (2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 【答案】(1)旗杆的长为12米 (2)米 【分析】（1）设旗杆的长为米，则的长为米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）根作于，则四边形是矩形，得，米，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，求出旗杆的长是解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的长为米，则的长为（米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：旗杆的长为12米； （2）解：如图3，过作于， 则四边形是矩形， ，米， 米， （米， 在中，米， （米， 米， （米， 答：小迪需要后退米． 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 19．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 21．（2023·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 【答案】(1)10 (2)图见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式即可得； （2）根据，结合网格特点画图即可得． (1)解：，图①中正方形的面积． (2)解：如图②，正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 22．（2024·山东八年级专题练习）问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 【答案】（1）4.5；（2）画图见解析，7 【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可； （2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可． 【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是： S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，故答案为：4.5； （2）如图2的△MNP， S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1＝7，即△MNP的面积是7． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$