专题11 勾股定理中的翻折模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题11 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 11 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 27 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 58 模型7.三角形中的其他翻折模型 62 48 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为 . 例2．（2024·福建·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积． 例3．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 例2．（23-24八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ．    例3．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 例4．（23-24八年级下·湖北·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 例5．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处． (1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2023·驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ． 例2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      例3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 例4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 例5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 例2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 例2．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 例2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若，的面积为15，则的长是 ． 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 例4．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级·浙江·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 4．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 5．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（    ）    A． B． C． D．5 6．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为（    ） A．3 B．5 C．3或6 D．2或5 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 9．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 10．（2024·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（  ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（） A．26 B．24 C．21 D．15 12．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 13．（2023·河南信阳·八年级期中）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合）．连接把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____________________． 14．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____． 15．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片分别沿，折叠，使点落在边上的点处，点落在上的点处．    （1） ； （2） ． 16．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为边上一点，连接，将沿折叠至所在平面内，得到，与交于点，连接，若，，，则的长为 ． 17．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，折叠长方形纸片，使得点落在边上的点处，折痕为．已知，．求：(1)的长；(2)的长． 18．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，． (1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长． 19．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 20．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 11 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 27 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 58 模型7.三角形中的其他翻折模型 62 48 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由折叠的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长． 【详解】把长方形纸片沿直线折叠， ，，，，， 在和中，，，， ，，，故答案为：． 例2．（2024·福建·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积． 【答案】(1)5(2)10 【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案； （2）直接根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有： 以，，，∴（AAS），∴CF＝AF. 设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5； （2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键． 例3．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ． 【答案】（,） 【详解】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB， ∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG=GB，EB=2EG， BG==，设E（x，y），则有：AE2-AF2=BE2-BF2即：82-x2=（）2-（8-x）2， 解得：x=，y=EF=，∴E点的坐标为：（,）． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，∴， 由折叠的性质得：，，∴，， 设，则，在中，∵， ∴，解得：，即． 例2．（23-24八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长并且证明是解题的关键． 由长方形的性质得，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，由折叠得， ，， ，，解得， 故答案为：． 例3．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用角的关系求得，再在中，由勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】解：∵折叠，点恰好落在线段上的点处 ∴，，，， ∵，∴，， 在中，由勾股定理得∴∴，∴． 例4．（23-24八年级下·湖北·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结，由E是的中点，可证明，即知，设，在中，可得，即可解得答案． 【详解】解：如图，连接，由折叠得，， 是的中点，，∴在长方形中，， ，，， 设，则，， 在中，，，解得，的长为． 例5．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、G共线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出的值． 【详解】解：矩形中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG， ∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG； 在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE， ∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE +∠EGF=90°，∴∠FEG=90°， ∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°， ∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x ∴∴∴；故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键 例6．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处． (1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①2；②，理由见解析(2)10或30 【分析】（1）①以点A为圆心，为半径交于点E，利用勾股定理求出的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而； （2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去． 【详解】（1）①如图：以点A为圆心，为半径交于点E， ∵，∴， ∴； ②，理由如下： ∵将沿直线翻折至的位置，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴； （2）∵是直角三角形， 当时，∵，且，∴四边形是正方形，∴； 当时，则，∴，∵，∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得，∴， 设，则，在中，由勾股定理得：，解得，∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去，综上：或30． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2023·驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ． 【答案】或7 【分析】根据题意，分及两种情况进行讨论求解．其中，当时，，，三点共线，由矩形性质及已知条件，有，，在中，运用勾股定理求得的长，再根据翻折性质，在中，运用勾股定理求得FD的长；当，运用翻折性质，证得是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长． 【详解】解：分两种情况进行讨论， ①当时，∵矩形中，沿所在直线翻折，得到， ∴，∴，，三点共线． ∵矩形，，∴． ∵，点E是的中点，∴． ∴在中，． ∵沿所在直线翻折，得到，， ∴，∴． 设，则，∵，∴，∵，∴在中， ，即，解得，∴． ②当时，∵， ∴． ∴沿所在直线翻折，得到，∴． ∵矩形， ∴．∵，∴是等腰直角三角形． ∵，点E是的中点，∴， ∵矩形，，∴，∴． 综上所述，的长为或7． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质．等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题．过点F作于点G，则，，根据平行线的性质乙折叠的性质可得，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于点G，则，，    根据题意得：，∴， 由折叠的性质得：，，∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得：，∴，∴， ∴．故答案为： 例3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合，∴，， 根据折叠的性质，得∴，解得，故选B． 例4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴． 例5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 【答案】18 【分析】连接，作于点H，于点G，先证明四边形是长方形，得，由翻折得，，，再根据勾股定理求得，即可由推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点G， ∵四边形是长方形，，， ∴，∴四边形是长方形，∴， 由翻折得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴则到边的最大距离为，故答案为：18． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题是求解的关键；求出，根据将沿折叠，使点落在边上的点处，知，，，故，由勾股定理，即可解得． 【详解】解：，，，， 将沿折叠，使点落在边上的点处，，，， ，，在中，， ，解得，故选：B． 例2．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，，， 设，则，由折叠的性质可得，， ，在中，由勾股定理得， ，解得，，故选B． 例3．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    【答案】 【分析】过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，过点作于，于，    将沿直线翻折，，，， ，，， ，，， ，， ， ，，，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，，∴， ∵折叠，∴，∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：，解得：；∴；故选C． 例2．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长． 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求． 【详解】解：连接，是的中线，且沿着直线翻折， ， 是等腰三角形， ， ，为等边三角形， ， 在中，，． 【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设，由翻折的性质可知， ∵D是的中点，，在中，由勾股定理得： 即，解得：，∴，故选：C． 例2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点D作，交于点G，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，过点D作，交于点G，    ∵，∴为等腰直角三角形，， ∵，∴，设，则根据翻折得， ∴，在中，， 可得方程，，解得：，∴， ∵将沿着EF翻折，使得A点落在边上的D处，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，根据折叠的性质得，， 又，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若，的面积为15，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题，勾股定理等知识点．根据题意推出是解题关键． 【详解】解：∵，的面积为， ∴∴ ∵沿着直线翻折得到，∴，， ∵，，∴ ∵，∴∴ ∴故答案为： 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据翻折的性质可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可求出，由直角三角形两锐角互余可得，即可求出，可证明是等腰直角三角形，可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，根据可求出的长，即可得的长． 【详解】连接，如图 ∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；角所对的直角边等于斜边的一半，正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据折叠可知， ，在中，，，， ，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例4．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ，，， ，是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：，， ，故答案为：． 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级·浙江·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接， 根据折叠的性质得，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 4．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由折叠性质得到，，，进而得到三点共线，根据等面积法可求得的长，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到， ∴，，， ∵是直角三角形，点E在线段上，即 ∴三点共线，     ∴，又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质，会利用等 面积法求出是解答的关键． 5．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（    ）    A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：根据折叠，可知，， ，， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得出，，由“”可证，可得出，，设，则，、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可得的长． 【详解】解：∵长方形纸片，，， ∴，，， ∵将沿折叠，点C落在点E处， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴，． 设，则，， 又∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换，长方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 7．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为（    ） A．3 B．5 C．3或6 D．2或5 【答案】C 【分析】分三种情况：①在中，由勾股定理可求得，由翻折的性质可知：，，则，在中，依据勾股定理列方程求解即可；②当时，由翻折的性质可知：，，然后证明是等腰直角三角形，从而求得；③当时，说明此情况不存在． 【详解】解：分三种情况：①当时，则，此时点与点重合，如图1所示， 在中，， 由翻折的性质可知；，，则， 设，则． 在中，，即． 解得：． ． ②当时，如图2所示：． 由翻折的性质可知：，，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ③若时，如图， ∵，则 ， ∴之间的距离为， ∴ 而， 所以矛盾，故不存的情形， 综上，的长为3或6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 9．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，． 根据折叠的性质，得 ，， ，． 在中，由勾股定理，得． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 解得． 故选B． 10．（2024·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出． 【详解】∵四边形是矩形，∴，，， ∵是沿折痕折叠得到的，∴，， ∵，∴， ∴在直角三角形中，，∴，∴， ∴，，设，∴， ∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用． 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（） A．26 B．24 C．21 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵的面积为42，F为中点， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， 则，解得， ∴， 则， ， 故选∶D． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 【详解】解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， 故答案为：． 13．（2023·河南信阳·八年级期中）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合）．连接把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____________________． 【答案】或 【分析】由于只知道为腰的等腰三角形，所以要讨论另外两条边分别为腰的情况，可设已知腰为,再根据折叠的性质对应边相等，用的代数式表示出其它边，再构造出一个关于的直角三角形，运用勾股定理即可求出和的长度． 【详解】过点作于点设 当时，如图1， 在中，由勾股定理，得，解得，(舍去) 当时，如图2，. 在中，由勾股定理，得.解得 综上所述，的长为或 故答案为或 【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形等知识点，解题的关键是根据折叠的性质，构造出一个含有未知数的直角三角形，利用勾股定理列出等式求解． 14．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理列方程可求解 【详解】根据折叠知， , 设 ，则 ．根据勾股定理，得： 解得， ．故答案为： 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键． 15．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在长方形纸片中，，，将纸片分别沿，折叠，使点落在边上的点处，点落在上的点处．    （1） ； （2） ． 【答案】 45 【分析】（1）由折叠可知，，由长方形知，即可得出结论； （2）由折叠可知，，在中运用勾股定理可求得，从而求得，再设，在中运用勾股定理可求得x，即可求得和，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是长方形， ， ， ， 即， 故答案为：； （2）解：由折叠可知，， 在中由勾股定理得：， ， 设，则， 由折叠可知， ， 在中由勾股定理得：， 解得：， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质和勾股定理，用方程解决几何计算问题是解题的关键． 16．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为边上一点，连接，将沿折叠至所在平面内，得到，与交于点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，过B作于H，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠至所在平面内，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过B作于H， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，折叠长方形纸片，使得点落在边上的点处，折痕为．已知，．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查折叠的性质，勾股定理： （1）根据折叠得，利用勾股定理求出，即可得到的长； （2）设，则，在中，由勾股定理得，即，求出即可． 【详解】（1）∵由折叠而来， ∴． 在中，， ∴， ∴． （2）设，则， 在中，，即， 解得：． 即． 18．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，． (1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长． 【答案】(1)20(2)6 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长； （2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出． 【详解】（1）解：∵  ∴ ∵，∴ 故答案为：； （2）根据折叠可得：，  则， 设，则， ∵ ∴    解得：，      ∴ 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键． 19．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 20．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵将沿折叠，点C落在点处 ∴，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； （2）∵ ∴ ∵沿将折叠得， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴的面积； （3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵， ∴ ∴四边形是长方形 ∴ 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$