专题09 等腰三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题09 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 4 13 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 例2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ． 例3．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知等腰三角形的周长为18，其中一边的长为4，则底边的长为 ． 例4．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2024·江苏南通·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(    ) A．0个 B．2个 C．4个 D．8个 例2．（2024·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3．（2024·江苏·八年级专题练习）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则 例4．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 例5．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．    (1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 例6．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 1．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（   ）个 A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ． 6．（2024八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 7．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ． 8．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 9.（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为 秒时，为等腰三角形． 10．（2023·江苏徐州·八年级校考期中）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形， °． 11．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________． 12．（2023春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为的等腰三角形，它的一个内角是，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ． 13．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开（该直线需经过点A），使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 ． 14．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在中，，分别是和的高．若，    （1）的长为( )（2）在的腰上取一点M，当是等腰三角形时，长为( ) 15．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知：如图，四边形是长方形，，，是的中点，点在线段上运动．(1)求的面积．(2)当时，求的周长．(3)当是腰长为的等腰三角形时，求的长． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 17．（2023春·云南临沧·八年级统考期中）如图，在中，，，，P、Q分别是边上的两个动点，点P从点B出发以的速度沿方向运动，到达A点后停止；点Q同时从点A出发以的速度沿方向运动，到达B点后停止，设出发时间为ts． (1)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？ (2)当点Q在边上运动时，若是等腰三角形，求此时t的值． 18．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图1，在长方形中，，，动点P从点D出发，沿着向C运动，同时，动点Q从点A出发，沿着向B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为t（）．                图1                        备用图 (1)用含t的式子表示______，______； (2)当时，线段的长为______； (3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请说明理由． 19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标． 20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为． (1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 4 13 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 分已知内角是底角和顶角两种情况讨论即可． 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是．故选：D． 例2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意； ∴周长为，故答案为：． 例3．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知等腰三角形的周长为18，其中一边的长为4，则底边的长为 ． 【答案】4 【分析】分腰长为4和底边长为4两种情况，利用等腰三角形的定义和三角形的三边关系解答即可． 【详解】若腰长为4，则底边长为，因为，所以4，4，10不能构成三角形，故舍去；若底边长为4，则腰长为，此时三角形的三边长为4，7，7，可以构成三角形；故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，正确分类是解题的关键． 例4．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、一元一次方程的应用，分三种情况，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若两腰长分别为和，则，解得，腰长为， ∵等腰三角形的周长为13，故此时不符合题意，舍去； ②若腰长为，底边长为，则，解得， ，，此时三角形三条边为，，，不满足三角形三边关系，故不符合题意，舍去； ③若底边长为，腰长为，则，解得， ，，此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为，故答案为：． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2024·江苏南通·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案． 【详解】根据题意得：， 如图（1）所示，，则，即顶角为； 如图（2）所示，，则， ，即顶角为；故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y，由题意知，周长的两部分为9和12， 则或，解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系．所以等腰三角形的腰长为6或8．故答案为：6或8． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有(    ) A．0个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可． 【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1， ∴满足条件的格点C有4个，故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键 例2．（2024·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案． 【详解】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0）， 当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键． 例3．（2024·江苏·八年级专题练习）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则 【答案】123°或132°或90°或48° 【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解． 【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD， 由题意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°， ∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°， ∵∠ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD； 如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：∠DBC=∠C=16°， ∴∠ADB=2∠C=32°，∴∠A=∠ADB=32°，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，符合最小的内角为∠C=16°， 如图，若BD=CD，AB=AD，则∠C=∠DBC=16°，∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°， ∴∠A=180°-2×32°=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°； 如图，若BD=CD，AD=BD，∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°， ∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°； 若BD=BC，则∠C=∠CDB=16°，∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，则只能满足AD=BD， ∴∠A=∠CDB=8°，即∠A＜∠C，不满足； 综上：∠ABC的度数为123°或132°或90°或48°．故答案为：123°或132°或90°或48°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是画出图形，分情况讨论． 例4．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三种情况求解即可． 【详解】∵为等腰三角形，①当时，如图①， ∵，∴， ∵，∴或； ②当时，如图② 作于C点，则， ∵，∴，∵，∴，∴． ③当时，如图③，作，∴，∴． 综上所述：点P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键． 例5．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．    (1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)(2)或(3)或或或3 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，在中，依据，列方程求解即可得到的值．（2）如图所示，当点P在上时，过作于，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值．当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则，    ，，，， 在中，由勾股定理得， ，解得，，； （2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，    平分，，，， 在与中，， ，，设，则， 在中，由勾股定理得， ，解得，，， 当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或． （3）解：分四种情况：①如图，当在上且时，∴，          ∵，，，， 是的中点，即，． ②如图，当在上且时，∴． ③如图，当在上且时，过作于， ∵，∴， 在中，由勾股定理得， ，． ④如图，当在上且时，则，． 综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 例6．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)．的解析式为；(2)点坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及巧妙运动分类讨论的思想是解题关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题；（3）分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入一次函数解析式得，，解得．则点坐标为． 令的解析式为，将点坐标代入得，，解得，所以的解析式为； （2）解：将代入得，，所以点坐标为． 又，故．又，所以． 又，则，所以，又点坐标为，所以点坐标为或； （3）解：过点作轴的垂线，垂足为，在中，． 当点为等腰三角形的顶点时，，所以点的坐标为或． 当点为等腰三角形的顶点时，，又，所以，故点坐标为． 当为等腰三角形的顶点时，，则点在的垂直平分线上， 连接，在中，，即，解得， 所以点坐标为．综上所述，点的坐标为或或或． 1．（24-25八年级上·吉林四平·期中）一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为：时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，这个三角形的周长是； 故选B． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，根据等䁏三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 则， ∴． 当时，点与重合，不符合题意， 综上所述，或， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）在等边三角形所在的平面上找一点，使、，都是等腰三角形．那么满足条件的点有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质等知识，分以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点两点； 以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点，这样在的垂直平分线上有三点；同样在的垂直平分线上也分别有点；还有一点就是三条边的垂直平分线的交点相加即可得出点的个数，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点两点； 以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点，这样在的垂直平分线上有三点， 同样在的垂直平分线上也分别有点； 还有一点就是三条边的垂直平分线的交点； ∴共（个） 故选：． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ． 【答案】54 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角是． 故答案为：54 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）一个等腰三角形的周长为11，其中一边为3，则其他两边长分别为 ． 【答案】，或3，5； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．当等腰三角形的底边为3时，腰为：，根据，满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为3时，底边为：，根据，满足三角形三边关系，综上，即可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的底边为3时，腰为：， ∵， ∴满足三角形三边关系， ∴另外两边的长为：，； 当等腰三角形的腰为3时，底边为：， ∵，满足三角形三边关系， ∴另外两边的长为：3，5； 综上，另两边长分别为，或3，5； 故答案为：，或3，5． 6．（2024八年级上·成都市·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义和性质，根据点的坐标可得，，再分，和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】， ， 是的中点， ， 分以下三种情况讨论： ①当时， 在中，， ， ∴点的坐标是； ②当时， 若为锐角，如图①， 过点作于点，则， ， ， ∴点的坐标是； 若为钝角，如图②，过点作于点， 同理可得， ， ∴点的坐标是． ③当时，则， 是等边三角形，如图③，过点作于点，则， 在中，， ∴该种情况不成立； 综上所述，点的坐标是或或． 7．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】过点作轴交轴于点，交于点，此时，设，分两种情况求解即可． 【详解】解：根据题意可得， （1）点在下方时，过点作轴交轴于点，交于点， ， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ； （2）点在上方时，过点作轴交轴于点，交直线于点， 同理得， ， 设， ， 又， ， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质等知识点，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将点坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答． 【详解】①当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴， ③当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴； ④当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上：∠C的度数为或或 故答案为：或或． 9.（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为 秒时，为等腰三角形． 【答案】或3或 【分析】本题考查了的等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：①当时， ； ②当时， ∵，，， ∴， 则， ∴； ③当时， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 综上：t为秒或3秒或秒， 故答案为：或3或． 10．（2023·江苏徐州·八年级校考期中）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形， °． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，      ①当时，∴∴． ②当时，； ③当时，； 综上所述，的度数为或或．故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 11．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________． 【答案】4或##或4 【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可． 【详解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD， ∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD， ∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°, ∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=， ∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62， ∴CD=， BD== AD； （1）当BE=BD=时，如图： （2）当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°， ∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE为直角三角形， 又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4； （3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意； 综上所述，BE为4或．故答案为：4或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键． 12．（2023春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为的等腰三角形，它的一个内角是，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ． 【答案】20或 【分析】由题意知，分等腰三角形的顶角为和等腰三角形的底角为两种情况求解：①当等腰三角形的顶角为，如图1，等腰中，，过作于，设，则，由，，可得，求解的值即可；②当等腰三角形的底角为，如图2，等腰中，，过作的延长线于，则，，设，则，由勾股定理得，由，，可得，求解的值即可． 【详解】解：由题意知，分等腰三角形的顶角为和等腰三角形的底角为两种情况求解： ①当等腰三角形的顶角为，如图1，等腰中，，过作于，      设，则， ∵，， ∴，解得， ∴以腰长为边的正方形的面积为； ②当等腰三角形的底角为，如图2，等腰中，，过作的延长线于，则，    ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵，， ∴，解得， ∴以腰长为边的正方形的面积为20； 综上所述，以腰长为边的正方形的面积为20或． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的定义．解题的关键在于分类讨论． 13．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开（该直线需经过点A），使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 ． 【答案】8或 【分析】分两种情况进行讨论：①当时，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求得剪出的等腰三角形的面积；②当时，是等腰三角形，根据勾股定理可求得的长，再根据可求得剪出的等腰三角形的面积． 【详解】解：①如图1：当时，是等腰直角三角形， 则； ②如图2：当时，是等腰三角形， 在中，，，，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 则， 综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或， 故答案为：8或． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的定义，关键是采用分类讨论的思想进行计算． 14．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在中，，分别是和的高．若，    （1）的长为( ) （2）在的腰上取一点M，当是等腰三角形时，长为( ) 【答案】 6 或 【分析】（1）由分别是和的高得到，由得到，，，则，则，即可得到答案； （2）分点在边上和点在边上两种情况分别画图进行求解即可． 【详解】（1）∵分别是和的高． ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 （2）当点在边上时，如图，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ， ∴， 当点在边上时，①若，如图，    ∵在中，，分别是的高． 平分， ∵于点， ∴， 即时，为等腰三角形； ②如图3，当时，为等腰三角形；    ， ∴， 过点E作，与的延长线相交于点F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ③如图4，当时，为等腰三角形； 过点M作于点Q，与交于点O，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上可知，长为， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 15．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知：如图，四边形是长方形，，，是的中点，点在线段上运动． (1)求的面积．(2)当时，求的周长． (3)当是腰长为的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)；(2)；(3)的长为或或． 【分析】（）由是的中点得出，再利用面积公式即可求解； （）过作于点，证明四边形是矩形，再根据勾股定理即可求解； （）分三种情况当时，当（为锐角三角形）时，当（为钝角三角形）时，分析即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴的面积为； （2）解：过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴的周长为； （3）解：如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴， ∴由勾股定理得：； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上可知：的长为或或． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上（点在点的左侧），点，的坐标分别为，，点在轴正半轴上，且，点是射线上一动点．(1)点的坐标是___________；(2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在线段上运动时，在轴负半轴上是否存在点使与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)当点在射线上运动时，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)点的坐标为；(3)点的坐标为或； (4)是等腰三角形时点的坐标为或或或． 【分析】（）求出即可得出点的坐标；（）根据的面积为，求出底长几颗； （）分当时和当两种情况分析即可；（）分当时，当时，当时三种情况，再根据等腰三角形的定义及性质和勾股定理即可求解；本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的定义和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴点的坐标是，故答案为：； （2）解：如图，∵..的面积为，∴，即， ∴，∴点的坐标为； （3）解：存在，∵，，∴，， 如图，当时，∴， ∴，∴点的坐标为； 如图，当，∴时， ∴，∴点的坐标为，综上可知：点的坐标为或； （4）解：∵，，∴，，∴， ∵是等腰三角形，∴如图，当时，∴，∴点的坐标； 如图，当时，∴点的坐标或； 如图，当时， 设，则，∴， ∴，解得：，∴点的坐标； 综上可知：是等腰三角形时点的坐标为或或或． 17．（2023春·云南临沧·八年级统考期中）如图，在中，，，，P、Q分别是边上的两个动点，点P从点B出发以的速度沿方向运动，到达A点后停止；点Q同时从点A出发以的速度沿方向运动，到达B点后停止，设出发时间为ts． (1)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？ (2)当点Q在边上运动时，若是等腰三角形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6或或 【分析】（1）可得，解出； （2）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ， ， 在中，，解得：， 当时，点P恰好在的垂直平分线上； （2）解：①当时，s； ②当时， ， ， ， ， ， ； ③当时，过点作于点， ， ， ， ，解得：， 综上所述，满足条件的t值为6或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识． 列方程思是解决本题的关键． 18．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图1，在长方形中，，，动点P从点D出发，沿着向C运动，同时，动点Q从点A出发，沿着向B运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为t（）．                图1                        备用图 (1)用含t的式子表示______，______； (2)当时，线段的长为______； (3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，得出，即可得出； （2）当时，得出，过点P作于点E，推出四边形是矩形，推出，，最后根据勾股定理即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当时，②当时，即可进行解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， 过点P作于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：．    （3）解：①当时， 由（2）可知：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：；    ②当时， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，解得：，    综上：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都是直角；等腰三角形“三线合一”，两腰相等；直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）． 【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得． (1) 则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0） (2)， (3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形 设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得 ①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a=−8，此时点P(−8，0)； ②若AB=PB，即，即解得a=18或a=−2，此时点P(18，0)或(−2，0)； 综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)． 【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键 20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为． (1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，；(2)；(3)，，，． 【分析】（1）先求解，，可得，，从而可得，如图，取的中点,连接,而，再证明为等边三角形，可得答案； （2）先证明，,可得,求解，可得为，过作交x轴于Q，设， 可得.，从而可得答案；（3）由为，设，而,可得,再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴，，∴，，∴， 如图，取的中点,连接,而， ∴，∴为等边三角形，∴. （2）解：∵折叠，，∴，， ∴，,∴,∴， 设为，∴，解得：， ∴为，过作交x轴于Q， 设，代入，∴，解得：， 得.令，则∴ （3）解：∵为，设，而， ∴， 当时，，解得：，∴， 当时，∴，解得：，（舍去），∴， 当时，∴，解得：，∴或， 综上：，，，． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$