专题15 直角三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题15 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 5 12 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，，当的值为 时，该三角形是直角三角形. 【答案】100或28 【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算. 【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28； ②最长边不是8时，82+62=，则=100. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边. 例2．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 【答案】42或21 【分析】直接根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形内和定理和外角的性质，即可得出结论． 【详解】解：，，， 平分，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ，； ②当时，如图2， ，，， 综上，的度数为或．故答案为：42或21． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形内和定理与外角的性质，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，翻折的性质等知识，当时，画出图形即可解决问题，熟练掌握翻折的性质是解决此题的关键． 【详解】如图，当时，∵点为的中点，，∴， ∵，∴点A，，D共线，∴， ∵，，∴，∴； 若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为，故答案为：． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】分两种情况：①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个；②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个； ②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个； 符合条件的点的个数共有4个，故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、直角三角形的判定；作出图形，分情况讨论是解题的关键． 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】分三种情形讨论求解即可．当时，作轴于，由，推出，可得点坐标，同法可得，当，，，当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，． 【详解】解：如图，当时，作轴于，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 同法可得，当， 当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分 和两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为 ． 当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时，∵ ∴ ， 解得，∴点P的坐标为 当 为直角三角形时，① ，易知点P在原点处坐标为 ； ② 时，∵ ，∴点P的坐标为 ． 综上所述点P的坐标为 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 例4．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【分析】分种情况：当时，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分种情况讨论：如图，当时， ∵是的中点，且，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴； 如图，当时，∵四边形是正方形，∴ ∴， ∵，，∴，∴，∴， 综上，的长是或．故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题． 例5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为，当 时，为直角三角形．    【答案】2或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，含角的直角三角形的性质．分类讨论：当时和当时，结合含角的直角三角形的性质列出一元一次方程解题即可． 【详解】解：∵，，∴，． 由题意可知，，∴． ∴当为直角三角形时，或． 当时，如图，∴，∴，即，解得：；        当时，如图，∴，∴，即，解得：． ∵当点到达点时，、两点同时停止运动，∴， ∴当或时，为直角三角形．故答案为：2或． 例6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为． (1)则______，______，______；(2)若函数的值大于函数的函数值，则的取值范围是______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；；(2)(3)(4)的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令，求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入中求出b的值，再将D坐标代入求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可； （2）由两一次函数解析式，结合图象确定出x的范围即可；（3）过D作垂直于x轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去面积，求出即可； （4）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：，把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即；故答案为： （2）解：一次函数与交于， 由图象得：函数的函数值大于函数的函数值时的取值范围是；故答案为： （3）解：过作轴，垂足为，如图所示， 一次函数的图象与轴交于点，，， ； （4）解：如图所示，设，，，， 分两种情况考虑：当时，， ，，； 当时，由横坐标为，得到横坐标为， 在轴上，的坐标为，综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 1．（23-24八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，根据题意知，，作于H，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，再利用勾股定理求出，从而得出答案． 【详解】解：如图，，作于H， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即第三边长为或， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求出OB的长即可． 【详解】解：在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝4， 由勾股定理得：OB＝， ∴A（3，4）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标系中，点的坐标的表示，求出OB的长是解题的关键． 4．（2024·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形． 【答案】1或 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x，可得CE的长； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，可得BE的长，即可求CE的长． 【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝ ＝5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x， 在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2， ∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝，CE＝4﹣＝ ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1 综上所述：CE＝1或 故答案为：1或 【点睛】此题利用矩形考查直角三角形与折叠相关问题，难度较大． 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形面积得出斜边上的高的长，进而得出A点坐标，即可得出点A关于x轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点A作于点C， ∵是直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴根据三角形面积可得：， ∴， ∴， ∴A点坐标为：， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形面积求法，正确得出的长是解题关键． 6．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上，若是直角三角形，则OB的长为 ． 【答案】4或 【分析】点B在x轴上，所以 ，分别讨论， 和两种情况，设 ，根据勾股定理求出x的值，即可得到OB的长． 【详解】解：∵B在x轴上， ∴设 ， ∵ ， ∴ ， ①当时，B点横坐标与A点横坐标相同， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ②当时， ， ∵点A坐标为，， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间距离以及勾股定理，分情况讨论是解题关键． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分两种情况讨论， 如下图，当时，则， 此时，即， ∴①， ∵②， 由②①，可得， ∴； 如下图，当时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， 由，可得， ∴． 综上所述，的所有可能的度数为或． 故答案为：或． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形解答：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：，则，为等边三角形，得；②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌，则，，作于点，设，可得，求出的值，再根据得结论． 【详解】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：≌， 则，， ∴为等边三角形， ． ②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：，； 则，，， 作于点，设， ∴， ∴， ， ． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键．分类讨论点恰好落在直角三角形纸片的不同边上． 9．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    【答案】或 【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 当时，如图：    ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，，， 在中，， 即， ∴； 当时，作交的延长线于．如图：    设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， 即， 解得：； 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】40°或20° 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，运用分类讨论思想是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据直角的不同位置讨论，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， 若为直角三角形， 当时，如图， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∴， 故答案为：或． 11．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向点A移动，同时点E从点C出发以每秒3个单位长度的速度匀速向点B移动，当D、E两点中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设点D的运动时间为t秒． （1）若为等边三角形，则 ．（2）若为直角三角形，则 ． 【答案】 7， 或5 【分析】本题考查了解含30度角的直角三角形、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是利用30度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． （1）由列出方程并求解，此题得解； （2）分及两种情况进行讨论，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 由意得，，， （1）若为等边三角形，则， ， 解得：， 故答案为：7； （2）若为直角三角形， ①当时， ， ， ， ， 解得：， ②当时， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：或5 12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意， 为直角三角形时， 当，为直角三角形时， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 13．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，，， 点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）； 点从点运动到点所需时间为（秒）， 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，， 由题意，分以下两种情况：（1）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即，解得，符合题设； ②当时，， 在中，，即，解得，不符题设，舍去； （2）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即，解得，符合题设； ②当时，，在中，，即，解得，符合题设； 综上，的值是或或，故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键． 14．（2024·江西九江·八年级统考期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．(1)求∠DAE的度数；(2)若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． 【答案】(1)10°(2)20°或50° 【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理计算即可； （2）分∠BFM=90°和∠BMF=90°两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵BF为△ABC的角平分线． ∴， ∵AD为△ABC的高∴∴ 在△ABF中 ∵AE为△ABC的角平分线∴∴ ． （2）解：（1）①当∠BFM=90°时 ∵∠AFB=70°，∴∠C=∠AFB-∠CBF=40° ∵∠BFM=90°，∴∠FMC=∠CBF+∠BFM=120° ∴∠CFM=180°-∠C-∠FMC =20°； ②当∠BMF=90°时∵∴∠BFM=90°-∠CBF=60°,∠AFB=70° ∵∠BFM+∠AFB+∠CFM=180°∴∠CFM=180°-∠AFB-∠BFM=50°． 综上，∠CFM的度数为20°或50°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和等于180°以及分类讨论思想成为解答本题的关键． 15．（2024·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）． (1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形． 【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）根据题意可知当时，点M在BC上，点N在AB上，根据为直角三角形，则或，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，分①时，②时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可； (1)当，点M在BC上，点N在AB上， ，， 为直角三角形，则或， ①当时，，， 即，解得：． ②当时，，， 即，解得：． 综上，或时，为直角三角形． (2)点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则， ①在时，当时，为等边三角形 此时，，解得：． ②在时，为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，此时，． 综上，或时，为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 16．（2024·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒． （1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒； ②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果） 【答案】（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；②或 【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°； （2）①由△BPQ为等边三角形，可得 再建立方程求解即可；②当△BPQ为直角三角形时，分两种情况讨论，当 而 则 当时，则 再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可. 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°， ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， 在△APC和△BQA中， ∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°， ∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°； （2）① △BPQ为等边三角形， 由题意得： 解得： 所以当△BPQ为等边三角形时，则s ②当△BPQ为直角三角形时， 当 而 则 解得： 当时，则 解得： 综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形. 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键. 17．（2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线． (1)在图2的中，，．请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数；(2)已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画中各个角的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC分成90°角和20°角即可； （2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质． 18．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①，②或 【分析】（1）把点，代入，求出，得直线直线：，再把点代入，求出，得点的坐标，最后把代入，求出； （2）①过点作轴于点，作轴于点，求出，再求出，可得，即可得答案； ②分两种情况讨论，当时，求出，从而得到，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， 直线：， 把点代入， 得：， 解得：， 把代入， ， ， 故答案为：，，； （2）①直线：， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，， ， ， 点的坐标为； ②如图， 当时，由翻折得：， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图， 当时，，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，翻折的性质，直角三角形的判定于性质，解题的关键是作辅助线． 19．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】(1)令，即可求解； (2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解； (3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点的坐标为； （2）解：代入A、两点可得：，， 解得：，， 故，， ， ， 设原点到直线的距离为， 则， 解得：， 故原点到直线的距离为； （3）解：存在， 设点的坐标为，根据题意可知不为直角， 所以当是直角三角形分两种情况： ①当时，此时点的坐标为； ②当，， 故， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想． 20．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AD的解析式； （2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，点F的坐标为(，0)或(-，0)或(-，0) 【分析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式； （2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论； （3）要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标． 【详解】（1）∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n， ∵直线AB经过A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4， ∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4， ∵△ABD的面积为27，A（-2，6），∴S△ABD=×BD×6=27， ∴BD=9，∴OD=5，∴D（-5，0），设直线AD的解析式为y=ax+b， ∴，解得．∴直线AD的解析式为y=2x+10； （2）∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P（m，-m+4）， ∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10， 解得x=，∴E（，-m+4），∴PE的长y=m-=m+3； 即y=m+3，（-2＜m＜4）， （3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形， ①当∠FPE=90°时，如图①， 有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，∴-m+4=m+3，解得m=，此时F（，0）； ②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标， ∴EF=-m+4，∴-m+4=m+3，解得：m=．∴点E的横坐标为x==-，∴F（-，0）； ③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，∴∠FPE=∠FEP． ∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足， ∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR=PE． ∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=（m+3），解得：m=， ∴PR=FR=-m+4=-+4=，∴点F的横坐标为-=-，∴F（-，0）． 综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（-，0）或（-，0）． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 5 12 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，，当的值为 时，该三角形是直角三角形. 例2．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    例3．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 例4．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ．    例5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为，当 时，为直角三角形． 例6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为． (1)则______，______，______；(2)若函数的值大于函数的函数值，则的取值范围是______；(3)求四边形的面积；(4)在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 1．（23-24八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形． 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 6．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上，若是直角三角形，则OB的长为 ． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 9．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．    10．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ． 11．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向点A移动，同时点E从点C出发以每秒3个单位长度的速度匀速向点B移动，当D、E两点中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设点D的运动时间为t秒． （1）若为等边三角形，则 ．（2）若为直角三角形，则 ． 12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ． 13．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 14．（2024·江西九江·八年级统考期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，．(1)求∠DAE的度数；(2)若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． 15．（2024·广东中山·八年级期末）如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）． (1)当且为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值，为等边三角形． 16．（2024·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒． （1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒； ②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果） 17．（2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线． (1)在图2的中，，．请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数；(2)已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画中各个角的度数． 18．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标． 19．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.(1)点C的坐标为(2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 20．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27． （1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$