湖北省恩施市博文学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学期中考试试卷 一、单选题（共40分） 1．设全集，则 A． B． C． D． 2．已知命题，那么命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．幂函数的图象经过点，则 A． B． C． D． 4．下列四个图象中，是函数图象的是(　　) A．(1) B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(3) D．(3)(4) 5．关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是 A．或 B． C． D．或 6．已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若函数为定义在R上的奇函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．如图，正方形的中心为正方形的中心，，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥（，，，四点重合于点），则此四棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列命题为真命题的是（    ） A．幂函数的图象过点，则 B．函数的定义域为，则的定义域为 C．已知，则 D．关于的方程与的根分别为，则 11．若函数满足，，且，，则（    ） A．在上单调递减 B． C． D．若，则或 三、填空题（共15分） 12．已知，则 . 13．含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 14．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：，．则交通事故的主要责任方是 （填“甲”或“乙” ． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知全集U为全体实数，集合， (1)在①，②，③这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16．（本题15分）已知：，：，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数，且为奇函数 （1）求的值； （2）求函数在上的值域． 18．（本题17分）宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区､绩溪县的龙川景区､旌德县的江村景区､宁国市的青龙湾景区､广德市的太极洞景区､郎溪县的观天下景区､泾县的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元. (1)求2023年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润收入成本）； (2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 19．（本题17分）已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B B B AB ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：由已知条件得，，所以. 考点：集合的运算. 2．A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可. 【详解】因为在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题 “”的否定 是“”. 故选：A 3．B 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】已知函数类型，设函数解析式，将已知点带入，求出a，然后再求的值 【详解】设幂函数的解析式为， ∵点在函数的图象上， ∴，即，解得， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】会根据题意求幂函数表达式，并会求简单的幂函数值 4．B 【知识点】图象法表示函数、函数关系的判断 【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对． 故选B 考点：函数的概念． 5．C 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据的解集判断出的关系，由此求得不等式的解集. 【详解】由于x的不等式的解集是，所以且.所以不等式等价于，故解集为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 6．B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再去判断“”与“在R上单调递增”二者间的逻辑关系即可. 【详解】若在R上单调递增， 则时，单调递增，且，所以. 由“”可以得到“”，但由“”不可以得到“”， 所以“”是“在R上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 7．B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【详解】试题分析：因为为定义在R上的奇函数，且在内是增函数，又，所以的解集为 ;的解集为 ，由得 或解得 考点：利用函数的性质解不等式． 8．B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、锥体体积的有关计算 【分析】设，则所得的棱锥侧面的高为，棱锥的高为运用棱锥的体积公式和基本不等式可求得最值. 【详解】解：设，则所得的棱锥侧面的高为， 棱锥的高为其体积为： ， 当且仅当时等号成立， 即体积的最大值为， 故选：B. 9．AB 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用基本不等式和不等式的性质判断各选项即可. 【详解】由，及， 可得即，及即，则A正确，C错误； 由可得，由可得， 则，则，即，B正确； ，由可得，则，时取等，D错误； 故选：AB． 10．ACD 【知识点】求函数值、抽象函数的定义域、反函数的性质应用、求幂函数的解析式 【分析】A中，利用待定系数法求出幂函数的解析式即可； B中，根据函数的定义域求出的定义域，再求的定义域； C中，，即可求出的值； D中，利用函数图象的对称性，求出的关系，由此求得的值． 【详解】对于A，设幂函数，图象过点，则，解得，所以，选项A正确； 对于B，函数的定义域为，所以，即的定义域为， 令，解得，所以的定义域为，选项B错误； 对于C，已知，则时，有，选项C正确； 对于D，关于的方程与的根分别为， 则函数与的图象，分别与直线相交于点与点， 函数与互为反函数，图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，所以点与点关于直线对称， 有，，所以，选项D正确． 故选：ACD． 11．ABD 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性求参数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先由题设条件得到在上单调递增，且关于对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且关于对称， 则在上单调递减，故A正确； 因为，令，得，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 若，则，解得或，故D正确. 故选：ABD. 12．31 【知识点】求函数值 【分析】根据函数表达式先计算，再计算. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：31. 13．1 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 14．乙 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任． 【详解】由题意，解得，或， ， ， 解得，或， ， ， 乙车超过限速，应负主要责任． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了列一元二次不等式解决实际问题，考查数学建模的能力，属于基础题． 15．(1)选条件③，或， (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）求出集合，再得出三个条件下集合，由，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算； （2）根据必要不充分条件的定义求解． 【详解】（1）由题知：集合，， 时，，时，，时，， ，需选条件③， 此时，或， ， （2）∵ “”是“”的必要不充分条件是B的真子集， ∴且等号不同时取得，解得． 16． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式 【分析】先化简命题，然后由是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件，由求解. 【详解】：，：， 若是的充分不必要条件， 则是的充分不必要条件，则， 当，解得； 当，则，解得. 综上所述，. 【点睛】本题主要考查逻辑条件的应用以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17．（1）a＝﹣1．（2）[，]． 【知识点】由奇偶性求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）由已知得f（0）＝20+a20＝0，由此能求出a＝﹣1． （2）先判断函数f（x）在[﹣1，4]上是增函数，由此能求出函数f（x）的值域． 【详解】（1）∵函数（a∈R）为奇函数， ∴f（0）＝20+a20＝0， 解得a＝﹣1，经检验符合题意． （2）由（1）可得函数， ∵为增函数，为增函数， ∴函数f（x）在上是增函数， ∴f（x）max＝f（4）＝16，f（x）min＝f（﹣1）， ∴函数f（x）在[﹣1，4]上的值域为[，]． 【点睛】本题考查奇偶性的应用，考查函数的值域的求法，单调性的应用，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 18．(1) (2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元 【知识点】分段函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、分段函数模型的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可. 【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入万元，共万元收入， 则利润 化简得； （2）当时，此时单调递增， ， 当时，二次函数开口向下，对称轴为， 则， 当时，，当且仅当，即时等号成立， ， 综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元. 19．(1)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析 (2). 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）求出的定义域，并证明为偶函数，再用定义法判断在单调性，利用偶函数的性质判断在上的单调性即可； （2）结合（1）将等价于，分别求出的最大值以及的最小值即可得到答案. 【详解】（1）. 令，解得：，则的定义域为，关于原点对称， 当时，，所以为偶函数. 任取，且， 则 因为，所以，则， 又因为，则，所以，所以在上单调递减. 由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减. （2）不等式等价于. 由（1）得，当时，在时取得最大值0. 又，当且仅当时，取得最小值2， 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围为. — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$