河北省石家庄市2023-2024学年北师大版八年级上册数学期末考试试卷

北师大版八年级上册数学期末考试试题 一、单选题 1．下列实数中的无理数是（    ） A． B．0 C． D．3.14 2．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5 3．下列四组数中，二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．超市对牛奶销量进行市场占有情况的调查后，最应该关注的是已售出牛奶品牌的（  ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 5．对于命题“若，则”，小江举了一个反例来说明它是假命题，则小江选择的x值是（    ） A． B． C． D． 6．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（    ） A．36.5元 B．30.5元 C．27.5元 D．22.5元 7．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　） A．60° B．30° C．90° D．80° 8．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知AB∥FE，∠ABC＝70°，∠CDE＝150°，则∠BCD的值为（    ） A．40° B．30° C．20° D．80° 10．已知正比例函数（k为常数且），若y的值随着x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的立方根是________． 12．已知，且，则__________． 13．若点在y轴上，则点M的坐标为______． 14．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时成绩∶期中成绩∶期末成绩＝3∶3∶4，则小明总评成绩是_____________分． 15．如图，,，则_______． 16．如图，有一块直角三角形纸片，直角边AC＝3cm，BC＝4cm，将直角边AC沿AD所在的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为___________cm． 17．如图：在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，设x轴上有一点P作x轴的垂线（垂足位于点A的右侧），分别交和的图象于点B、C，连接OC，若，则△OBC的面积为__________． 18．数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，方程组的解是________． 三、解答题 19．（1）把下列各数填入相应的集合中：． 有理数集合{                      …}； 无理数集合{                      …}； （2）小伟把（1）中的后三个数字用运算符号连接成代数式：，请帮小伟化简所列代数式． 20．如图，，与交于点O，，，求的度数． 21．如图，在长方形中，点B的坐标为，点D的坐标为． (1)根据点B与点D的坐标，在图中画出正确的平面直角坐标系； (2)求经过A，C两点的直线的函数表达式． 22．在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题： (1)A，B两个码头之间的距离是_________； (2)已知货轮距B码头的距离与行驶时间的图象表达式为，求客轮距B码头的距离与时间之间的函数表达式： (3)求出点P的坐标，并指出点P的横坐标与纵坐标所表示的实际意思． 23．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； (2)写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求△ABC的面积． 24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求AC的长． 25．已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． (1)求a，b的值； (2)方程组的解为 　 　． (3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．下面的条形统计图描述了某车间20个工人日加工零件数的情况，求这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数． 27．某商店销售10台A型和20台B型计算器的利润为400元，销售15台A型和10台B型计算器的利润为300元． (1)求每台A型计算器和B型计算器的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的计算器共50台，设购进A型计算器a台，这50台计算器的销售总利润为w元．求w关于a的函数关系式． 参考答案 1．A 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】A. 是无理数，故本选项符合题意； B. 0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C. 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D. 3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及二次根式的化简，熟练掌握上述知识是解题的关键． 2．D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．A 【分析】把各选项中x、y的值分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解． 【详解】解：由题意可知： A. ，方程左边方程右边，故是方程的解，符合题意； B. ，方程左边，故不是方程的解，不符合题意； C. ，方程左边，故不是方程的解，不符合题意； D. ，方程左边，故不是方程的解，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，使方程左右两边等式成立的未知数的值叫做方程的解；会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是解题关键． 4．C 【分析】要调查牛奶销量的市场占有率，即要调查牛奶的销量情况，由此即可得到答案． 【详解】解：∵要调查牛奶销量的市场占有率，即要调查牛奶的销量情况， ∴最应该关注的是已售出牛奶品牌的众数即可知道哪款牛奶的销量最好， 故选C． 【点睛】本题主要考查了用众数做决策，熟知众数的定义是解题的关键． 5．D 【分析】当x＝−5时，满足x2＝25，但不能得到x＝5，于是x＝−5可作为说明命题“若x2＝25，则x＝5”是假命题的一个反例． 【详解】解：说明命题“若x2＝25，则x＝5”是假命题的一个反例可以是x＝−5，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．B 【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价． 【详解】解：这天销售的四种商品的平均单价是： 10×10%+20×15%+30×55%+50×20%＝30.5（元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数的求法，是简单题型，根据各单价分别乘以所占百分比即可获得平均单价． 7．A 【分析】由平行线的性质可得∠CFE=∠EBA=60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE=∠E+∠D，从而得解． 【详解】解：∵AB∥CD，∠EBA=60°， ∴∠CFE=∠EBA=60°， ∵∠EBA是△DEF的外角， ∴∠E+∠D=∠EBA=60°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质和平行线的性质． 8．A 【分析】首先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 9．A 【分析】根据平行线的性质求出∠BFD的度数，由补角的定义求出∠CFD的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB∥FE， ∴∠BFD＝∠ABC＝70°， ∴∠CFD＝180°−∠BFD＝110°， 又∵∠CDE＝∠CFD＋∠BCD， ∴∠BCD＝∠CDE−∠CFD＝150°−110°＝40°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 10．C 【分析】根据正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，可得，从而可以判断一次函数图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限， 故选：C 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键在于能够求出． 11．－3 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：－27的立方根是－3， 故答案为：－3． 【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键． 12．6 【分析】先由，得出，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查求代数式的值，等式性质，掌握求代数式的值，等式性质是解题关键． 13． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【详解】点在y轴上， ， 解得：， 则， 则点M的坐标为：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的值是解题关键． 14．89 【分析】根据题意和题目中的数据，利用加权平均数的计算方法可以计算出小明的总评成绩． 【详解】解：小明总评成绩是（分）， 故答案为：89． 【点睛】本题考查了加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的方法解答． 15．80 【分析】由三角形的外角的性质可得，代入数据即可得到答案． 【详解】解：由题意可知： ， ∵,， ∴． 故答案为：80 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解本题的关键． 16． 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质得：，， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故答案为． 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程解决问题． 17．44 【分析】构建方程组 求解可得点A的坐标，设B（a，a），C（a，-2a+11），可得BC=|a-（-2a+11）|=×5，求出a即可解决问题． 【详解】解：由，解得， ∴A（4，3）． ∴OA=5， ∵P（a，0）， ∴B（a，a），C（a，-a+7）， ∴BC=|a-（-2a+11）|=×5， 解得a=8或0（舍弃）， ∴PO=8，BC=11 ∴S△OBC=×8×11=44． 故答案为：44 【点睛】本题考查两直线相交或平行问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18． 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：直线和直线相交于点 方程组的解是． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程，关键是掌握二元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，二元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的坐标． 19．（1）有理数集合；无理数集合．（2） 【分析】（1）直接根据有理数和无理数的定义进行分类即可； （2）根据二次根式的乘法和加法法则进行运算即可． 【详解】（1）有理数集合； 无理数集合． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数和无理数的分类、二次根式的乘法和加法的混合运算，解题关键是熟练掌握和运用运算法则． 20． 【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等求出的度数，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先确定点C为坐标原点，再画出平面直角坐标系即可； （2）确定点A的坐标，再运用待定系数法求出直线AC的解析式即可． （1） 平面直角坐标系如图所示： （2） 由图得点，点， 设直线表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， 所以，直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了确定平面直角坐标系以及运用待定系数法求函数解析式，确定点C的坐标是解答本题的关键． 22．(1)80 (2) (3)，点P的横坐标表示两船在第32分钟相遇，点P的纵坐标表示两船相遇时距离B码头 【分析】（1）根据函数图象可得； （2）根据图象过点，可设函数表达式为，把（40，0）代入求出k即可； （3）联立方程组，求解即可． 【详解】（1）根据图象得可知： A、B两个码头之间的距离是80千米， 故答案为：80； （2）根据图象过点，可设函数表达式为， 将点代入得，， 解得． ∴． （3）由题意得解得 ∴， 点P的横坐标表示两船在第32分钟相遇，点P的纵坐标表示两船相遇时距离B码头． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 23．(1)见解析 (2)A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3） (3) 【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积． （1） 解：如图，△A1B1C1即为所求； （2） 解：观察图形得：A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （3） 解：△ABC的面积为：3×5-×2×5-×1×3-×2×3=． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质． 24．（1）见解析；（2）AC＝16.9 【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形， （2）由（1）可求出AC的长． 【详解】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，52+122=132， ∴BC2＝BD2+CD2， ∴△BDC为直角三角形； （2）设AB＝x， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB＝AC＝x， ∵AC2＝AD2+CD2， 即x2＝（x﹣5）2+122， 解得：x＝16.9， ∴AC＝16.9． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答． 25．(1)a＝2，b＝2.5 (2) (3)存在，或 【分析】（1）把点C（1，a）分别代入y＝2x和y=中，即可求得a，b的值． （2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解． （3）设点P 的坐标为（x，2x），求出点A的坐标和点B的坐标，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式列方程求得x的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上， ∴a＝1×2＝2， ∴点C 的坐标为（1，2）， ∵点C（1，2）在y=的图象上， 所以，2＝﹣+b， 所以，b＝2.5； （2）解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2） ∴方程组的解为 故答案为； （3）解：存在， 理由：∵点P在在y＝2x的图象上， ∴设点P 的坐标为（x，2x）， ∵一次函数为 ∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0）， 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴△BOP的面积为， △AOP的面积为， 当5|x|＝时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数的问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、一次函数与二元一次方程组的关系、三角形的面积公式、明确函数与方程组的关系． 26．众数：6个，中位数：6个，平均数：6.3个 【分析】先根据图形确定某车间工人日加工零件数，再利用平均数的公式求得平均数．根据中位数和众数的定义求解． 【详解】解：观察条形图， 在这20个数据中，6出现了8次，出现的次数最多，故众数是：6个； 将这20个数据按从小到大的顺序排列，其中第10个、第11个数都是6，故中位数：6个； 平均数： (5×4+6×8+7×6+8×2) =6.3（个）． 【点睛】本题考查学生对条形图的认识及对平均数、中位数、众数的运用．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 27．(1)每台A型计算器的销售利润10元，每台B型计算器的销售利润15元 (2) 【分析】（1）根据销售10台型和20台型计算器的利润为400元，销售15台型和10台型计算器的利润为300元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果可以写出关于的函数关系式． (1) 解：设每台型计算器的销售利润为元，每台型计算器的销售利润为元， 由题意可得：， 解得， 答：每台型计算器的销售利润为10元，每台型计算器的销售利润为15元； (2) 解：设购进型计算器台，则购进型计算器台， 依题意得：， 即关于的函数关系式是． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$