宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

银川一中2024/2025学年度(上)高一期中考试 数 学 试 卷 命题教师：朱建锋一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的真子集的个 数为 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知点在幂函数的图象上，则 A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数的图象是． A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 5．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．定义为中的最大值，设，则的最小值为 A． B．4 C．0 D． 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法中正确的有 A．命题，”则命题的否定是 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．已知函数，则 A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 11．已知函数，则 A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 13．已知函数，则_______ 14．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是____________(用区间表示) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) (1)求函数的最小值； (2)已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 16．(本小题15分) 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并解不等式； (2)若直线（为常数）与函数的图象有两 个公共点，直接写出的范围． 17．(本小题15分) 已知函数是奇函数，且. (1)若函数在区间递增，求实数的取值范围； (2)设，若对，，使得成立，求实数的取值范围. 18．(本小题17分) 已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19．(本小题17分) 设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． (1)若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； (2)试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件； (3)若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 高一期中数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2005学年（上）高一期中考试数学试卷答案 单选题 1.【答案】B 【分析】联立方程组得有一解，即有一个元素，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得，解得， 则，故的真子集的个数为1． 故选：B. 2．【答案】C 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3．【答案】C 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【详解】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 4．【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 5．【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，则，A错误； 选项B，当，时，，但，不成立，B错误； 选项C，当时，， C正确； 选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误. 故选:C． 6．【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 7．【答案】A 【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出取值范围. 【详解】画出分段函数的图象，如图所示，所以要使函数在上单调递增， 则或，解得或，所以实数的取值范围为． 故选：A 8. 【答案】D 【分析】分别画出的图象，即可得函数的图象，根据图象分析最值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 多选题 9. 【答案】AD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，由可知由两种情况，①且；②， 故不能推出，由也不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，当时，，故错误； 对于D，关于的方程有一正一负根，则，解得. 所以""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10．【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 11. 【答案】ABC 【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D 【详解】由得，所以的定义域为，A正确； 由及， 可得的值域为，B正确； 的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位， 再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确； 在上单调递减，则或，即或 ，D错误． 故选：ABC． 12．【答案】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 13．【答案】-1 【分析】根据分段函数定义计算即可. 【详解】. 14. 【答案】 【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 又因为函数是“函数”，故其值域为； 而，则值域为； 当时，， 当时，，此时函数在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 15. 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （2）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （2）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 16. 【答案】(1)图象见解析，或 (2)或 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； （2） 如图，与有2个交点，则或. 17. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数是奇函数，且， 所以解得： ， 因为函数在区间递增， 所以，即. （2）对于，当，易知值域为， 由对，，使得成立， 可得在区间的值域为在区间上值域的子集， 的对称轴为， 当时，可知在区间上单调递增，此时值域为， 所以，可得，解得：. 当，可知在区间上单调递减，此时值域为， 所以，可得，解得：. 综上所述：实数的取值范围 18. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19.【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）分析可知在区间上单调递增，结合单调性的定义分析求解； （2）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断； （3）分析可知在区间上单调递增，在区间上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】（1）若具有性质A，即可知在区间上单调递增． 对任意，且， 则， 因为，则， 可得恒成立，则， 所以实数的取值范围是． （2）若函数在区间上具有性质， 对任意且， 由条件可知 变形可得，即， 所以在区间上单调递增，即充分性成立； 若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增， 但，故不符合性质，即必要性不成立； 所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. （3）由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增； 由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增； 由对勾函数可知：的增区间为， 的增区间为， 要使得条件成立，需要或 所以实数的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$