广东省深圳高级中学（集团）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷第 1 页，共 7 页 深圳高级中学 2024-2025 学年第一学期期中考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B D B B A ACD AC ABD 8．答案 A 解析 法一：如图所示，设|F1F2|＝2c， 因为 4|F2N|＝3|F2M|， 设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t，在 Rt△F2MN 中，|MN|＝ |F2N|2＋|F2M|2＝5t， 由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t， |F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，解得 a＝3t， 所以|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，|F1M|＝2a－4t＝2t， 在△F1NF2 中，可得 cos∠NF1F2＝ c 3t ，在△F1MF2 中，由余弦定理可得 cos∠MF1F2＝ c2－3t2 2ct ，因为∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，所以 cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0， 即 c 3t ＋ c2－3t2 2ct ＝0，解得 c＝ 3 5t 5 ，所以椭圆的离心率 e＝ c a ＝ 5 5 . 法二：方法同上先得|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，则点 N 为短轴端点.设∠𝐹1𝑁𝐹2=θ，在 Rt△ F2MN 中 cosθ= 3 5 ，则 sin 𝜃 2 =√ 1−𝑐𝑜𝑠𝜃 2 = √5 5 .又因为 sin 𝜃 2 = 𝑂𝐹2 𝑁𝐹2 = 𝑐 𝑎 , 所以椭圆的离心率 e＝ 5 5 . 11. 答案：ABD 解析： A：略 B: 略 C：因为 1AP AC AD = + ，所以点 P 在平面 1ACD 上，设D到平面 1ACD 的距离为h ,由 1 1D ACD D ACD V V− −= 可得： 1 1 1 1 1 1 1 2 2 sin 60 3 2 3 2 h    =      ，解得 3 3 h = ， 因为D到平面 1ACD 的距离为D到平面 1ACD 上点距离的最小值，又 3 1 3 2  ，故 C 错误. D：因为 1AP AC AD = + ，其中 (0,1) ， (0,1) ，又 1 + = ，所以 1, ,P C D 三点共线， 取 A1B1中点 E 连接 EQ、ED1，则平面 QCP 截正方体的截面为等腰梯形 CD1EQ ，过点 Q 作 QH⟘CD1，算出 QH= 3√2 4 ，从而得到 S 梯形= 9 8 A D B C A1 B1 C1 D1 Q E P H 试卷第 2 页，共 7 页 12.答案：2 13.答案：(2，2√3] 解析 法一：直线 MN 的方程可化为 m(x＋y－2)＋x－1＝0，由    x＋y－2＝0， x－1＝0， 得    x＝1， y＝1， 所以直线 MN 过定点 A(1,1)（其中不包含直线 x＋y－2=0）， 因为 12＋12<3，即点 A 在圆 x2＋y2＝3 内， 圆 x2＋y2＝3 的圆心为原点 O，半径为 3，不妨设圆心到直线 MN 的距离为 d 当 OA⊥MN 时，MN 恰为直线 x＋y－2=0，不存在，故 d 取不到√2，即 0 ≤d<√2 由|𝑀𝑁| = 2√𝑟2 − 𝑑2 = 2√3 − 𝑑2， 可得弦长|MN|的取值范围为(2，2√3]. 法二：设圆心到直线 MN 的距离为 d，则 d= |−2𝑚−1| √(𝑚+1)2+𝑚2 .r2－d2=3－ (−2𝑚−1)2 (𝑚+1)2+𝑚2 = 2𝑚2+2𝑚+2 2𝑚2+2𝑚+1 =1+ 1 2𝑚2+2𝑚+1 .因为2𝑚2 + 2𝑚 + 1 ≥ 1 2 故0 < 1 2𝑚2+2𝑚+1 ≤ 2，1 < r2－d2 ≤ 3，又因为|𝑀𝑁| = 2√𝑟2 − 𝑑2 = 2√3 − 𝑑2,所以弦长|𝑀𝑁|的取值范围为(2，2√3]. 14. 答案：2 6 解析 因为在正方形 ABCD 中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF， 所以折起后 OD，OE，OF 两两互相垂直， 故该三棱锥的外接球，即以 OD，OE，OF 为棱的长方体的外 接球．设正方形 ABCD 的边长为 2，则 OD＝2，OE＝1，OF＝1， 故 2R＝ OD2＋OE2＋OF2＝ 6，则 R＝ 6 2 . 设内切球球心为 I，由 VO－DEF＝VD－OEF＝ 1 3 ·S△OEF·OD＝ 1 3 ，三棱锥 O－DEF 的表面积 S＝4， VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝ 1 3 Sr，所以 r＝ 1 4 ，则有 R r ＝2 6. 四、解答题： 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为 4，短轴长为 2，焦点在 y 轴上； (2)过点 ( )3,0 ，离心率 6 3 e = ； 答案：(1) 2 2 1 4 y x+ = (2) 2 2 1 9 3 x y + = 或 2 2 1 27 9 y x + = 【解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在 y 轴上，长轴长为 4，短轴长为 2，即2 4a = ， 2 2b = ，则有 2a = ， 1b = ，故椭圆的标准方程为 2 2 1 4 y x+ = ； ……4 分 （2）若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为 2 2 2 2 1 x y a b + = . 试卷第 3 页，共 7 页 则 3 6 3 a c e a =   = =  ，所以 3a = ， 6c = ， 2 2 2 3b a c= − = ，即椭圆的标准方程为 2 2 1 9 3 x y + = . ……8 分 若椭圆的焦点在 y 轴上，设方程为 2 2 2 2 1 y x a b + = ， 则 3 6 3 b c e a =   = =  ，又 2 2 2b a c= − ，解得 3 3a = ，即椭圆的标准方程为 2 2 1 27 9 y x + = .……12 分 综上所述，椭圆的标准方程为 2 2 1 9 3 x y + = 或 2 2 1 27 9 y x + = . ……13 分 16．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 1AB AD AA= = = ， 1 1 60A AB A AD BAD = = =  . （1）求证：四边形 1 1BDD B 为正方形； （2）求体对角线 1AC 的长度； 【解】（1）因为BD AD AB= − ， 1 1 1 1 1 1B D A D A B AD AB= − = − ， 所以 1 1BD B D= ，而 1 1, , ,B D D B 不共线，所以四边形 1 1BDD B 为平行四边形， 又 ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 BD BB AD AB AA AD AA AB AA = −  =  −  =   −   = ， 所以 1BD BB⊥ ，即 1BD BB⊥ ，所以四边形 1 1BDD B 为正方形； ……8 分 （2）由题意易知 1 1 1AC AB BC CC AD AB AA= + + = + + ， 所以 ( ) 22 1 1AC AD AB AA= + + 2 2 2 1 1 12 2 2AD AB AA AD AB AB AA AD AA= + + +  +  +  ， 因为 1 1AB AD AA= = = ， 1 1 60BAD BAA DAA = =  = ， 所以 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 AD AB AB AA AD AA =  =  =    = ， 2 2 2 1 1AD AB AA= = = ， 所以 2 1 16 6AC AC=  = ，即 1 6AC = ； ……15 分 17.已知两直线 1 : 3 9 0l x y+ − = 和 2 : 2 1 0l x y− − = 的交点为 P ． (1)若直线 l 过点 P 且与直线 2 1 0x y+ − = 平行，求直线 l 的一般式方程； (2)若圆C 过点 ( 2,5)− 且与 1l 相切于点 P ，求圆C 的标准方程． 【解】（1）联立方程组 3 9 0 2 1 0 x y x y + − =  − − = ，解得 2 3 x y =  = ， 试卷第 4 页，共 7 页 所以直线 1 : 3 9 0l x y+ − = 和 2 : 2 1 0l x y− − = 的交点 (2,3)P ． ……2 分 因为直线 l 与直线 2 1 0x y+ − = 平行，故可设直线 1: 2 0l x y c+ + = ． ……3 分 又直线 l 过点 P ，则 12 6 0c+ + = ，解得 1 8c = − ， ……4 分 即直线 l 的方程为 2 8 0x y+ − = ． ……5 分 （2）设所求圆的标准方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = ， 直线 1 : 3 9 0l x y+ − = 的斜率为 3− ，故直线 CP的斜率为 1 3 ， 由题意可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 5 2 3 3 1 2 3 a b r a b r b a  − − + − =  − + − =  −  = − ，解得 2 1 2 10 a b r = −  =  = ， ……14分 故所求圆的标准方程为 2 2( 1) ( 2) 10x y+ + − = ． ……15分 18.如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 1 1 2 A B AB= ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， π 3 DAB = ，平面 1 1BDD B ⊥平面 ABCD，点 1O ，O 分别为 1 1B D ，BD 的中点， 1 1O B = ， 1A AB ， 1O BO 均为锐角. (1)求证： 1AC BB⊥ ； (2)若顶点 1A 到底面 ABCD 的距离为 3 2 ，求二面角 1B AA C− − 的平面角的余弦值. 【解】（1）证明：∵底面 ABCD 是菱形，∴ AC BD⊥ ，……1分 又∵平面 1 1BDD B ⊥平面 ABCD，且平面 1 1BDD B 平面 ABCD BD= ， AC 平面 ABCD， ∴ AC ⊥平面 1 1BDD B ， ……4分 又 1BB 平面 1 1BDD B ，∴ 1AC BB⊥ . ……6分 （2）因为平面 1 1BDD B ⊥平面 ABCD，平面 1 1BDD B 平面 ABCD BD= ，作 1 1O H BD⊥ ， 1 1O H 平面 1 1BDD B ，所以 1 1O H ⊥平面 ABCD， ……7分 如图，以 O 为坐标原点，OB 所在直线分别为 x 轴， 过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， …………8分 试卷第 5 页，共 7 页 ∵ 1 1O H ⊥平面 ABCD，∴ 1O 到底面 ABCD 的距离为 3 2 ， ∴ 1 1 3 2 O H = ，在△ 𝑂1𝐻1𝐵， 1O BO 为锐角，因为 1 1O B = ， 1 1 90O H B = ， 所以 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 2 2 BH O B O H   = − = − =     ， ……10分 又因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， π 3 DAB = ，所以 1 2, 1 2 DB OB DB= = = ， 则 1 1 2 OH = ， 1 11 1 3 2tan 3 1 2 O H O BO H B  = = = ，所以 1 60O BO = ， ……11分 又 1 1OB O B= = ，∴△ 𝐵𝑂𝑂1为等边三角形，故 1 1OO = ， 在空间直角坐标系中 ( )3,0,0A ， ( )0,1,0B ， ( )3,0,0C − ， 因为 1 1 1 2 A B AB= ，所以 1A 的横坐标长度为 1 3 2 2 AO = ， 1A 的纵坐标长度为 1 1 2 OH = ， 所以 1 3 1 3 , , 2 2 2 A        ， ……13分 则 1 3 1 3 , , 2 2 3 AA   = −     ， ( )3,1,0AB = − ， ( )2 3,0,0AC = − ， 设平面 1ABA 的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 则 1 3 1 3 0 2 2 2 3 0 m AA x y z m AB x y   = − + + =    = − + = ，取 1x = ，得 ( )1, 3,0m = ， ……15分 设平面 1ACA 的法向量为 ( ), ,n a b c= ， 则 1 3 1 3 0 2 2 2 2 3 0 n AA a b c n AC a   = − + + =    = − = ，取 1c = ，得 ( )0, 3,1n = − ， ……16分 3 3 cos , 2 2 4 m n m n m n  − = = = −  ， 由图得二面角 1B AA C− − 为锐角，故二面角 1B AA C− − 的平面角的余弦值为 3 4 .……17分 试卷第 6 页，共 7 页 19．已知椭圆𝐶: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左､右焦点分别为𝐹1和𝐹2，焦距为 2.动点𝑀(𝑥0, 𝑦0) 在椭圆𝐶上，当线段𝑀𝐹2的中垂线经过𝐹1时，有cos∠𝑀𝐹2𝐹1 = √2−1 2 . (1)求椭圆𝐶的标准方程； (2)如图，过原点𝑂作⊙ 𝑀: (𝑥 − 𝑥0) 2 + (𝑦 − 𝑦0) 2 = 2 3 的两条切线，分别与椭圆𝐶交于点𝑃和 点𝑄，直线𝑂𝑃､𝑂𝑄的斜率分别记为𝑘1､𝑘2.当点𝑀在椭圆上运动时， ①证明：𝑘1 ⋅ 𝑘2恒为定值，并求出这个值；1 ②求四边形𝑂𝑃𝑀𝑄面积的最大值. 【答案】(1) 𝑥2 2 + 𝑦2 = 1 (2)①证明见解析，− 1 2 ；②√6 【解】（1）取𝑀𝐹2的中点记为𝑁，连结𝑁𝐹1. 在Rt △ 𝐹1𝑁𝐹2中，|𝐹1𝐹2| = 2,cos∠𝑁𝐹2𝐹1 = √2−1 2 ， 所以|𝑁𝐹2| = √2 − 1， ……2分 则2𝑎 = |𝑀𝐹1| + |𝑀𝐹2| = |𝐹1𝐹2| + 2|𝑁𝐹2| = 2√2， 即𝑎 = √2, ……3分 ∵ 𝑐 = 1, ∴ 𝑏 = 1， ……4分 所以椭圆方程为 𝑥2 2 + 𝑦2 = 1. ……5分 （2）①直线𝑂𝑃: 𝑦 = 𝑘1𝑥与⊙ 𝑀相切，则 |𝑘1𝑥0−𝑦0| √𝑘1 2+1 = 𝑟 ⇔ (𝑥0 2 − 𝑟2)𝑘1 2 − 2𝑥0𝑦0𝑘1 + 𝑦0 2 − 𝑟2 = 0； ……6分 直线𝑂𝑄: 𝑦 = 𝑘2𝑥与⊙ 𝑀相切，同理有(𝑥0 2 − 𝑟2)𝑘2 2 − 2𝑥0𝑦0𝑘2 + 𝑦0 2 − 𝑟2 = 0； ……7分 则𝑘1､𝑘2是关于𝑥的方程(𝑥0 2 − 𝑟2)𝑥2 − 2𝑥0𝑦0𝑥 + 𝑦0 2 − 𝑟2 = 0的两根， ……9分 由韦达定理知𝑘1𝑘2 = 𝑦0 2−𝑟2 𝑥0 2−𝑟2 = 1− 𝑥0 2 2 − 2 3 𝑥0 2− 2 3 = − 𝑥0 2 2 + 1 3 𝑥0 2− 2 3 = − 1 2 ……11分 试卷第 7 页，共 7 页 （注：上式中，先由 𝑥0 2 2 + 𝑦0 2 = 1消去的𝑦0，再代入𝑟 2 = 2 3 ） ②法一：由①问知𝑘2 = − 1 2𝑘1 ，如图，设𝑃(𝑥1, 𝑦1), 𝑄(𝑥2, 𝑦2)， 由{ 𝑦1 = 𝑘1𝑥1 𝑥1 2 2 + 𝑦1 2 = 1 ⇒ 𝑥1 2 = 2 2𝑘1 2+1 ⇒ 𝑂𝑃 = √𝑥1 2 + 𝑦1 2 = √(1 + 𝑘1 2)𝑥1 2 = √ 2𝑘1 2+2 2𝑘1 2+1 ， 同理可得|𝑂𝑄| = √ 2𝑘2 2+2 2𝑘2 2+1 = √ (2𝑘2 2+2)⋅𝑘1 2 (2𝑘2 2+1)⋅𝑘1 2 = √ 4𝑘1 2+1 2𝑘1 2+1 ， 𝑆𝑂𝑃𝑀𝑄 = 𝑆△𝑂𝑃𝑀 + 𝑆△𝑂𝑄𝑀 = 1 2 𝑟(𝑂𝑃 + 𝑂𝑄) = √6 6 ⋅ √2𝑘1 2+2+√4𝑘1 2+1 √2𝑘1 2+1 . ∵ (√2𝑘1 2 + 2 + √4𝑘1 2 + 1) 2 ≤ 2 ((√2𝑘1 2 + 2) 2 + (√4𝑘1 2 + 1) 2 ) = 6(2𝑘1 2 + 1)， ∴ √2𝑘1 2+2+√4𝑘1 2+1 √2𝑘1 2+1 ≤ √6， ∴当√2𝑘1 2 + 2 = √4𝑘1 2 + 1，𝑘1 = ± √2 2 时，(𝑆𝑂𝑃𝑀𝑄)max = 1. ……17分 法二：由①问知𝑘2 = − 1 2𝑘1 ，如图，设𝑃(𝑥1, 𝑦1), 𝑄(𝑥2, 𝑦2)， 由{ 𝑦1 = 𝑘1𝑥1 𝑥1 2 2 + 𝑦1 2 = 1 ⇒ 𝑥1 2 = 2 2𝑘1 2+1 ⇒ 𝑂𝑃 = √𝑥1 2 + 𝑦1 2 = √(1 + 𝑘1 2)𝑥1 2 = √ 2𝑘1 2+2 2𝑘1 2+1 ， 同理可得|𝑂𝑄| = √ 2𝑘2 2+2 2𝑘2 2+1 = √ (2𝑘2 2+2)⋅𝑘1 2 (2𝑘2 2+1)⋅𝑘1 2 = √ 4𝑘1 2+1 2𝑘1 2+1 ， ∴ |𝑂𝑃|2 + |𝑂𝑄|2 = 2𝑘1 2+2+4𝑘1 2+1 2𝑘1 2+1 = 3(定值）， ∵ (∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣)2 ≤ 2(|𝑂𝑃|2 + |𝑂𝑄|2) = 6 ∴ (∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣)max = √6. 当√2𝑘1 2 + 2 = √4𝑘1 2 + 1，即𝑘1 = ± √2 2 时，等号成立.∵𝑆四边形𝑂𝑃𝑀𝑄 = 𝑆△𝑂𝑃𝑀 + 𝑆△𝑂𝑄𝑀 = 1 2 𝑟(∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣)， ∴ (𝑆四边形𝑂𝑃𝑀𝑄) max = 1. 法三：设 ( )1 1,P x y ， ( )2 2,Q x y ，因为2𝑘1𝑘2 + 1 = 0，所以𝑦12𝑦22 = 1 4 𝑥1 2𝑥2 2， 因为 ( )1 1,P x y ， ( )2 2,Q x y 在椭圆 C 上，所以𝑦12𝑦22 = (1 − 𝑥1 2 2 ) (1 − 𝑥2 2 2 ) = 1 4 𝑥1 2𝑥2 2 整理得𝑥1 2 + 𝑥2 2 = 2，所以𝑦1 2 + 𝑦2 2 = 1，所以|𝑂𝑃|2 + |𝑂𝑄|2=𝑥1 2 + 𝑥2 2 + 𝑦1 2 + 𝑦2 2 =3（定值） 所以(∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣)2 ≤ 2(|𝑂𝑃|2 + |𝑂𝑄|2) = 6，∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣≤ √6,所以𝑆四边形𝑂𝑃𝑀𝑄 = 𝑆△𝑂𝑃𝑀 + 𝑆△𝑂𝑄𝑀 = 1 2 𝑟(∣ 𝑂𝑃 ∣ +∣ 𝑂𝑄 ∣) ≤ 1 2 · √ 2 3 · √6 = 1,即(𝑆四边形𝑂𝑃𝑀𝑄) max = 1. 试卷第 1 页，共 4 页 深圳高级中学 2024-2025 学年第一学期期中考试 高二数学 命题人：胡婷婷 审题人：王会丹 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 2024 年 11 月 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知 ，是两个不同的平面， l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A．若 / / ， l  ，m  ，则 //l m B．若 ⊥ ， l  ，则 l ⊥ C．若 l ⊥ ， ⊥ ，则 //l  D．若 l ∥ ，m ⊥ ，则 l m⊥ 2．圆 2 2 1 : ( 2) ( 1) 3C x y− + + = 与圆 2 2 2 : ( 1) 3C x y+ − = 的位置关系是（ ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 3．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c= = = ，点M 在OA上，且 2 3 OM OA= ，点 N 为 BC中点，则MN 等于（ ） A． 1 1 1 2 2 2 a b c+ − B． 2 1 1 3 2 2 a b c− + + C． 2 2 1 3 3 2 a b c+ − D． 2 2 1 3 3 2 a b c− + − 4．若直线3 4 2 0x y− − = 与直线6 5 0x my+ + = 平行，则这两条直线间的距离为（ ） A． 1 10 B． 9 10 C． 3 5 D． 7 5 5．如图，在四棱锥P ABCD− 中，底面 ABCD是边长为 a的正方形，PA⊥平面 ABCD．若 PA a= ，则直线 PB 与平面PCD所成的角的大小为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 6．圆 2 2 2 4 6 0x y mx my+ + + + = 关于直线 3 0mx y+ + = 对称，则实数m =（ ） A．1 B．-3 C．1 或-3 D．-1 或 3 7．某圆锥母线长为 6 ，底面半径为 2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最 大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（ ） A．1:1 B．1: 2 C．1: 3 D．1: 5 试卷第 2 页，共 4 页 8．已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作直线 l 与椭圆 C 相 交于M，N两点，∠MF2N＝90°，且 4|F2N|＝3|F2M|，则椭圆的离心率为( ) A. 5 5 B. 1 2 C. 3 3 D. 1 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得 部分分，有选错的得 0分. 9.关于方程 2 2 1mx ny+ = ，下列说法正确的是（ ） A．若 0m n  ，则该方程表示椭圆，其焦点在 y轴上 B．若 0m n=  ，则该方程表示圆，其半径为 n C．若 0n m  ，则该方程表示椭圆，其焦点在 x轴上 D．若 0, 0m n=  ，则该方程表示两条直线 10.已知圆 C：(x－2)2＋y2＝1，点 P 是直线 l：x＋y＝0 上一动点，过点 P 作圆的切线 PA， PB，切点分别是 A和 B，则下列说法错误的是( ) A．圆 C上恰有一个点到直线 l的距离为 1 2 B．切线|PA|长的最小值为 1 C．四边形 ACBP面积的最小值为 2 D．直线 AB恒过定点   3 2 ，－ 1 2 11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，点 Q 为线段𝐵𝐵1的中点，动点 P 满足 1AP AC AD = + ，其中 (0,1) ， (0,1) ，则( ) A． 1AP B D⊥ B．平面 1 1ABC ∥平面 ACP C．存在点 P，使得 1 2 DP = D．当 1 + = 时，平面 QCP截正方体的截面积为 9 8 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若椭圆 C： x2 4 ＋ y2 3 ＝1，则该椭圆的焦点到短轴端点的距离为 ． 13．若直线(m＋1)x＋my－2m－1＝0与圆 x2＋y2＝3 交于 M，N 两点，则弦长|MN|的取值范 围为________． 试卷第 3 页，共 4 页 14. 在正方形 ABCD中，E，F分别为线段 AB，BC的中点，连接 DE，DF，EF，将△ADE， △CDF，△BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使 A，B，C 三点重合，得到三棱锥 O－DEF， 则该三棱锥的外接球半径 R与内切球半径 r的比值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为 4，短轴长为 2，焦点在 y轴上； (2)过点 ( )3,0 ，离心率 6 3 e = . 16．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 1AB AD AA= = = ， 1 1 60A AB A AD BAD = = =  . （1）求证：四边形 1 1BDD B 为正方形； （2）求体对角线 1AC 的长度. 17.已知两直线 1 : 3 9 0l x y+ − = 和 2 : 2 1 0l x y− − = 的交点为 P ． (1)若直线 l 过点 P 且与直线 2 1 0x y+ − = 平行，求直线 l 的一般式方程； (2)若圆C 过点 ( 2,5)− 且与 1l 相切于点 P ，求圆C 的标准方程． 试卷第 4 页，共 4 页 18.如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 1 1 2 A B AB= ，底面 ABCD是边长为 2 的菱形， π 3 DAB = ，平面 1 1BDD B ⊥平面 ABCD，点 1O ，O分别为 1 1B D ，BD的中点， 1 1O B = ， 1A AB ， 1O BO 均为锐角. (1)求证： 1AC BB⊥ ； (2)若顶点 1A 到底面 ABCD的距离为 3 2 ，求二面角 1B AA C− − 的平面角的余弦值. 19．已知椭圆𝐶: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左､右焦点分别为𝐹1和𝐹2，焦距为 2.动点 𝑀(𝑥0, 𝑦0)在椭圆𝐶上，当线段𝑀𝐹2的中垂线经过𝐹1时，有cos∠𝑀𝐹2𝐹1 = √2−1 2 . (1)求椭圆𝐶的标准方程； (2)如图，过原点𝑂作⊙𝑀: (𝑥 − 𝑥0) 2 + (𝑦 − 𝑦0) 2 = 2 3 的两条切线，分别与椭圆𝐶交于点𝑃 和点𝑄，直线𝑂𝑃､𝑂𝑄的斜率分别记为𝑘1､𝑘2.当点𝑀在椭圆上运动时， ①证明：𝑘1 ⋅ 𝑘2恒为定值，并求出这个值； ②求四边形𝑂𝑃𝑀𝑄面积的最大值.