山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 第 1页，共6页 １.【答案】A 【详解】 3 tan 60 3 0 3 3 0 3 3 x y x y y x− − =  − − =  = − ， 由此可知该直线的斜率为 3 3 ，所以直线的倾斜角为30 ２.【答案】C， 【分析】对于 A，举反例排除即可；对于 BC，利用空间向量判断线面关系即可；对于 D，根据空间 中点到直线的距离公式求解判断即可.【详解】对于 A，若 a 为非零向量，且与b 不共线，而b 与 c 共 线，则不存在实数 x ， y ，使a xb yc= + 成立，故 A 错误；对于 B，由于 1 0 1 0a m = + − = ，则 a m⊥ ，所以 / /a 或a  ，故 B 错误；对于 C，因为 (1,2, 2)AB = − ， 1 ,0,1 2 AC   = −    ，所以 (1,2, 2)a AB= = − ， 2 5 5 2 5 ,0, 5 5 5 AC u AC AC   = = = −     ，所以 2 9a = ， 5 4 5 0 5 5 5 a u = − + − = − ， 所以点 B 到直线 AC 的距离为 ( ) 22 9 5 2a a u−  = − = ，故 C 正确.对于 D，由于 1 0 1 0n m = − + + = ， 则 n m⊥ ，所以 / /l  或 l  ，故 D 错误；故选：C。 ３．【答案】Ｄ， 【分析】根据对立事件的概念判断 A，根据互斥事件的概率加法公式判断 B，根据独立事件的定义及 概率公式判断 C、D.【详解】对于 A，若 ,A B是对立事件，则 ( ) 0P AB = ，A 错误；对于 B，若 ,A B 是互斥事件， 1 1 ( ) , ( ) 3 2 P A P B= = ，则 ( ) ( ) ( ) 5 6 P A B P A P B+ = + = ，B 错误；对于 C，若 ,A B是独立事 件，则 ,A B是独立事件，而 1 2 ( ) , ( ) 3 3 P A P B= = ，则 2 ( ) ( ) ( ) [1 ( )] [1 ( )] 9 P AB P A P B P A P B= = −  − = C 错误；对 于 D， 1 1 ( ) , ( ) 3 2 P A P B= = ，则 2 ( ) 1 ( ) 3 P A P A= − = ， 1 ( ) 1 ( ) 2 P B P B= − = ，又 1 ( ) ( ) ( ) 3 P AB P A P B= =  ， 则 ,A B是独立事件，，D 正确.故选：Ｄ ４．【答案】C， 【详解】如图所示. 设与直线 l 行且与直线 l 之间的距离为 1 的直线方程为 4 3 0x y c− + = ，则 2 2 10 1 4 ( 3) c + = + − ，解得 5c = − 或 15c = − ，圆心 ( )1 1,2C − 到直线4 3 5 0x y− − = 的距离 为 1 2 2 4 6 5 3 4 ( 3) d − − − = = + − ，圆 ( )1 1,2C − 到直线4 3 15 0x y− − = 的距离为 2 2 2 4 6 15 5 4 ( 3) d − − − = = + − ，由图可知， 圆 1C 与直线4 3 5 0x y− − = 相交，与直线4 3 15 0x y− − = 相离，所以 1 2d r d  ，即3 5r  .故选：C ５．C， 【分析】由均值和方差公式直接计算．【详解】可估计全班学生数学的平均分为 3 2 80 75 78 5 5  +  = ， 方差为 2 23 24 (80 78) 2 (75 78) 9.2 5 5    + − + + − =    .故选：C. ６．【答案】D， 【详解】圆 ( ) ( ) 2 2 1 : 1 8 1C x y− + − = ，则圆心 ( )1 1,8C ， 1r = ，圆 ( ) ( ) 2 2 2 : 5 5 4C x y− + − = ，则圆心 ( )2 5,5C ， 2R = ，两圆心在直线 l的同 侧．又圆心 ( )1 1,8C 到直线 l的距离 1 1 8 1 4 2 1 2 d + − = =  ，圆心 ( )2 5,5C 到直 线 l的距离 2 5 5 1 9 2 2 22 d + − = =  ，则两圆在直线 l 的同侧且与直线相离，如图所示，圆心 ( )1 1,8C 关于直 线 : 1 0l x y+ − = 的对称点为 ( )7,0E − ，所以 ( ) ( )2 21 2 2 2 7 5 0 5 13PC PC PE PC EC+ = +  = − − + − = ，当且仅 当 2C 、 P 、E三点共线时等号成立；即 PM PN+ 的最小值为 2 13 2 1 10EC R r− − = − − = .故选：D． ７.【答案】D 【详解】 高二数学 第 2页，共6页 E 为 MN 的中点，即 2 2MNOE b k k a = − ，得 2 2 2 OE b k a  = − ，所以 2 2 2 2 OM b k a = − ，F(c, 0)， ( )0,A b ，由 F 恰 好为 AMN△ 的重心，则 2AF FE= ， 3 ( , ) 2 2 c b E − ，所以 2 2 2 2 3 b b a c − = − ，则 22 3 2a bc= ，平方后得 ( )4 2 2 2 2 22 9 9a b c a c c= = − ， 4 2 2 49 9 2 0c a c a− + = ，即 ( )( )4 2 2 29 9 2 0 3 1 3 2 0e e e e− + =  − − = ， 解得： 3 3 e = 或 6 3 e = ，由条件c b ，所以 6 3 e = .故选：D ８.【答案】B 【解答过程】由y = kx + m(km ≠ 0)，得A(− m k , 0), B(0,m)，由|AB| = 2√2，得(− m k )2 + m2 = 8， 由CA ⊥ CB，得AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0，设C(x, y) ，则(x + m k , y) ⋅ (x, y − m) = 0，即(x + m 2k )2 + (y − m 2 )2 = m2 4k2 + m2 4 = 2，因此点 C的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为(x′, y′) ，即有x′ = − m 2k , y′ = m 2 ，则 m k = −2x′, m = 2y′代入(− m k )2 + m2 = 8，整理得：x′2 + y′2 = 2 ，即 C轨迹的圆心在圆x′2 + y′2 = 2上 （除此圆与坐标轴的交点外）， 点D(2,2)与圆x′2 + y′2 = 2上点(−1,−1)连线的距离加上圆C的半径即 为点C到点D(1,1)的距离的最大值，所以最大值为√[2 − (−1)]2 + [2 − (−1)]2 + √2 = 4√2.故选：B. 9．AC， 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率 公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6 6 36 = 个； 其中事件 A =“ 7x y+ = ”包含的样本点有： ( )1,6 ， ( )2,5 ， ( )3,4 ， ( )4,3 ， ( )5,2 ， ( )6,1 共6 个； 事件B = “ 3x  ”，包含的样本点有： ( )1,1 ， ( )1,2 ， ( )1,3 ， ( )1,4 ， ( )1,5 ， ( )1,6 ， ( )2,1 ， ( )2,2 ， ( )2,3 ， ( )2,4 ， ( )2,5 ， ( )2,6 ， ( )3,1 ， ( )3,2 ， ( )3,3 ， ( )3,4 ， ( )3,5 ， ( )3,6 共18个， 事件 C = “ mod5 1xy  ”，包含的样本点有： ( )1,1 ， ( )1,6 ， ( )2,3 ， ( )3,2 ， ( )4,4 ， ( )6,1 ， ( )6,6 ，共 7 个，对于 A， ( ) 7 36 P C = ，故 A 正确；对于 B， A C 包含的样本点 ( )1,6 ，所以A 与C 不为对立事件，故 B 错误；对于 C，事件 AB 包含的样本点有 ( )1,6 ， ( )2,5 ， ( )3,4 共 3 个，所以 ( ) ( ) ( ) 6 1 18 1 3 1 , , 36 6 36 2 36 12 P A P B P AB= = = = = = ，所以 ( ) ( ) ( )P A P B P AB= ，所以A 与 B 相互独立， 故 C 正确；对于 D，事件BC 包含的样本点有： ( )1,1 ， ( )1,6 ， ( )2,3 ， ( )3,2 共 4 个，而 ( ) 7 36 P C = ， ( ) 1 2 P B = ， ( ) 4 1 36 9 P BC = = ，从而 ( ) ( ) ( ) 7 72 1 9 P P P CBC B= = ，所以 B 与C 不相互独 立，故 D 错误.故选：AC. １０.【答案】ABC， 【分析】通过建立空间的一组基底{ }, ,a b c ，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积 的运算律求模长判断 A 项；利用空间向量的夹角公式计算判断 B 项；利用向量的数量积是否为 0 判 断 C 项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断 D 项.【详解】不妨设 1, , ,AB a AD b AA c= = = 则 1 | | | | | | 1, 2 a b c a b b c a c= = =  =  =  = .对于 A，因 1 1BD BD DD b a c= + = − + , 故 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 | | | | 2BD b a c a b c a b b c a c= − + = + + + −  +  −  1 3 2 2 2   = +  − =    ，故 1 2BD = ，故 A 正 确；对于 B，因 1BD a b c= − + + ， AC a b= + ,则 2| | ( ) 3AC a b= + = ， 1 ( ) ( )AC BD a b a b c = +  − + + 2 2| | | |a a b a c a b b b c= − +  +  −  + +  1 1 1 1 1 2 2 = − + + + = ，设直线 1BD 与 AC 所成角为 ，则 1 1 | | 1 6 cos , 6| | | | 3 2 AC BD AC BD   = = =   故 B 正确；对于 C，；对于 D，因 1 1 1 1 1 2 , , 3 A E AC C E a b c DD c= + = + − = 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) | | 0 3 3 2 2 3 3 A E DD a b c c a c b c c = + −  =  +  − = + − =  ，即 1A E与 1DD 不垂直，故 1A E不与平面 1 1BDD B 垂直，故 D 错误故选：ABC. 11.【答案】ACD 【详解】 对于 A：设动圆 M的半径为 r ，由条件得 1 25 , 1MC r MC r= − = + ，则 1 2 1 26 4MC MC C C+ =  = ，去 掉 , ,E F M 重合的点），则圆心M 的轨迹方程为 2 2 1 9 5 x y + = ）（ 3−x ，故 A正确； 高二数学 第 3页，共6页 对于B：由图可知 EMF 与 1 2C MC 互补，当M 点为椭圆短轴端点时， 1 2C MC 最大， EMF 最 小，即cos EMF 的最大， 1 2cos cos 9 9 16 1 2*3*3 9 C MM CE F + −  = − = −= − 故 B错误； 对于 C.， ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 5 1 2 2 2 2 2 r r EM MC FM MC r r r r r r= + −   +  − − + = −   =    当且仅当 1r = 时等号 成立，故 C正确； 对于 D：设点 ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2 1, ,F , ,E , ,CM x y x y x y ( ) ( )22,0 ,C 2,0− ， 当切线斜率不存在时，垂直； 当切线斜率存在时，则过点M(x0, y0)的椭圆的切线方程为 0 0 9 5 1 x x y y + = ，切线斜率为 0 0 5 9 x y − ， 又 1 1 , 5 FMr r F E EC C M = = ，所以 1 2, 5 r ME EC MF rFC= − = ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 0 2 2 1 0 1 0 1 1, 2 , , , 2 , , 5 r x x y y x y x x y y r x y− − = − − − − − = − − − 解得 0 0 2 1 0 0 2 1 5 2 2 5 1 , 5 5 1 x r x r x x r r y y y y r r − − = =  − +    = =  − + ，所以 02 1 2 1 0 3 4 3 2 MN yy y k x x x r − = = − + − ， 又 ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 01 2 1 4 4 5 1 1 9 x r MC x y x x   = − = + + − = + + + − −    2 0 0 2 2 3 1 3 1 3 3 x x   = + − = + −    ， 因为 03 3x−   ，所以 0 2 2 3 r x= + ，所以 0 0 9 5 EF y k x = ，所以 0 0 0 0 5 9 1 9 5 x y y x −  = − ，即曲线C 在点M 处的切线 与线段EF 垂直，故 D 正确. 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分. 12.【答案】4， 【详解】由圆 1C ： 2 2 4 5 0x y x+ − − = 与圆 2C ： 2 2 2 3 0x y y+ − − = ， 两圆相减得公共弦𝐴𝐵所在直线方程为：2 1 0x y− + = ，有圆 1C ： ( ) 2 22 9x y− + = ，可得圆心 ( )1 2,0C ，半径 1 3r = ，所以圆心 1C 到直线𝐴𝐵的距离 2 2 4 0 1 5 2 1 d − + = = + ，所以 2 2 2 12 2 3 5 4AB r d= − = − = １３.【答案】３, 【详解】由条件先证明 APB EPD∽ ，结合面积关系可得 AP＝２DP，在平面 1 1ADD A 上建立平面直角坐标系，确定点 P 的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥 P ABE－ 体积的最大值.【详解】由已知 AB ⊥平面 1 1ADD A ， AP 平面 1 1ADD A ，所 以 AB AP⊥ ,因为DE ⊥平面 1 1ADD A ，DP平面 1 1ADD A ，所以DE DP⊥ ，所以 90BAP EDP = = ，又 APB DPE = ，所以 APB DPE∽ ，又 APB△ 的面积是 DPE面积的４ 倍，可得 AP＝２DP. 14. 【答案】 ( )0,2 2 2− 【详解】 设点 2 2 ( , ), 0, 0, , F M P m n m n y F P   = 由题， ( ) ( ) ( )1 2 21,0 1,0 1,F F F P m n− = −， ， ，设 ( ) ( )2, , 1,M M M MM x y F M x y= − ,则 22F M yF P= ，可得 ( )( )1 1,M y m ny− + ，则 ( )( )1 1 2,F M y m ny= − + ，由 1 0F M OP = ，可得： ( ) 2 2 2 2 1 2 0, m my m m n y y m m n − − + + = = − + ，又 P 在椭 圆上，则 2 2 1 2 m n = − ，所以 ( )2 4 , 2,0 2 2 m y m m m  − +− − = ， 4 , 2 2 ( ) y m m = − + 且 2 m m + 在 ( )2,0− 单调递 减， 所以 4 , 2 2 ( ) y m m = − + 在 ( )2,0− 单调递减， 0m→ 时， 0y → ， 2m = − 时， 2 2 2y = − ，故 ( )0,2 2 2y − ，故答案为： ( )0,2 2 2− . 高二数学 第 4页，共6页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1５．(1) 1000n = , 0.002t = ；(2) 29 45 . 【分析】（1）由题意，根据调查评分在[70 ,80)中的市民人数以及频率，列出等式即可求出n 的值，根 据频率之和为 1，列出等式即可求出 t 的值；（2）根据频率分布直方图所给信息以及分层抽样的定义 得到调查评分在[40 , 50) 和 [50 , 60) 所抽取的人数，结合相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率 进行求解即可．【详解】（1）易知调查评分在[70 ,80)中的市民有 200 人， 而评分在[70 ,80)中的频率为10 0.020 0.2 = ，所以 200 1000 0.2 n = = ， 而10( 0.004 7 0.020 0.035 0.025) 1t t+ + + + + = ，解得 0.002t = . （2）因为评分在[40 , 50) 中的人数是评分在[50 , 60) 中人数的一半， 若通过分层随机抽样抽取 3 人进行心理疏导，此时评分在[40 ,50) 内的有 1 人，在[50 , 60) 内的有 2 人， 记“在抽取的 3 人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为 B ”为事件A ， 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以 4 2 2 16 ( ) 5 3 3 45 P A =   = ，故 ( ) 16 29 1 ( ) 1 45 45 P A P A= − = − = 则在抽取的 3 人中，经心理疏导后至少一人的心理等级转为 B 的概率为 29 45 . １６．【详解】（1）由题意，设圆C 的标准方程为 2 2 2( )x y a r+ − = ，代入点 (2, 0), (1, 3)A B ，解之得 1, 5a r= = ，故圆C 的标准方程为 2 2( 1) 5x y+ − = ． （2）解法一：由 (2, 0)A ， (1, 3)B 可得斜率为 3 0 3 1 2 k − = = − − ，故直线 AB的方程为 2 23 6 0, (2 1) (0 3) 10x y AB+ − = = − + − = ，由 5ABPS = 得点 P 到直线 AB的距离 2 5 10 10 d  = = ，设 0 0( , )P x y ，则 ( ) 0 0 22 0 0 3 6 10 10 1 5 x y x y  + − =   + − = ，解得 0 2 2 x y = −  = 或 0 0 1 1 x y = −  = − ，即 ( 2, 2)P − 或 ( 1, 1)P − − ， 解法二：因为直线 AB的斜率 3 0 3 1 2 ABk − = = − − ，所以直线 AB 的方程为 3 6y x= − + ，即3 6 0x y+ − = ， 2 2(2 1) (0 3) 10AB = − + − = ，设点 P 到直线 AB 的距离为d ，则由 5ABPS = 得 2 5 10 10 d  = = ，则将 直线 AB沿着与 AB垂直的方向平移 10 个单位即可，此时该平行线与圆的交点即为点 P ，设该平行 线的方程为3 0x y C+ + = ， 则 6 10 10 C + = ，解得 4C = 或 16C = − ，当 4C = ，联立 ( ) 22 1 5 3 4 0 x y x y  + − =  + + = ，解得 1 1 x y = −  = − 或 2 2 x y = −  = ， 即 ( 2, 2)P − 或 ( 1, 1)P − − 解法三：同解法一得到直线 AB的方程为3 6 0x y+ − = ，点 P 到直线 AB 的距离 2 5 10 10 d  = = ， 设 ( 5 cos ,1 5 sin )P  + ，其中 [0, 2π)  ，则有 3 5 cos 1 5 sin 6 10 10  + + − = ， 联立 2 2cos sin 1 + = ，解得 5 cos 5 2 5 sin 5    = −    = −  或 2 5 cos 5 5 sin 5    =    =  ，即 ( 2, 2)P − 或 ( 1, 1)P − − 当 ( 1, 1)P − − 时，直线 AP 的方程为 3 2 0x y− − = ， 当 ( 2, 2)P − 时，直线 AP的方程为 2 2 0x y+ − = １７．【答案】(1)证明见解析(2) 7 72 (3) 2【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得 SO ⊥面 ABCD，即 SO AC⊥ ，从而利用线面垂直的判定定理可得 AC ⊥面SBD，由此得 AC SD⊥ ； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长 度，从而得到各点的坐标，再求出 SC 与平面 ACP的一个法向量为n，利用向量的数量积运算即可求 得直线 SC与平面 ACP所成角的正弦值；（3）假设存在，且EC SC= ，由此求得 ( )1,1 , 3BE  = − − ，再由 / /BE 平面 PAC得 0BE n = ，从而求得，由此可得 SE EC 的值.【详解】 （1）连结BD AC O = ，连结 SO，如图，因为四棱锥S ABCD− 是正四棱锥，所以 SO ⊥面 ABCD， 高二数学 第 5页，共6页 又 AC 面 ABCD，所以 SO AC⊥ ，在正方形 ABCD中，BD AC⊥ ，又 ,SO BD O SO BD = 、 面 SBD，所以 AC ⊥面 SBD，因为 SD 面 SBD，所以 AC SD⊥ . （2）由（1）知 , ,BD AC SO两两垂直，以O为坐标原点，以 , ,OB OC OS 为 , ,x y z轴建立空间直角坐标 系，则由平面几何知识易知， 2 21 1 1 2 2 OA OB OC OD BD AB BC= = = = = + = ， 2 2 3SO SB OB= − = ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 3 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,0 , 1,0,0S B C A D− − ，则 ( )0,2,0AC = ， ( )0,1, 3SC = − ， 因为 3SP PD= ，所以 ( ) 1 1 1 3 1,0, 3 ,0, 4 4 4 4 PD SD   = = − − = − −     ，故 ( ) 1 3 3 3 ,0, 1,1,0 ,1, 4 4 4 4 PC PD DC     = + = − − + = −           ，设平面 ACP的一个法向量为 ( ), ,n x y z= ，则 0 0 AC n PC n   =   = ，即 2 0 3 3 0 4 4 y x y z =   + − =  ，令 1x = ，则 0, 3y z= = ，故 ( )1,0, 3n = ，同理面 SBC 的法向 量 ) 3 3 ,1,1(m = ，设面 SBC与平面 ACP所成角为 ，则 7 72 ,cos1sin 2 =−= nm ， 所以面 SBC与平面 ACP所成角的正弦值为 7 72 . （3）假设 SA 上存在点E满足题意，不妨设， SAEA = , ），，（），，（），，（  311310011AEBABE −−−=−−−=+= 则，因为 / /BE 平面 PAC，所以 0BE n = ，即 1 0 3 0− + + = ，故 1 3  = ，所以 SA 3 1 EA = ，则， 所以 EA SE =2 １８．【答案】(1) 2 2 1 2 x y+ = ；(2)定值， 3 2 − ；(3)x=2 【详解】（1）根据题意可得， 1b = ，又 2c=2，则 2 2a = ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y+ = （2）设过点A 的直线为 1 2 y kx= − ，𝑃(𝑥1, 𝑦1)，𝑄(𝑥2, 𝑦2)， ( )0,1A ， 联立 2 2 1 2 1 2 y kx x y  = −   + =  ，消去 y 整理得 ( )2 22 1 2 4 3 0k x kx+ − − = ，易得 0  ， 则 1 2 2 2 1 2 k x x k + = + ， ( ) 1 2 2 3 2 1 2 x x k = − + ， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 AP AQ kx kx y y k k x x x x    − − − −  − −    =  = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 9 3 32 4 2 1 2 2 2 k x x k x x k k k x x − + + = = + − + = − . 所以直线 BM 与直线BN 的斜率之积为定值 3 2 − . （3） 由题意可知：直线 l的斜率不为 0，设直线CD的方程为 1x my= + ，与E的方程联立得 2 2 1 1 2 x my x y = +   + =  ，消去 x 可得 ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = ，设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y ，则 1 2 2 2 2 m y y m + = − + ， 1 2 2 1 2 y y m = + ， 即 ( )1 2 1 22my y y y= − + ，直线 1 2 1 : ( 2) 2 y A C y x x = − − ，直线 2 1 2 : ( 2) 2 y A D y x x = + + ， 联立上述两方程消去 y 可得 1 2 1 2 ( 2) ( 2) 2 2 y y x x x x − = + − + ，整理得 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 2 2 2y x y x x y x y x + − − = + + −  ，因为 1x my= + 即可得 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( 2)2 2 2 2 (( 2 1) 2 1) my y y y x y y + − ++ − + − = ，由 ( )1 2 1 22my y y y= − + ，得， 高二数学 第 6页，共6页 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 2 2 2 2 2 2 ( 2 1) 2 1) ) ( ) ( 2) (2 ) ( 2 1 (2 2 ) ) ( 1 2 ( 2 ) y y y y y y x y y y y + + + ++ − + − + − + − = = = + + 综上所述，动点G 在定直线 x=2 上． 19.【答案】(1)13 3 ，(2)（i）定点 ），（ 0 5 14 证明见详解；（ii） 2 61 2 5 + 【详解】（1）由椭圆定义可知 1 2 2AF AF a+ = ，|𝐵𝐹1| + |𝐵𝐹2| = 2𝑎，所以 2ABF△ 的周长为 284 =a ，所以 22=a ，又因为椭圆离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a = ，所以椭圆的方程： 1 48 22 =+ yx ，所以椭圆的焦点为𝐹1(−２,0)，𝐹2(２,0)，当点A 为椭圆E的上顶点时，A（０，２）， 所以直线 l的方程为：ｙ＝ｘ＋２，联立 1 48 22 =+ yx 解得 ) 3 2 , 3 8 (B −− ，由对称性知 ) 3 2 , 3 8 (C − ， 以O为坐标原点，折叠后原 y 轴负半轴，原 x 轴，原 y 轴的正半轴所在直线为 , ,x y z轴建立如图空间 直角坐标系， 则 )200(A ，， ， )0,3 8 3 2 (B −， ， )0, 3 8 3 2 (C ， ， ），，（ 2 3 8 3 2 BA −−= ， ），，（ 2 3 8 3 2 CA −= ， 设直线 A C 与 BA 所成角为 ，则 13 3 ,coscos == BACA ， 直线 BA 与 A C 所成角的余弦值为 13 3 . （2）（i）设点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)， ( )3 3,C x y ， ( )4 4,D x y ， 则直线 2AF 的方程为 )2( 2 y 1 1 − − = x x y ，则 2y 2 x 1 1 + − = y x ，联立 1 48 22 =+ yx 得 04 )2(4 ]2 )2( [ 1 12 2 1 2 1 =− − ++ − y y x y y x 所以 3xx412 4 x8)2( 4 2)2( 4 2 )2( 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 31 − = − − = −+− − = +− − = + − − = yy x y yx y y x yy ，故 3x1 1 3 − = y y ， 又， 3x 83 x 1 1 3 − − = x ，同理 3x 2 2 4 − = y y ， 3x 83 x 2 2 4 − − = x ， 同理，由三点共线， 1, ,A F B得， 2x2x 2 2 1 1 + = + yy 所以 212112 22xx yyyy −=− 直线CD的方程为 ) 3x 83x ( x3x y 1 1 34 34 1 1 − − − − − = − − x x yyy 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点 在 x 轴上，令 0y = 得，x 5 14 = ，故直线CD过定点.Q ），（ 0 5 14 （ii）由题意知点 P（0，-2），F2(2,0)，点H 的轨迹为以 F2Q 为直径的圆（除 2 ,F Q外）， 圆心为 ），（ 0 5 12 M ，半径为 5 2 ，故 5 2612 5 2 PM≤PH + =+ . 青岛二中2024-2025学年第一学期期中考试一高二数学试题 时间：120分钟满分：150分 命题人：曹成俊王亮刘美玲刘鑫 审核人：朱军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.已知直线方程为x-ytan60°-3=0，则该直线的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 2.下列四个命题，其中真命题是( A.若向量ā与向量i,c共面，则存在实数x,y,使a=xb+yc B.若直线！的方向向量-公0平面a的法向量为示-(20写》： 则直线l/1a c.者西=2-2.c-（0, 则点B到直线AC的距离为2 D.若直线a的方向向量为a=(1,0,-),平面a的法向量为m=(L,l,),则a⊥a 3设A,B为两个随机事件，以下命题正确的为() A.若A,B是对立率件，则P(AB)=1 B.若A,B是互斥事件，P④=P()-则P4+助=G C若A,B是独立事件，P团=P到=子：则P(-=日 D.若P团=子P回=且P=写则A,B是独立事件 4,若圆C,:(x+1)2+(y-2)2=r2(>0)上恰有2个点到直线/：3x+4y+15=0的距离为1，则实数r的取 值范围为() A.(3,+∞) B.(5,+o) c.(3,5) D.[3,5] 5为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本， 统计如下表：则可估计 全班学生数学的平均分和方差分别为(； 学生数 平均分 方差 男生 6 80 A.77.5,9.2B.77.5,11C.78,9.2D.7811 女生 4 75 高二数学 6已知P是直线1：x+y-1=0上一点，M,N分别是圆C:x-1)2+0y-8)2=1和 Cx-52+(y-5)2=4上的动点，则PM+PN|的最小值是() A.7 B.8 C.9 D.10 处知椭圆+方=1(a>c>b>0)的左焦点F和下项点A,直线：2x-y+4=0交椭圆于M,N两 点，若F恰好为△AN的重心，则椭圆的离心率为() B.5 2 D.6 8.已知直线y=kx+m(m≠0)与x轴和y轴分别交于A,B两点，且IAB引=2V2,动点C满足CA⊥CB, 则当k,m变化时，点C到点D(2,2的距离的最大值为( A.5V2 B.4V2 C.3v2 D.2W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷般子的点数，数字y表示第二次抛掷骰 子的点数，用(4y)表示一次试验的结果.记事件A=“x+y=7”,事件B“x≤3”，车件 C-“xymod51”,[注：余数运算amodb三c(亿≠0)表示整数a除以整数b所得余数为c]则‘) 4P@名 B.A与C为对立事件C.A与B相互独立D.B与C相互独立 10如图，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，已知AB=AD=A4=1,∠AAD=∠A,AB=∠BAD=60, B为棱CC上一点，且CE=2EC,则1) A.BD=2 B.直线BD与4C所成角的余弦值为 6 C.直线BD与平面ACC,4所成角为牙 D.AE⊥平面BDD,R 11.圆C,:(x-2+y=25,圆C2:(x+2}+y2=1,动圆M与圆C内切于点尽，与圆C2外切于点F, 圆心M的轨迹为曲线C,则() A.圆心M的轨迹方程为亡+上=10x本-3) B.cos∠EMF的最大值为 95 8 顶，共3页 C.EM.MC+F.MC的最大值为2 D.曲线C在点M处的切线与线段EF垂直 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.圆C:x2+p-4x-5=0与圆C:x2+y2-2y-3=0相交于A、8两点，则A8= 13.正方体ABCD-AB,CD的棱长为3，P是平面ADDA上一动点，E是棱CD上一点，若 ∠APB=∠DPE,且△APB的面积是△DPE面积的4倍，则三棱锥P一ABE体积的最大值是 14.设0为坐标原点，R、E为椭圆二+Y=1的左、右焦点，P为椭圆第二象限上的一点.若FM10P, 交线段FP于点M,则 MF, PF, 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查， 将所得评分（百分制按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.己知调查评分在 [70,80)中的市民有200人.心理测评评价标准如下表： 调查评分 [0,40) [40,50) [50,60) [60,70） [70,80) [80,90) [90,100 心理等级 E D C B A (I)求n的值及频率分布直方图中t的值： (2)在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分 频率 个组距 为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，据以往数据 0.035 统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转 0.025 0.020 为B的概率为；，调查评分在[50,60)的市民的心理等级转为B的 0.004 概率为？，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽 405060708090100分数 取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的橱率. 频率分布直方图 高数学第2 16.(本题满分15分) 已知圆C的圆心在y轴上，且经过点A(2,0),BL3) ()求圆C的标准方程； 2)若圆C上存在一点P满足△ABP的面积为5，求直线AP的方程. P, 17.(本题满分15分) 如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=V2,P为侧棱SD上的点，且S亚=3PD (I)求证：SD⊥AC: (2)求平面SBC与平面ACP所成角的正弦值： )侧棱&M上是否存在一点E,使得BE11平面PMC,若存在，求S8 EA E的值：若不存在，试说明理由. 18.(本题满分17分) 已阳过点4®)且焦距为：的精圆号+长-e>60小，这点心-引且斜率容在销直线交用图 E于P,2两点. )求椭圆E的标准方程 ②)直线AP,AQ的斜率之积是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由： B)过点(L,0)作直线1与椭圆E交于C,D两点（点C在x轴上方)，椭圆E的左顶点为A,右顶点为A, 求证：直线AD与直线A,C的交点G在一条定直线上， 2觉共3页