2024-2025学年高一上学期期中模拟数学试卷（范围：第一章至第四章第2节）

2024-2025学年高一上学期期中模拟 （范围：第一章至第四章第2节） 参考答案 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C由得，又， 所以. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 【解析】B ， ， . 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【解析】A 因为为幂函数，所以，解得，或， 又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故， 所以. 4. 下列函数在定义域范围内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 对于A，函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C正确； 对于D，函数在定义域内不单调，故D错误. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 原式. 6. 已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 【解析】C ，当且仅当时等号成立， 所以， ， 而不等式恒成立，所以， 所以的最大值为. 7. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 8. 已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题意得：， ∴，， 又， 可得的图象如图所示， ∵，∴区间长度为2， 当时， 所以； 当时， 所以， ∴的取值范围为：. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【解析】BD 因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】ABC 对于A选项，若，则，因为（当且仅当时，等号成立），故A正确； 对于B选项，因为（当且仅当时，等号成立），所以B正确； 对于C选项，因为， 令，， 对，则， ，则，即， ∴函数在上单调递增，则，故C正确； 对于D选项，若，则，因为，所以（当且仅当时，等号成立），故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 【解析】AD A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______. 【解析】令，得，则. 所以函数（且）的图象恒过定点. 13. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是_______. 【解析】当时，，则，则函数在区间上的值域为. 又函数的值域为，则函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数在区间上的值域为， 由题意可得，，解得. 因此，实数的取值范围是. 14. 已知函数若实数满足则的最大值为_______. 【解析】函数的定义域为，则 所以 又， 函数在上为增函数，函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 当实数满足，可得，即， 又当时，有最大值，且， 当且仅当，即时，等号成立， 故最大值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 又因为，则. （2）因为，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 因为，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 【解析】（1）因为为R上的奇函数， 所以，即，① 又因为函数的图象经过点， 所以,即，② 由①②，可得，，故， ，， 故为奇函数， 所以； （2）任取，，且， 则 ， 因为，所以，又， 所以，所以，故为R上的增函数. 当时，，即， 所以在上的值域为. 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）． 【解析】（1）当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于20千米/小时，则车流密度的取值范围是. （2）由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 又因为， 所以 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米. 18. 已知函数在定义域上单调递增，且对任意的都满足． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若对所有的均成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数是奇函数．证明如下： 因为对任意的都有， 令，则，即， 令，，则， 即， 所以是奇函数． （2）因，恒成立， 又因为在定义域上单调递增， 所以恒成立， 因为，所以， 所以恒成立， 因为在上单调递减， 在上单调递减， 所以复合函数在上单调递增， 故在上单调递增，即在上单调递增， 所以， 故，即． 19. 对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. （1）写出整数4的所有“正整数分拆”； （2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； （3）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 【解析】（1）整数4的所有“正整数分拆”为：. （2）当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：为偶数，最大为为奇数时，最大为. （3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故.综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为； 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外， 至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一上学期期中模拟 （范围：第一章至第四章第2节） 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列函数在定义域范围内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 7. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B ，都有 C. 是R上的递减函数 D. 的值域为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______. 13. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是_______. 14. 已知函数若实数满足则的最大值为_______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）． 18. 已知函数在定义域上单调递增，且对任意的都满足． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若对所有的均成立，求实数的取值范围． 19. 对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”个数为均为奇数的“正整数分拆”个数为. （1）写出整数4的所有“正整数分拆”； （2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值； （3）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$