14.1.1&14.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【6大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

14.1.1&14.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 【考点梳理】 · 考点一：同底数幂的相乘 · 考点二：用科学计数法表示数的相乘 · 考点三：幂的乘方 · 考点四：积的乘方 · 考点五：幂、乘方的逆用 · 考点六：幂的混合运算 【知识梳理】 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 （） 注意00没有意义。 5、负整数指数幂： （正整数，） 6、科学记数法：如：0.00000721=7.21（第一个非零数字前零的个数） 7、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 8、零指数和负指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 （是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如： 【题型探究】 题型一：同底数幂的相乘 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）已知，，则（ ） A．10 B．7 C．3 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加来求解． 【详解】解：，， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的相乘底数不变，指数相加逐一判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项合题意； C．与不是同类项，所以不能合并，故C选项不合题意； D．，故D选项不合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型二：用科学计数法表示数的相乘 4．（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 5．（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：万． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 6．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 题型三：幂的乘方 7．（2024·河北·模拟预测）计算的结果为a8，则“？”的值为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．（是正整数）．根据幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴“？”的值为4． 故选：B． 8．（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 题型四：积的乘方 10．（24-25八年级上·河南周口）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A：，运算错误，不符合题意； B：，运算正确，符合题意 C：，运算错误，不符合题意； D：，运算错误，不符合题意； 故选：B 11．（2024·江西·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了幂的乘方运算与积的乘方．利用幂的乘方运算与积的乘方运算计算并判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确． 故选：D． 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 题型五：幂、乘方的逆用 13．（23-24八年级上·河南南阳·期末）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选A． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．16 B．64 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先由等式得到，再利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则即可求解 【详解】解：∵，即， ， 故选D 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方运算法则进行运算即可 【详解】解：， 故选：C 题型六：幂的混合运算 16．（24-25八年级上·辽宁盘）计算题 (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）（1）计算：． （2）用简便方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方计算，再算同底数幂的乘法，然后合并同类项； （2）逆用积的乘方法则运算即可． 【详解】解：（1） ； （2）． 18．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（     ） A．10 B．7 C．3 D．25 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则，得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 20．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 21．（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，包括同底数幂的乘法，幂的乘方等知识；掌握这两个运算性质是解题的基础．依据同底数幂的乘法，幂的乘方及同类项合并知识进行分析判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误，C计算正确； D、非同类项，不能合并，故计算错误； 故选：C． 22．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方可得，，即可求解． 【详解】解∶∵，，，且， ∴． 故选：A． 23．（2024八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂相乘即可． 【详解】解：， 故选：B． 24．（24-25八年级上·山西·阶段练习）下列幂的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则，根据积乘方和同底数幂的乘法计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：A． 25．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法等知识，分别利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法分别化简求出答案，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： （积的乘方运算） （幂的乘方运算） （同底数幂的乘法） 则依次运用了， 故选：． 26．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，正确得出关于m，n的方程是解题关键． 先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴，． 故选：A． 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ． 故选：C． 二、填空题 28．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 29．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 30．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，有理数的大小比较，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将化为底数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：． 31．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算把原式进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）请认真分析下面一组等式的特征： ； ； ； ； 请你根据这一组等式的规律，写出第个式子： 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，探究等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．等式的左边是连续的的两个奇数相乘，右边是两个数的平均数的平方减去，据这一规律用字母表示即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项中，，， 第二项中，，， 第三项中，，， 故第项中：等号左边乘数为和，等号右边为， 第个式子为：， 故答案为：． 三、解答题 33．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1) (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．同时考查了实数的运算． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据幂的乘方计算即可求解； （3）逆用积的乘方计算即可求解； （4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解； （5）先算幂的乘方，再算积的乘方； （6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：． ． 34．（24-25八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将原式中的带分数化为假分数，然后逆用积的乘方法则和乘法的交换律和结合律进行简便运算； （2）将原式变形为，然后逆用积的乘方法则进行进行简便运算． 此题是关于幂运算的题目，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 36．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方逆运算法则把与化为底数为3的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：， ， 即，解得． n的值为3． （2）解：， ， 即， 解得． x的值为2． 37．（24-25八年级上·全国·课后作业）规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， 故答案为：3；2 （2）设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 38．（2024八年级上·全国·专题练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 【答案】 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．设，求出，用，求出的值，进而求出S的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即． 39．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1.1&14.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 【考点梳理】 · 考点一：同底数幂的相乘 · 考点二：用科学计数法表示数的相乘 · 考点三：幂的乘方 · 考点四：积的乘方 · 考点五：幂、乘方的逆用 · 考点六：幂的混合运算 【知识梳理】 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 （） 注意00没有意义。 5、负整数指数幂： （正整数，） 6、科学记数法：如：0.00000721=7.21（第一个非零数字前零的个数） 7、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 8、零指数和负指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 （是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如： 【题型探究】 题型一：同底数幂的相乘 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）已知，，则（ ） A．10 B．7 C．3 D．18 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 题型二：用科学计数法表示数的相乘 4．（2023·河南周口·三模）2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 5．（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 6．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 题型三：幂的乘方 7．（2024·河北·模拟预测）计算的结果为a8，则“？”的值为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．（2024·河南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：积的乘方 10．（24-25八年级上·河南周口）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江西·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河南南阳）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 题型五：幂、乘方的逆用 13．（23-24八年级上·河南南阳·期末）设，，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·河南南阳）已知，则的值是（    ） A．16 B．64 C．6 D．8 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果为（ ） A． B． C． D． 题型六：幂的混合运算 16．（24-25八年级上·辽宁盘）计算题 (1)；(2)；(3)；(4)． 17．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）（1）计算：． （2）用简便方法计算：． 18．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（     ） A．10 B．7 C．3 D．25 20．（24-25八年级上·福建厦门）代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河南周口）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（2024八年级上·全国）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·山西）下列幂的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·吉林长春）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 27．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题 28．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 29．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 30．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的大小关系是 （用“<”连接）． 31．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算： 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）请认真分析下面一组等式的特征： ； ； ； ； 请你根据这一组等式的规律，写出第个式子： 三、解答题 33．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)(2)；(3)(4)(5)(6)． 34．（24-25八年级上·全国）用简便方法计算 (1)； (2)． 35．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 36．（23-24七年级下·广西崇左·期中）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 37．（24-25八年级上·全国）规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明：设，则，即， ，即，． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 38．（2024八年级上·全国·专题练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 39．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$