4.5函数的零点与方程的根题型归讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的零点与方程的根应用 【题型归纳】 6 题型一 求函数的零点 6 题型二 函数零点存在定理的应用 8 考点1 判断函数零点所在的区间 8 考点2 由函数零点所在区间求参数的取值范围 10 题型三 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题 11 考点1 函数零点的个数 11 考点2 已知函数零点的存在情况求参数的取值范围 13 题型四 函数零点的大小比较 21 题型五 一元二次方程根的分布及应用 24 题型六 复合函数零点问题 29 题型七 用二分法求方程的近似解 38 题型八 函数零点的综合应用 42 知识点一 函数零点的概念 1．函数零点的概念 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标. 所以，方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点. 2．函数零点的分类 (1)变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图1. (2)不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图2. 3．基本初等函数的零点 (1)二次函数的零点 一元二次方程的不同实数解也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数解、二次函数y的图象与二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 的图像 的零点 方程无实数根 函数无零点 类似可得当时的情形. (2)正比例函数仅有一个零点0. (3)一次函数仅有一个零点 (4)反比例函数没有零点. (5)指数函数没有零点. (6)对数函数仅有一个零点1. (7)幂函数，当时，仅有一个零点0；当时，没有零点. 知识点二 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2.函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续曲线，且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点，如图. 注： (1)存在性：函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数.如图(1)(2)，虽然都有，但图(1)中函数有4个零点，图(2)中函数仅有1个零点. (2)唯一性：如果单调函数)在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使得，这个也就是方程的解. (3)成立条件的严密性：一个函数在区间内有零点必须同时满足：①函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线；② .这两个条件缺一不可 (4)不可逆性：函数零点存在定理是不可逆的，由可以推出函数在区间内存在零点.但是，已知函数在区间内存在零点，不一定能推出0.如图(3)，虽然函数在区间内有零点，但. (5)该判断零点存在与否的方法并不对所有函数都适用.例如，函数的零点附近就不存在上述区间，因此只有当函数图像“穿过”轴时，这种方法才能奏效. 知识点三 用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 对于在区间上图像连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 注： (1)用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用.如求函数的零点近似值就不能用二分法. (2)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量. 2．用二分法求方程的近似解 如果函数的图像是连续不断的，并且与的符号相反，那么存在的一个解在与之间，如图. 基本方法：首先利用函数零点存在定理找到一个包含解的区间，然后将包含解的区间多次一分为二，直至解落在满足要求的区间内. 用区间中点将区间一分为二，因此有两个区间和，其中一个区间一定包含解.如果，我们便知道区间包含解，如图4-5.2-2.不断重复以上步骤，方程的解最终落在满足要求的区间内. 二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使方程的解所在范围逐步缩小，也就是逐渐逼近方程的解.当区间长度小到一定程度时，就得到解的近似值. 3．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点的初始区间，验证. (2)求区间的中点. (3)计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令; ③若，则令. (4)判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或);否则重复步骤. 【题型归纳】 题型一 求函数的零点 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)存在零点，零点是和 (2)存在零点，零点是 (3)存在零点，零点为和 【分析】根据零点的概念求解即可. 【详解】（1）令， 得或， 所以函数存在零点，零点是和． （2）令， 得， 所以函数存在零点，零点是． （3）当时，令， 解得（舍去）； 当时，令， 解得． 所以函数存在零点，零点为和． 2．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ． 【答案】/0.5 【分析】利用对数运算及零点含义可得答案. 【详解】由题意可得函数的定义域为. ，令可得，解得或（舍）， 故答案为：. 3．（2022高二下·甘肃·学业考试）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分和两种情况，直接解方程即可. 【详解】当时，由解得； 当时，令，显然无实数解. 综上，函数的零点为0. 故选：A 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和2，且， 则，解得， 故函数， 则与轴的交点坐标为和，所以零点为和. 故选：D. 5．已知表示，两个数中较小一个，则函数的零点是（    ） A．， B．，，， C．， D．，，， 【答案】B 【分析】分和两种情况令即可求出. 【详解】当，可解得或， 此时，解得，满足， 当时，可解得或， 此时，解得，满足， 综上，的零点是，，，. 故选：B. 题型二 函数零点存在定理的应用 考点1 判断函数零点所在的区间 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 而， 所以函数的零点属于区间是. 故选：D 7．（23-24高一上·山东·阶段练习）根据表中数据，可以判定函数的零点所在的区间为（    ） x 1 0 1.19 1.41 1.68 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数零点的判定定理可知，使函数值一正一负即可． 【详解】由题意可得， 由于函数为增函数，则函数有一个零点所在的区间为. 故选：D． 8．23-24重庆高一上期末联考）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可得函数的单调性，由单调性及确定的大小及正负，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】因为在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以， ， 或， 当时， 由存在零点，可知，此时AC选项正确，BD选项错误； 当时， 由存在零点，可知，此时ABC选项错误，D选项正确； 综上，选项中一定错误的是B选项， 故选：B. 考点2 由函数零点所在区间求参数的取值范围 9．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围. 【详解】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B. 10．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 11．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知命题函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的单调性，再利用零点存在性定理结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】显然可知函数在上单调递增， 由零点存在定理可得， 即，解得， 要成为命题成立的一个必要不充分条件， 则该条件所对应的集合包含， 经检验，D选项是命题成立的必要不充分条件. 故选：D. 题型三 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题 考点1 函数零点的个数 12．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 13．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 14．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 考点2 已知函数零点的存在情况求参数的取值范围 15．（多选题）若直线与函数，且的图像有两个公共点，则的可能性取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解. 【详解】（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像 若有两个交点，则， 因为，所以此种情况不存在； （2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像 若有两个交点，则， 因为，所以. 综上，的取值范围是 故选：AB 16．（多选题）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】ABC 【分析】作出的图象，由题意可得函数与函数有两个交点，然后结合图象可得答案. 【详解】作出函数图象如下： 函数有两个零点， 即方程有两个实数根，即， 即函数与函数有两个交点， 由函数图像可得或， 故选：ABC． 17．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数，若，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出分段函数的图象，根据题中条件结合对数的运算性质求得，再求出的范围，进一步求得的范围. 【详解】 作出函数的图象如图所示， ，， ，由图知，， 则，即，， 又时，，则， ， 故选：A. 18．已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】根据题意，转化为与的图象有3个不同的交点，画出和的图象，结合图象，得到，即可求解. 【详解】由存在3个零点，即方程有3个实数根， 即函数与的图象有3个不同的交点， 因为函数，画出函数和的图象，如图所示， 结合图象，将点代入，可得，此时， 要使得函数和的图象有3个不同的交点， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：.    19．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 20．（多选题）（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD.      【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 则， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出，，从而转化为关于的函数； 22．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系， 从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围. 【详解】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 因为二次函数的对称轴方程为， 由图象可得，则， 由及图象可得， 由于，则，则，所以，， 从而得，且，从而得， 所以，， 令，因为，则， 令，则，， 则在单调递增，则， 故的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 题型四 函数零点的大小比较 23．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【详解】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 24．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 25．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 26．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 题型五 一元二次方程根的分布及应用 27．（1）方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围； （2）方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围； （3）取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？ （4）若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）解法一：将方程转化为函数问题，令，利用二次函数性质图象特征，列出不等式求解；解法二：依题意，由根与系数关系可列出不等式组，求解可得； （2）解法一：利用二次函数性质及图象特征，令，则，可得；解法二：设两根分别为，由根与系数关系可得不等式组，解得实数的取值范围； （3）解法一：依题意可得不等式组，解得实数的取值范围； 解法二：设两根分别为，由根与系数关系可得不等式组，可得实数的取值范围； （4）将方程转化为函数问题，根据二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解法一：令， 依题意知或，解得； 解法二：依题意知，解得； （2）解法一：令，则，解得； 解法二：依题意知，，解得； （3）解法一：令， 依题意知，解得； 解法二：依题意知， ，解得； （4）设， 依题意知，解得. 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用，解题关键在于掌握二次函数与一元二次方程、不等式的之间关系，将问题灵活转化，根据函数图象、根与系数关系列出不等式（组）求解即可，属于基础题. 28．若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用零点存在定理进行列不等式方程组，进而求解即可 【详解】函数的两个零点，根据题意有， ，解得 故选：C 29．方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，从而即可解得的取值范围． 【详解】解：令， 因为方程的两根一个根大于2，另一个根小于2， 所以， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：A． 30．（多选题）已知，关于的方程，则下列四个命题是真命题的为（    ） A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实数解 B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解 C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数解 D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解 【答案】BCD 【分析】令（），则原方程可化为，作出的图象和（）的图象，两函数图象结合分析判断即可. 【详解】（1）令（），则原方程可化为．作出的图象如图所示，结合图象可知：    ①当或时，方程有2个不同的实数解； ②当时，方程有3个不同的实数解； ③当时，方程有4个不同的实数解． （2）作出函数（）的图象如图所示．    ①当，即时，方程有1个实数解，且． ②当，即时，方程有2个不同的实数解，（），则，． ③当，即时，方程有2个不同的实数解，（），则． ④当，即时，方程有1个实数解，且． ⑤当，即时，方程没有实数解． 综合（1）（2）可知， 当时，原方程有2个不同的实数解； 当时，原方程有5个不同的实数解； 当时，原方程有8个不同的实数解； 当时，原方程有4个不同的实数解； 当时，原方程没有实数解． 所以B，C，D都是真命题． 故选：BCD 31．已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论为一次函数和二次函数，当为二次函数时再分类讨论存在一个零点和两个零点两种情况，一个零点时，两个零点时满足题意需用零点存在性定理求出实数的取值范围. 【详解】，函数的零点为，不满足题意； 当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意； 若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得 检验：当时，，即两个零点异号 因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中 当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时 ，无解，故不存在两个零点在区间中； 故答案为： 题型六 复合函数零点问题 32．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 33．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用换元法，令，先解出当时的值，然后再根据的图象，判断时，值的个数. 【详解】令，当时，解得或. 在同一直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，观察可知，与有1个交点，与有2个交点，则的零点个数为3. 故选：C.    【点睛】一般地，判断型如的零点个数时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，的值的个数即为的零点的个数，解答时注意数形结合，注意函数与图象性质的分析. 34．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则函数的零点个数是 . 【答案】6 【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可； 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 35．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空1，令，先考虑时，函数在,上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案． 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 36．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】把原题分解为、的实根个数之和为4即可，在平面直角坐标系中画出、以及的图象，由此列出关于的不等式即可求解. 【详解】 或， 在平面直角坐标系中画出、以及的图象，如图所示：    若关于的方程有4个不同的实根， 则当且仅当，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于将问题转换为的实根个数为2，通过数形结合的方法即可求解. 37．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有3个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，， ， 当时，， 单调递增，且，此时单调递增， 在单调递增，， 画出函数图象， 函数有3个不同的零点，等价于和有3个不同的交点， 则观察图象可得，. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为和有3个不同的交点，数形结合求出. 38．（多选题）已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】ACD 【分析】根据题意，先作出的图像，再令，将问题转化为与的交点的个数，进而得到交点横坐标的范围，从而分类讨论与两种情况，结合的图像即可判断得的零点的个数，由此得解. 【详解】根据指数函数与对数函数的性质，结合函数图像的变换作出的图像，如图， 令，则， 令，则，即， 在图中再作直线，由图象可知与有两个交点，其横坐标设为， 则， 当时，结合图像可知有2个不等实根； 当时，结合图像可知有3个不等实根； 综上：可得的实根个数为5， 即函数的零点个数是5. 故选：ACD. . 39．（多选题）已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】BD 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵， ∴ ， ∵函数恰好有两个零点， ∴方程有两个解，即有两个解， 即函数与的图象有两个交点， ， 作函数与的图象如下， 当和，即 ， 结合图象可知，当时，有不止两个交点， 当或时，满足函数与的图象有两个交点， 当时，无交点， 综上，或时满足题意， 故选：BD. 40．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由可得或， 由题意可知，关于的方程、共有五个根， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则. 故选：B. 41．（24-25高二上·广东汕头·期中）函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解函数方程得到或，再利用方程的根与函数交点的关系，数形结合得到关于的不等式即可得解. 【详解】由得， 解得或， 画出的函数图象， 而的解的个数，可以看作与的交点个数，显然有两个交点； 因为有三个不同的实数根， 所以与需要有一个交点， 由函数图象可知，解得，即. 故选：D. 题型七 用二分法求方程的近似解 42．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【分析】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【详解】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 43．方程在区间上的根必定在（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】D 【分析】设，运用二分法，依次计算，，，，的值，再利用零点的存在性定理，即可得解. 【详解】解析：设， 则，， 因为且，所以函数在上必有零点. 又因为且，所以函数在上必有零点. 又因为且，所以函数在上必有零点. 即方程的根必在上. 故选：D 44．用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分． 【答案】11 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 令，又，解得. 故答案为：11． 45．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止． 【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下： ， ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. ， 取区间的中点， 且， 所以. 因为， 所以区间的中点， 即为零点的近似值，即函数的零点， 所以至少需进行3次函数值的计算. 故选：B. 46．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 47．（22-23高三上·福建泉州·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为（    ） A．五 B．四 C．三 D．二 【答案】A 【分析】根据定义逐次求算，直到满足近似分数与实际值误差小于0.01即可. 【详解】第一次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意； 由，第二次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意； 由，第三次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意； 由，第四次用“调日法”后得过剩近似值，不合乎题意， 由，第四次用“调日法”后得过剩近似值，合乎题意 即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五次， 故选：A. 题型八 函数零点的综合应用 48．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)设关于的函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数性质求得参数值，再验证符合题意即可； （2）根据单调性的定义证明； （3）令，结合的单调性得到，参变分离可得，依题意可得关于的方程有解，令，则与有交点，利用换元法求出的值域，即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 当时，，满足，是奇函数， 所以； （2）由（1）可得， 设任意两个实数满足， 则， ∵，∴，，∴，即， 所以在上为单调递增； （3）令，则， 又是定义在上的奇函数且单调递增，所以， 则， 则， 因为关于的函数有零点， 所以关于的方程有解，令， 则与有交点， 令，则，令，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，则，即实数的取值范围为. 49．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 50．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数 (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解，求的取值范围: (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由换元法求解， （2）参变分离后转化为求值域问题， （3）由函数的奇偶性先求出、的解析式，再由换元法与参变分离求解. 【详解】（1）设，则原不等式可化为，解得， 则， 故原不等式的解集为 （2），即， 设，则在上有两解， 由图知，    （3）由题意得 解得 故原不等式即对恒成立， 令，不等式可化为对恒成立， 即，而，由对勾函数性质得当时， 取最大值，则 【点睛】本题主要考查函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合(图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立； ④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 51．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据偶函数的定义及对数运算性质求解即可； （2）把函数有2个零点问题转化为有2个根，令，则函数有2个正号零点，结合二次函数零点分布分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以， 即，所以， 即，所以，得， 经检验当时，函数是偶函数. （2）函数有2个零点， 即关于的方程有2个不相等的实数根， 化简上述方程得，即， 所以，所以. 令，得关于的方程. 记，且， ①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根， 不符合题意. ②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点， 因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即， 解得或，又，所以. 综上，的取值范围是. 52．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且． (1)求，的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设函数，若方程有4个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据题意，结合特殊值，进行合理赋值，即可求解； （2）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，求得函数是上的减函数，得到在上单调递减，进而求得函数的最值； （3）根据题意，得到函数为奇函数，求得，令，得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 令，可得，解得， 令，可得， 令，可得. （2）解：任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数， 所以在上单调递减，所以， 又因为， 由，可得， 所以， 所以，当时，的最大值为，最小值为. （3）解：令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数， 可得，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令， 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5函数的零点与方程的根应用 【题型归纳】 6 题型一 求函数的零点 6 题型二 函数零点存在定理的应用 6 考点1 判断函数零点所在的区间 6 考点2 由函数零点所在区间求参数的取值范围 7 题型三 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题 7 考点1 函数零点的个数 7 考点2 已知函数零点的存在情况求参数的取值范围 8 题型四 函数零点的大小比较 9 题型五 一元二次方程根的分布及应用 10 题型六 复合函数零点问题 10 题型七 用二分法求方程的近似解 12 题型八 函数零点的综合应用 13 知识点一 函数零点的概念 1．函数零点的概念 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标. 所以，方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点. 2．函数零点的分类 (1)变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图1. (2)不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图2. 3．基本初等函数的零点 (1)二次函数的零点 一元二次方程的不同实数解也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数解、二次函数y的图象与二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 的图像 的零点 方程无实数根 函数无零点 类似可得当时的情形. (2)正比例函数仅有一个零点0. (3)一次函数仅有一个零点 (4)反比例函数没有零点. (5)指数函数没有零点. (6)对数函数仅有一个零点1. (7)幂函数，当时，仅有一个零点0；当时，没有零点. 知识点二 函数零点存在定理 1．函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2．函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续曲线，且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点，如图. 注： (1)存在性：函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数.如图(1)(2)，虽然都有，但图(1)中函数有4个零点，图(2)中函数仅有1个零点. (2)唯一性：如果单调函数)在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使得，这个也就是方程的解. (3)成立条件的严密性：一个函数在区间内有零点必须同时满足：①函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线；② .这两个条件缺一不可 (4)不可逆性：函数零点存在定理是不可逆的，由可以推出函数在区间内存在零点.但是，已知函数在区间内存在零点，不一定能推出0.如图(3)，虽然函数在区间内有零点，但. (5)该判断零点存在与否的方法并不对所有函数都适用.例如，函数的零点附近就不存在上述区间，因此只有当函数图像“穿过”轴时，这种方法才能奏效. 知识点三 用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 对于在区间上图像连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 注： (1)用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用.如求函数的零点近似值就不能用二分法. (2)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量. 2．用二分法求方程的近似解 如果函数的图像是连续不断的，并且与的符号相反，那么存在的一个解在与之间，如图. 基本方法：首先利用函数零点存在定理找到一个包含解的区间，然后将包含解的区间多次一分为二，直至解落在满足要求的区间内. 用区间中点将区间一分为二，因此有两个区间和，其中一个区间一定包含解.如果，我们便知道区间包含解，如图4-5.2-2.不断重复以上步骤，方程的解最终落在满足要求的区间内. 二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使方程的解所在范围逐步缩小，也就是逐渐逼近方程的解.当区间长度小到一定程度时，就得到解的近似值. 3．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点的初始区间，验证. (2)求区间的中点. (3)计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令; ③若，则令. (4)判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或);否则重复步骤. 【题型归纳】 题型一 求函数的零点 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 2．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ． 3．（2022高二下·甘肃·学业考试）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 5．已知表示，两个数中较小一个，则函数的零点是（    ） A．， B．，，， C．， D．，，， 题型二 函数零点存在定理的应用 考点1 判断函数零点所在的区间 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东·阶段练习）根据表中数据，可以判定函数的零点所在的区间为（    ） x 1 0 1.19 1.41 1.68 2 A． B． C． D． 8．（23-24重庆高一上期末联考）设函数，满足，，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 考点2 由函数零点所在区间求参数的取值范围 9．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知命题函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题 考点1 函数零点的个数 12．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 13．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点2 已知函数零点的存在情况求参数的取值范围 15．（多选题）若直线与函数，且的图像有两个公共点，则的可能性取值为（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）（22-23成都高一上期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ） A． B． C．1 D．0 17．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数，若，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为 ． 19．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 题型四 函数零点的大小比较 23．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型五 一元二次方程根的分布及应用 27．（1）方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围； （2）方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围； （3）取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？ （4）若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围. 28．若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）已知，关于的方程，则下列四个命题是真命题的为（    ） A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实数解 B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解 C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数解 D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解 31．已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . 题型六 复合函数零点问题 32．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 33．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则函数的零点个数是 . 35．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 36．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 37．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 38．（多选题）已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 39．（多选题）已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 40．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·广东汕头·期中）函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 用二分法求方程的近似解 42．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 43．方程在区间上的根必定在（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 44．用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分． 45．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（    ）次函数值的计算． A．2 B．3 C．4 D．5 46．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 47．（22-23高三上·福建泉州·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为（    ） A．五 B．四 C．三 D．二 题型八 函数零点的综合应用 48．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)设关于的函数有零点，求实数的取值范围. 49．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 50．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数 (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解，求的取值范围: (3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 51．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围. 52．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且． (1)求，的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设函数，若方程有4个不同的解，求m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$