第19讲抛物线的简单几何性质（2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第19讲抛物线的简单几何性质 （2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． 知识点2：直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 要点：抛物线的焦点弦及通径问题 1. 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦 2. 通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦. 3. 有关抛物线焦点弦的结论 　　如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ. 则有：(1)AB=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)AF=，BF=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线； 1 学科网（北京）股份有限公司 (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. 4. 圆锥曲线的统一定义 　　圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-，x=. 题型1：抛物线几何性质的应用 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 题型2：利用抛物线的性质求抛物线方程 【例题2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上，使得四边形为菱形且面积为．若，则抛物线方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程． 题型3：直线与抛物线的位置关系 【例题3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 题型4：与抛物线有关的弦长问题 【例题4】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【变式1】（21-22高二上·宁夏·阶段练习）直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川泸州·期末）过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，在处的两条切线交于点，过作垂直于轴的直线交于两点（点在点的上方），且，求直线的方程． 题型5：与抛物线有关的中点弦问题 【例题5】（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 【变式3】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 题型6：与抛物线有关的定值问题 【例题6】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（21-22高二上·全国·课后作业）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ． 【变式2】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 题型7：与抛物线有关的定点问题 【例题7】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 . 【变式3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 题型8：与抛物线有关的最值（取值范围）问题 【例题8】（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ）． A．2 B． C．3 D．4 【变式1】（21-22高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 【变式3】（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线，. (1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值； (2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值. 题型9：与抛物线有关的对称问题 【例题9】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 【变式3】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线经过两点，直线，关于直线：对称． (1)求直线的方程； (2)直线上是否存在点P，使点P到点的距离等于到直线l：的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型10：与抛物线有关的轨迹问题 【例题10】（22-23高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 易错点1：忽略斜率不存在或二次项系数为零的情况致错 【例题1】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【变式2】（23-24高二上·江西上饶·期中）已知直线经过点，且与抛物线有唯一的公共点，求直线的方程. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 易错点2：涉及直线与抛物线相交问题时，忽视判别式△＞0这一隐含条件致错 【例题2】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（    ） A． B．5 C． D．4 【变式2】（24-25高二上·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． (1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围； (2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（21-22高二上·陕西西安·期中）已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．（22-23高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 10．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，的中点在的准线上的投影为，则 11．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点） 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，焦点为，若过点的直线（斜率大于0）与抛物线、轴及准线的交点从上至下依次为，且，其中为准线与轴交点，则抛物线的方程为 ． 13．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 16．（2024高二上·全国·专题练习）已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，. (1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围. 17．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 19．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲抛物线的简单几何性质 （2个知识点+1个要点+10种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． 知识点2：直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 要点：抛物线的焦点弦及通径问题 1. 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦 2. 通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦. 3. 有关抛物线焦点弦的结论 　　如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ. 则有：(1)AB=x1+x2+p=； (2)x1x2=，y1y2=-p2，·=-p2； (3)AF=，BF=； (4) +=； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)以AB为直径的圆与准线相切； (7)A，O，B'共线，A'，O，B共线； 1 学科网（北京）股份有限公司 (8)∠A'FB'=90°； (9)S△AOB=； (10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. 4. 圆锥曲线的统一定义 　　圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-，x=. 题型1：抛物线几何性质的应用 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【详解】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出可得答案. 【详解】由题可知，则直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 解得，或，因为点在第一象限，所以， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ． 【答案】 【分析】联立方程，利用韦达定理可得，线段的中点，利用中垂线求得，进而可得面积. 【详解】设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，且， 可知线段的中点，则线段的中垂线方程为， 令，则，可得， 所以的面积为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由两直线垂直得到直线，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可； （2）设线段的中点为，由中点坐标公式得到方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可； 【详解】（1）设， 因为交于点，点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去可得，， 则， 因为，所以， 即，即，解得， （2） 设线段的中点为， 由（1）知，所以， 所以，即， 联立，消去可得，， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 题型2：利用抛物线的性质求抛物线方程 【例题2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】准线与直线的距离为，计算得到答案. 【详解】抛物线的准线为，准线与直线的距离为， 故，解得，故此抛物线的方程为. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上，使得四边形为菱形且面积为．若，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】根据菱形可得与互相垂直平分，故可得，根据面积可求抛物线的方程. 【详解】依题意与互相垂直平分，又，，则， 则，解得，所以抛物线方程为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程． 【答案】 【分析】先根据对称性设点，再结合面积公式求参，进而得出，得出抛物线方程. 【详解】不妨设点A在第一象限且，则，可得， 轴，且，即为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即，由的面积为16，可得， 解得，所以，所以抛物线C的方程为． 题型3：直线与抛物线的位置关系 【例题3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得， 所以抛物线的方程是或. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【答案】答案见解析 【分析】联立方程组消元，分二次系数是否为0讨论，结合判别式即可求解. 【详解】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 题型4：与抛物线有关的弦长问题 【例题4】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 【变式1】（21-22高二上·宁夏·阶段练习）直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果. 【详解】解：设，由， 消去y得， 由题意得， ∴，. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·四川泸州·期末）过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求直线的方程，并代入焦点弦长公式，即可求解. 【详解】抛物线的焦点，显然的斜率不为0，设直线， 联立 ，得，， ，， 则，， ，， ， 解得：，所以， . 故答案为：8 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，在处的两条切线交于点，过作垂直于轴的直线交于两点（点在点的上方），且，求直线的方程． 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据直线与抛物线相切结合设而不求的方法可得，根据可求，从而可求直线的方程． 【详解】易知椭圆的右焦点为，因为椭圆与抛物线有共同焦点， 所以，即，所以抛物线的方程为， 显然直线的斜率，可设直线的方程为， 由得，, 不妨设，其中，则， 设在点处的切线方程为， 由，得， 所以，解得，故， 所以在处的切线方程为，同理在处的切线方程为． 由，得，， 所以． 将代入，得，，又， 所以，解得， 所以直线的方程为． 题型5：与抛物线有关的中点弦问题 【例题5】（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【答案】B 【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解. 【详解】设，因为中点的横坐标为，则， 可得， 又由，两式相减得到，可得， 可得，解得或， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 . 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程，得到两根之和，从而得到方程，求出或，舍去不合要求的根. 【详解】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意， 故， 联立，整理得， 由0，解得， 设， 则 因为中点的横坐标为2，则， 故，解得（舍去）或， 所以. 故答案为：2 【变式3】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 题型6：与抛物线有关的定值问题 【例题6】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意可知：可知直线与抛物线必相交， 设，，，， 则， 设的方程为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，即， 同理可得，则， 可得， 设直线为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，所以. 故选：A. 【变式1】（21-22高二上·全国·课后作业）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ． 【答案】 【分析】设出直线AB方程，与抛物线方程联立得出与，再代入斜率公式即可得出答案. 【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为， 联立方程，得，， ，. 所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线的斜率为定值0，理由见解析 【分析】（1）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时设，联立抛物线方程结合韦达定理、焦点弦弦长公式可得关于的方程，解方程并检验此时是否满足即可； （2）首先得，又，从而由即可判断. 【详解】（1）由题意知，抛物线焦点， 当直线斜率不存在时，联立与抛物线，解得，此时，不满足题意， 当直线斜率存在时，设， 由，得，注意， 由韦达定理知，，由抛物线的弦长公式，解得， 经验证，此时满足，所以，直线的方程为或． （2） 设，则直线与准线的交点为， 由（1）知，则，从而． 所以，直线的斜率为定值0． 【变式3】（23-24高二上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）设圆心，半径为，由两点间距离公式和圆的弦长公式列方程，消去即可； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去x，利用斜率公式将用坐标表示，然后由韦达定理代入化简即可. 【详解】（1）设圆心，半径为，由圆过点得， 又因为圆在轴上截得的弦长为4，所以， 则，整理得. （2）易知直线的斜率不为0， 设直线方程为，即， 联立消去得， 由得或， 设，则， ， 所以， 即等于定值1. 题型7：与抛物线有关的定点问题 【例题7】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l的方程为，代入抛物线方程由韦达定理可表示出，结合也表示出，可解出的值得直线所过定点． 【详解】设，，则，， 设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，， ，， 所以直线l一定过定点. 故选：A 【变式1】（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案. 【详解】设直线方程为 ， 联立 ，整理得： ， 需满足 ，即 ， 则 ， 由 ，得： ， 所以 ，即 ， 故 ， 所以直线l为：，当时，， 即直线l恒过定点， 故选：A 【变式2】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 . 【答案】 【分析】设出切线方程后代入抛物线方程，利用可求得，再通过方程的解可求得切点坐标，继而求出切线斜率，得到切线方程，进一步分析即可. 【详解】设过点的切线方程为， 代入抛物线方程得： , 其判别式， 即， 故得，， 又的解为， 所以切点的横坐标为， 代入抛物线方程可求得切点坐标为， 设， 令，则， 即切点的坐标为; 令，则， 即切点的坐标为， 故直线的斜率 故直线的方程为 ， 当时， 即直线过定点 【变式3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证． 【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为 题型8：与抛物线有关的最值（取值范围）问题 【例题8】（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ）． A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可 【详解】设，则有，又， 所以 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以的最小值为2， 故选：A 【变式1】（21-22高二上·吉林松原·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【详解】抛物线的焦点为， 准线为且l过点， 抛物线的准线方程是， 则抛物线的方程为， 因为 ，点在抛物线内， 过点作准线的垂线，垂足是， 在抛物线上，是抛物线的焦点， ， 当 三点共线时，（图中虚线位置）， 取到最小值，即最小值为， 故选：． 【变式2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线定义可得点到直线的距离等于，结合结论两点之间线段最短，垂线段最短求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可得点到直线的距离等于， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以点到直线与到直线的距离之和等于， 由两点之间线段最短可得， 过作直线的垂线，垂足为， ， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立． 故答案为：.   【变式3】（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线，. (1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值； (2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）设，表达出，求出最小值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即得. 【详解】（1）设，， 当，即时，取得最小值，最小值为； （2）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 设直线的方程是，与抛物线联立，消x得， 设，， 则，，故， 故. 题型9：与抛物线有关的对称问题 【例题9】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 【答案】4 【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，抛物线焦点为，即， 令，则，故. 故答案为：4 【变式3】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线经过两点，直线，关于直线：对称． (1)求直线的方程； (2)直线上是否存在点P，使点P到点的距离等于到直线l：的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合条件的点P，其坐标为或． 【分析】（1）求出方程，根据，的对称性求得的方程； （2）根据条件求出点P的轨迹方程，与联立求得P的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，则直线的方程为，即． 设点为直线上任意一点， 则点关于：的对称点在直线上，即， 所以直线的方程为． （2）假设存在符合条件的点P，使点P到点的距离等于到直线： 的距离． 设点，则， 所以点P在的图象上． 又因为点P在直线上， 由解得或， 所以存在符合条件的点P，其坐标为或． 题型10：与抛物线有关的轨迹问题 【例题10】（22-23高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，所以，， 设线段的中点为，则，，则， 所以，，化简可得. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得可得直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程. 【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：， 则， 设，则， 所以，故或， 当时，在直线上，故舍去，所以， 所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用数量积可得，进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析. 【详解】由题意可得，设， 显然直线的斜率存在，则可设为， 联立可得，消去可得， 则，可得，， 则 ， 因为，， 由可得， 由，解得. 此时抛物线，即，可得， 可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为， 联立方程，消去y得， 可得，解得， 则切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为， 联立方程，解得， 即交点坐标为，可知所求轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 易错点1：忽略斜率不存在或二次项系数为零的情况致错 【例题1】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】联立与，分与两种情况，结合根的判别式得到或，从而求出答案. 【详解】联立与得，， 当时，，只有一个根，满足要求， 当时，令，解得， 故直线与抛物线有唯一公共点”时，或， 故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条． 【答案】3 【分析】直线l与抛物线C有唯一公共点．分两类情况：一类是直线l平行于抛物线对称轴，另一类是直线l与抛物线C相切. 【详解】由题意知，直线的斜率存在. 设直线斜率为，则切线方程为， 联立 消x得， 当时，此时，与抛物线有唯一公共点； 当时，由，解得，即过M点的切线有两条． 综上可知，满足条件的直线有3条． 故答案为：3. 【变式2】（23-24高二上·江西上饶·期中）已知直线经过点，且与抛物线有唯一的公共点，求直线的方程. 【答案】或或 【分析】先说明斜率不存在时满足题意，直线斜率存在时，设方程为，与抛物线联立，分和两种情况求解即可. 【详解】当直线斜率不存在时，方程为，明显与抛物线有唯一的公共点，满足； 当直线斜率存在时，设方程为， 联立，消去得， 当时，，，满足与抛物线有唯一的公共点， 当时，，解得，此时直线与抛物线相切于一个点， 所以直线的方程为或或. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【答案】条 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解； 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时与抛物线只有一个公共点，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 易错点2：涉及直线与抛物线相交问题时，忽视判别式△＞0这一隐含条件致错 【例题2】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（   ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由，得，易得， 设，则， . 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，从而求得的值. 【详解】依题意可知直线与轴不重合、与轴不平行， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， ， 解得，设， 则， ， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 【答案】/ 【分析】联立抛物线和直线方程，得到，再由等差中项的性质得到，结合抛物线的定义可得，结合可得到满足的方程，求解即得结果. 【详解】设，， 联立，整理得：， 由，得， 由韦达定理，得， 由，2，成等差数列，可得， 由抛物线的定义得， 所以，故，解得或（舍）. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． (1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围； (2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求弦长，然后求解三角形的面积分析求解最值即可； （2）设直线方程为，联立方程组，将转化为，求解直线的方程即可. 【详解】（1）由题可知，且直线的斜率不为0， 设． 设直线的方程为，因为，则， 因此点到直线的距离为， 联立则，显然， 所以， 则， 所以， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，所以的取值范围为． （2）设直线方程为，即， 联立得，故即, 又， 易知， 因为，则， 因为，所以，即， 解得或， 故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， ，故C正确． 故选:C． 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【详解】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 6．（21-22高二上·陕西西安·期中）已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【详解】由得焦点坐标为， 设直线方程为， 与抛物线方程联立，消去y得， 设，则， 因为， 所以，即， 即，解得， 所以直线方程为：， 故选：A 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可. 【详解】如图， 直线l：中，令，可得，令，可得， 所以，， 由抛物线C：可得， 所以，所以， 解得. 故选：A 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先通过抛物线的定义得到，由，利用点差法得到，通过线段AB的中点，得到AB的斜率，又因为，从而得到及. 【详解】抛物线的焦点为，直线过焦点， 设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点， 因为线段AB的中点为，所以 ，作差后可以得到，即 可以得到，则 由抛物线定义，得 故选：C 二、多选题 9．（22-23高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项. 【详解】 作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则. 当在原点时，最小为1，A错误； 易知抛物线关于轴对称，B错误； ，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确. 点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确. 故选：CD. 10．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的面积为 C．若，则 D．若，的中点在的准线上的投影为，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的标准方程，联立直线的方程，求出交点坐标即可判断A；求出点的纵坐标计算判断；设出点， 的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式判断D． 【详解】解：抛物线方程为：， 抛物线的焦点，准线， 设，， 则，，， A．设，联立，可得， ，，① ，，与①联立， 可得，或，， 或 ，故选项A正确； B．，，， 的面积，选项B错误； C． ， ，显然， ，， ， 当且仅当时取等号，选项C正确； D．设点的横坐标为，， ， 在中，， 由余弦定理得， ， ， 当且仅当时取等号， ，选项正确． 故选：ACD． 11．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点） 【答案】BC 【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项. 【详解】若，则直线与抛物线只有一个交点， 不合乎题意，则，设直线的方程为， 联立可得， ， 对于A选项，不一定是定值，A错； 对于B选项，设线段的中点为，则， 为定值，故线段的中点在定直线上，B对； 对于C选项，为定值，C对； 对于D选项，不一定为定值，D错. 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，焦点为，若过点的直线（斜率大于0）与抛物线、轴及准线的交点从上至下依次为，且，其中为准线与轴交点，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线方程为，联立方程组，可得，结合，解得，再由，可解，从而得解. 【详解】易得，设直线方程为且，令，则， 联立得， 即，则， 则， 由可得，， 化简得，解得． 令，则，又，即，解得， 所以抛物线方程为． 故答案为： 13．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程. 【详解】易知，直线的方程为， 由得， 设， 则，， 所以， 解得，所以的准线方程为． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据抛物线过点及列出相应等式即可求解； （2）根据（1）结果分情况讨论和，从而可求解. 【详解】（1）因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得或， 即，或． （2）当时，此时，则， 所以； 当时，，则， 所以． 16．（2024高二上·全国·专题练习）已知过点的动直线l与抛物线相交于两点.当直线l的斜率是时，. (1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）分析题意，利用平面向量的坐标表示求解方程即可. （2）将b表示为一元函数，求解值域即可. 【详解】（1）设，， 由题意知直线l的方程为 由得， ∴， 又∵，， ∴， 结合已求内容及， 解得， 则抛物线G的方程为. （2） 由题意设，的中点坐标为， 由得， ，. ∴线段的中垂线方程为， ∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为. 对于方程， 由得或. 此时易知. 17．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为 (1)证明：为定值: (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)48. 【分析】（1）求出抛物线的方程，设出直线的方程，与的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得. （2）由（1）的结论求出，进而求出直线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，抛物线， 设直线的方程为，，显然， 由消去x得， ，则且，， 因此， 所以为定值. （2）由，得，则，由（1）知，， ，解得， 直线的方程为，， 而点到直线的距离， 所以的面积. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积． 【答案】答案见解析 【分析】由抛物线可知焦点，又，因此可知直线的方程，与抛物线联立，可求出弦长；因为，由抛物线的定义可求，进而可求出，分两种情况求的面积即可. 【详解】   因为，所以，所以直线方程为． 设， 联立得，显然， 所以， 则， 因为，所以，则． 当时，到的距离； 当时，到的距离． 19．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出和的坐标，并得到的中垂线方程，得到，表达出，求出的最小值. 【详解】（1）的焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取，即. 由点到直线的距离公式得，得， 所以抛物线的方程为. （2）由(1)知，，. 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 直线斜率不为0，故设直线的方程为， 联立消去并整理，得，， 设，，则，， ， ∴. 易得点的坐标为， ∴的中垂线方程为， 令得， ∴， 从而， ∴， ∴当且仅当时，取最小值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$