第21讲三角函数的概念（6个知识点+2个要点+8种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第21讲三角函数的概念 （6个知识点+2个要点+8种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：任意角的三角函数定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)总结 ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数． 知识点2：三角函数值在各象限的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 判断三角函数值在各象限符号的攻略： 1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； 3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. 知识点3：特殊角的三角函数 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 知识点4：公式一 知识点5：同角三角函数的基本关系 1．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α∈成立． 知识点6：关系式的常用等价变形 tan α＝⇒ 题型1：利用定义求任意角的三角函数值 【例题1】（22-23高一上·广东东莞·期中）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河北衡水·期中）若角的终边上有一点，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）(1)已知点（）是角终边上一点，求、、、的值； (2)已知角的终边在直线上，求、、、的值. 题型2：三角函数值的符号问题 【例题2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？ ，，， 题型3：公式一的应用 【例题3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·山西运城·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习） ． 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 题型4：已知三角函数值或符号求参数 【例题4】（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（    ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【变式1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若，且角的终边经过点，则点的纵坐标是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 【例题5】（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ． 【变式3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知是第三象限角，且.求的值. 题型6：齐次式的求值问题 【例题6】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·天津·期末），则 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型7：三角函数式的化简与证明 【例题7】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2） 求证：. 【变式2】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 题型8：与参数有关的三角函数问题 【例题8】（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【变式3】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值． 易错点1：求三角函数值时对角的终边位置考虑不全而致错 【例题1】（23-24高一上·湖南·期末）已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（21-22高一上·黑龙江大庆·期中）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上，则角余弦值为 . 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知角的终边落在直线上，求，，的值． 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，求的值． 易错点2：未注意开方结果的符号而致错 【例题2】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若，求，． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·河北保定·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北保定·期末）若为第二象限角，则（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·河北衡水·期中）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 三、填空题 12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第 象限. 13．（24-25高一上·上海·单元测试）若，则 . 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值． 16．（22-23高一上·广东东莞·期中）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值． (2)已知角为第四象限角，且满足，求的值． 17．（21-22高一上·新疆哈密·期末）设角的终边经过点（），求、、的值. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 19．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）（1）若，，求和的值； （2）若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲三角函数的概念 （6个知识点+2个要点+8种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：任意角的三角函数定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)总结 ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数． 知识点2：三角函数值在各象限的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 判断三角函数值在各象限符号的攻略： 1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； 3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. 知识点3：特殊角的三角函数 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 知识点4：公式一 知识点5：同角三角函数的基本关系 1．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α∈成立． 知识点6：关系式的常用等价变形 tan α＝⇒ 题型1：利用定义求任意角的三角函数值 【例题1】（22-23高一上·广东东莞·期中）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边上有一点的坐标是， ，，， . 故选：D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数定义，求出，即可求出的值． 【详解】解：角的终边上有一点， ， 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·河北衡水·期中）若角的终边上有一点，则 . 【答案】 【分析】若角的终边上有一点，则，其中. 【详解】∵角的终边上有一点， ∴， ∴. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）(1)已知点（）是角终边上一点，求、、、的值； (2)已知角的终边在直线上，求、、、的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）先求出，然后分和两种情况根据任意角的三角函数的定义求解即可； （2）由题意得角的终边某一点的坐标为，求出，然后分和两种情况根据任意角的三角函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：因为，所以. 当时，，所以，，，； 当时，，所以，，，. （2）解：由题意得角的终边某一点的坐标为， 所以， 当时，，所以，，，. 当时，，所以，，，. 题型2：三角函数值的符号问题 【例题2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合三角函数知识判断. 【详解】因为点在第二象限，所以，， 则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 【答案】负数 【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：负数. 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？ ，，， 【答案】，有可能取负值 【分析】根据题意结合三角函数值的符号分析判断. 【详解】因为， 所以，恒为正数，可能为负值. 题型3：公式一的应用 【例题3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·山西运城·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边相同的角的三角比相同求解即可. 【详解】， 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习） ． 【答案】 【分析】先应用诱导公式化简，再应用特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用终边相同的角的同名三角函数值相等，化简求值. 【详解】（1）． （2） 题型4：已知三角函数值或符号求参数 【例题4】（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（    ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义列出方程求解即得. 【详解】因点M在角的终边上，则，故，解得，. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若，且角的终边经过点，则点的纵坐标是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数定义，先表示出，再化简运算即可求出. 【详解】由，又点在的终边上，故角为第四象限角， 故，即，解得或(舍去)． 故选：D 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 【答案】. 【分析】根据终边上一点结合任意角余弦值求参即可. 【详解】由题意得， 所以， 所以. 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 【例题5】（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据角所在的象限及平方关系求得，，利用商数关系求其正切值. 【详解】由题设，，故. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值. 【详解】因为是第二象限角，所以. 又，，所以. 所以. 故选：A 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数关系求出并检验，结合商数关系即可求解. 【详解】， 由，可得，解得或． 又为第三象限角，，把的值代入检验得， ，可得． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知是第三象限角，且.求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系计算可得. 【详解】因为是第三象限角，且， 所以. 题型6：齐次式的求值问题 【例题6】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据将所求式子分子化为齐次式，再利用同角三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果. 【详解】. 故选：D 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数关系式中的商关系，结合平方差公式，三角函数关系中平方和为1进行代换求解即可. 【详解】. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·天津·期末），则 . 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可. 【详解】因为 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将式子齐次化即可求解； （2）将1看做，再进行齐次化即可求解. 【详解】（1）因为，所以，将式子的分子分母同时除以得： 所以． （2）． 题型7：三角函数式的化简与证明 【例题7】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可； （2）利用完全平方公式和同角三角函数的基本关系进行化简即可得解. 【详解】（1）原式=． （2）原式 ． 【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式2】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接由商数关系即可求解； （2）直接根据平方关系，商数关系即可求解. 【详解】（1）； （2）． 【变式3】（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 题型8：与参数有关的三角函数问题 【例题8】（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得：， 也即，由可得： ，解得：或（舍去）， 因为角的终边过点，所以，则， 故选：. 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解. 【详解】由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 【变式3】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值． 【答案】(1) (2) (3)两根为，；或. 【分析】（1）由和是方程的两个根得，利用商数关系，求出代数式的值； （2）利用平方关系，和，求得m的值. （3）解方程，得和的值，由，得的值. 【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程的两根为，， 所以或，又因为，所以或. 易错点1：求三角函数值时对角的终边位置考虑不全而致错 【例题1】（23-24高一上·湖南·期末）已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】分终边在第一象限和在第三象限两种情况，取终边上的一点，根据三角函数定义求出答案. 【详解】直线过第一象限和第三象限， 若终边在第一象限，可取终边上一点，则， 若终边在第三象限，可取终边上一点，则. 故. 故选：A 【变式1】（21-22高一上·黑龙江大庆·期中）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上，则角余弦值为 . 【答案】 【分析】由题可得角的终边在第一象限或第三象限，然后分情况利用三角函数的定义即得. 【详解】∵角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上， ∴角的终边在第一象限或第三象限， 当角的终边在第一象限时，可取角的终边上，∴， 当角的终边在第三象限时，可取角的终边上，∴， 综上，角余弦值为. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知角的终边落在直线上，求，，的值． 【答案】答案见解析 【分析】在角终边上取点，然后利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限， 当角的终边在第二象限时，在直线上取一点， 则， 当角的终边在第四象限时，在直线上取一点， 则. 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，求的值． 【答案】或 【分析】角的终边在第二象限或第四象限，在角的终边上取一点，利用三角函数的定义求解. 【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限． 当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点， 则点P到原点的距离，∴． 当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点， 则点到原点的距离，∴． 综上，或． 易错点2：未注意开方结果的符号而致错 【例题2】（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方式与商式关系，可得答案. 【详解】因为，，所以，则. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角关系运算求解，注意象限角的三角函数值符号. 【详解】因为，为第二象限角，则， 所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若，求，． 【答案】答案见解析. 【分析】由已知，可得为第一或第四象限角，根据同角三角函数关系分类讨论即可解答. 【详解】因为，所以为第一或第四象限角， ①当为第一象限角时，，； ②当为第四象限角时，， 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则，所以，. 故选：D. 2．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】因为，，则. 故选：D 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用任意角三角函数定义求正弦值和余弦值再计算即可. 【详解】，为坐标原点， 则，， 故. 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】方法一利用任意角三角函数的定义结合象限角的定义求解，方法二先求出点坐标，确定的位置，再利用对称性求解，方法三由第四象限角的三角函数值符号特征得到的位置，再利用对称性求解即可. 【详解】方法一：由任意角三角函数定义得， ，故， 可得，故是第四象限角，故D正确. 方法二：由诱导公式可得， ，故得， 显然在第二象限，则也在第二象限， 而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确. 方法三：首先，我们知道是第四象限角， 由第四象限角的三角函数值符号特征得，， 故得在第二象限，则也在第二象限， 而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在终边上取点（或），根据三角函数的定义计算可得. 【详解】在角的终边上取一点，所以； 或角的终边上取一点，所以， 综上可得等于. 故选：B． 7．（22-23高一上·河北保定·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，以及同角三角函数的关系和角的范围求出，再根据即可求解. 【详解】解：， ，又， ，，即， . 故选：B. 8．（23-24高一上·河北保定·期末）若为第二象限角，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为第二象限角，得到，化简原式即可. 【详解】因为为第二象限角，则， ， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·河北衡水·期中）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由角是第二象限角可得，，即可得解. 【详解】若角是第二象限角，则，， 则，，故A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析选项中角所在的象限，再判断其三角函数值的符号即可. 【详解】对于A，因为， 所以是第二象限角，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以是第四象限角，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以是第二象限角，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以是第三象限角，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 【答案】AD 【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C. 【详解】对于A，，A正确，,； 对于B，，B不正确，； 对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确． 对于D，∵α为第一象限角， ∴原式，D正确． 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第 象限. 【答案】三 【分析】根据，，得到角的终边在第三象限. 【详解】，， 故角的终边在第三象限. 故答案为：三 13．（24-25高一上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】1 【分析】分子分母同除以即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：1 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】 【分析】先由得出，再结合平方关系得出的值. 【详解】 ∴. . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值． 【答案】 【分析】法一：由已知可得，结合同角的正余弦平方关系可得，进而可求得的值，可求的值.法二：两边平方可得，进而可得的值，可求的值. 【详解】法一：由，得． 又， 代入得， 整理得， 即， 解得或． 又，所以，故． 所以， ． 法二：因为，所以， 又，两边平方， 整理得， 所以， 所以， 又， 所以． 16．（22-23高一上·广东东莞·期中）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值． (2)已知角为第四象限角，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，取点，则，结合三角函数的定义即可求解； （2）由题意可得，进而，结合和即可求解. 【详解】（1）是第三象限角，且， 取点，则， ，； （2），， ， 是第四象限角，，， ，. 17．（21-22高一上·新疆哈密·期末）设角的终边经过点（），求、、的值. 【答案】，当时，；当时， 【分析】考虑和两种情况，根据三角函数定义直接计算即可. 【详解】当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述： ； 当时，，；当时，，； 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【答案】(1). (2)或. (3)或 【分析】根据特殊角的三角函数值，根据不同的定义域，得到不同的自变量. 【详解】（1），，所以； （2），，所以或； （3），，得或， 所以取值集合为或. 19．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）（1）若，，求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系以及角的范围，求解即可得出答案； （2）根据“1”的代换化为齐次式，分子分母同时除以，化为只含有的式子，代入即可得出答案. 【详解】（1）由已知，，可得，所以. （2）∵，∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$