江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

1 南昌十九中 2024-2025学年上学期期中考试高二数学试卷 考试时间：120 分钟 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知点 N与点  1, 2,3M  关于 x轴对称，则点 N的坐标为（ ） A．  1,2, 3 B．  1, 2,3  C．  1, 2, 3   D．  1, 2, 3  2．已知空间直角坐标系Oxyz中有一点  1, 1,2A   ，点 B  是平面 xOy内的直线 1x y  上的 动点，则A , B两点间的最短距离是（ ） A． 6 B． 34 2 C．3 D． 17 2 3．若圆 2 2: ( 1) ( 3) 8C x y    上存在两个点到直线 : 0l x y m   的距离为 2 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 6 2m    B． 10 2m    C． 2 2m   或 10 6m    D． 6m   或 2m   4．设 ,a b为实数，若直线 2ax by  与圆 2 2 1x y  相切，则点  ,P a b 与圆的位置关系（ ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 5．椭圆   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的左、右焦点为 1 2,F F ，直线  : 0l y kx k  与椭圆交于 ,A B两 点，直线 1AF 与椭圆交于另一点D，若直线 AD与BD的斜率之积为 1 2  ，则椭圆离心率为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 4 D． 3 2 6．已知 ,A B是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yE a b a b     的左、右顶点，点M 在 E上， ABM 为等 腰三角形，且顶角为120，则 E的离心率为（ ） A． 5 B．2 C． 3 D． 2 7．已知抛物线  2: 2 0C y px p  上的点  , 2m 到原点的距离为 2 2 ，焦点为 F，准线 l与 x 轴的交点为 M，过 C上一点 P作 PQ⊥l于 Q，若 2π 3 FPQ  ，则 PF （ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 3 3 D． 2 3 2 8．函数   1f x x x   被称为“对勾函数”，它可以由双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     旋转得 到，已知直线 0x  和直线 y x 是函数  f x 的渐近线，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． 3 3 y x  B．  2 1y x   C．  2 3y x   D． y x  二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知直线    : 2 3 1 1 0l a x a y     ，则（ ） A．若 1a  ，则直线 l的倾斜角为 π 2 B．直线 l过定点  1,2 C．若 4 3 a  ，则直线 l在 x轴和 y轴上的截距相等 D．若直线 l不经过第二象限，则 1a  10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线  32 2 2 2:C x y x y  就是其 中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C上的点到原点的最大距离为 1 2 C．四叶草曲线C所围的区域面积大于 π 4 D．四叶草曲线C恰好经过 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点） 11．在平面直角坐标系 xOy中，动点 ( , )P x y 的轨迹为曲线 C，且动点 ( , )P x y 到两个定点 1 2( 1,0), (1,0)F F 的距离之积等于 3．则下列结论正确的是（ ） A．曲线 C关于 y轴对称 B．曲线 C的方程为 2 2 21 4 9x y x    C． 1 2FPF 面积的最大值 3 2 D． | |OP 的取值范围为[ 2, 2] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若曲线 24y x  与直线 0x y m   有两个公共点，则实数m的取值范围是 ． 13．已知椭圆C： 2 2 1 25 16 x y   ，则过点  3,0 且斜率为 4 5 的直线被椭圆C所截线段的长度 为 ． 14．设抛物线 2 4x y 的焦点为 F ， 若 2 2 2: ( 4) ( 0)M x y r r    与抛物线有四个不同的 交点， 记 y轴同侧的两个交点为 , A B， 则 | | | |FA FB 的取值范围是 ． 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13 分） 如图所示，由半椭圆 2 2 1 2: 1( 0, 0)4 x yC y b b     和两个半圆  2 22 : ( 1) 1 0C x y y    、  2 23 : ( 1) 1 0C x y y    组成曲线  : , 0C F x y  ，其中点 1 2A A、 依次为 1C 的左、右顶点， 点 B为 1C 的下顶点，点 1 2F F、 依次为 1C 的左、右焦点．点 1 2F F、 分别为曲线 2 3C C、 的圆心． (1)求 1C 的方程； (2)若点 P Q、 分别在 2 3C C、 上运动，点  0, 1T  ，求 TP TQ 的最大值，并求出此时点 P Q、 的坐标. 16. （15 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 (0,3)A ，直线 : 1l y x  ，设圆 C的半径为 1，圆心在 l上． (1)若圆心 C也在直线 3 1y x= + 上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程； (2)若圆 C上存在点 M，使 | | 2 | |MA MO ，求圆心 C的横坐标 a的取值范围． 17. （15 分） 设 1 2,F F 为椭圆   2 2 2 2 1 0    x yC a b a b ： 的左、右焦点，点 13, 2 A     在椭圆C上，点A 关于原 点的对称点为 B，四边形 1 2AF BF 的面积为 3 . (1)求椭圆C的方程； (2)若过 2F 的直线 l交椭圆C于 ,M N两点，求证： 2 2 1 1 F M F N  为定值. 4 18. （17 分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yE a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离心率为 2，P是 E的右支上一点，且 1 2PF PF ， 1 2PFF 的面积为 3． (1)求 E的方程； (2)若 E的左、右顶点分别为 A，B，过点 2F 的直线 l与 E的右支交于 M，N两点，直线 AM 和 BN的斜率分别即为 AMk 和 BNk ，求 2 2 3AM BN k k 的最小值． 19. （17 分） 已知抛物线 E： 2 4y x 的焦点为 F，若 ABC△ 的三个顶点都在抛物线 E 上，且满足 0FA FB FC       ，则称该三角形为“核心三角形”. (1)设“核心三角形 ABC”的一条边 AB 所在直线的斜率为 2，求直线 AB 的方程； (2)已知 ABC△ 是“核心三角形”，证明： ABC△ 三个顶点的横坐标都小于 2 . 南昌十九中2024-2025学年上学期期中考试高二数学答案 、 单选题 1 2 3 6 7 8 ? B c 6 D D 二、 多选题 9 10 11 ABC AB ABD 三、填空题 [2,2w2) 41 12: 13: 514: 四、解答题 15.(13分) 【详解】(1)依题意，F(-1,0八、F(1,0),所以b2=4-1=3 于是C的方程为号+号-0≤0： 6分 (2)lTP+Tgs(F+FPH(TF+F2(N2+1(2412242, 当T、FP三点共线，同时T、F、Q三点共线，有(TP+T)=2W2+2, 由T(0-少，F(-1,0以EL.0),则此时∠0FP=∠0F,0=3 4 故=-1+1kcos3n-1-巨 n=1xsin3rV 42 同理可利1:号 13分 16.(15分) 【详解】(1)根据题意，圆心C在直线：y=x-1上，也在直线y=3x+1上， [y=x-1 联立方程 x=-1 y=3x+1'解得 y=-2 即C(-1,-2), 所以圆C:(x+1)2+(y+2)2=1. 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为y=x+3,即：-y+3=0, k+2+3到=1→k=12 则 √+k2 ,所以切线方程y=12x+3. 5 当切线斜率不存在时，直线x=0也与圆相切： 然上所述：所求切线直线方程为y=号+3或x=0。 7分 1 (2)设点C(a,a-),M(x), 因为1MA=21M01,则xG+(。-3)=4x+), 即点M的轨迹方程为后+(，+=4， 又点M在圆C上，所以(x-a+(。-a+1=1, 若存在这样的点M,则x后+(+1=4与(x,-a+(%-a+1=1有公共点， 即两圆的圆心距d满足1sds3,即1s2a≤3，解得5≤a≤35或35sa5-5 所以圆心C的横坐标a的取值范围为 3w21「23w2 2,2 22 15分 17.(15分) 【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),因为O=OB,OFl=OF, 所以四边形AEBF,为平行四边形，其面积设为S,则 S=2c}=5,所以c=5, 31 所以a2-b2=c2=3,又 +4坊=l,解得a=4b=1, 所以箱圆C的方程为号+y产=1。 6分 (2)E(5,0),当直线1与x轴重合时，1的方程为y=0, 此时不妨令M=a+e=2+5,N作a-c=2-6,则FMN4: 当直线1与x轴不重合时，1的方程可设为x=m心+√5， e+a1o.a-64r+=Waf+>0 设M(,y),N(x,),则y+为= -2√3m -1 m+4m+4<0, FM=V+ml.FN=V+mal. 5MFN+mT阿+m为广+m y+广=44 综上FMN为定值4 15分 2 18.(17分) 【详解】(1)设双曲线的半焦距为c(c>0), S1P卡3.IPFIE6 由题可知|PF|-PF2=2a.PF2+1PE=4c2, ∴1PF2+|PF-21 PFIPF=4a2,即4c2-12=4a2,b2=3. 又=2，a2=1.放E的方程为x2-上=1. 3 …7分 (2)如图，由题可知F(2,0),A(-1,0),B(1,0),且直线MN的斜率不为0， 设直线MN的方程为x=y+? M(x,)N(x2,2), 将方程x=ty+2和x2-上=1联立，得(3r2-)y2+12y+9=0, 3 12t 9 月+%3= 3-43- w=kw= x+1 x3-1” 6》为 -3t kw(,+1)2(+3)%y+3为9 3721*3y w=-…+号e=kw--l, ~直线AM与E的右支有交点，-5<kM<5, ∴当kw=Lkw=-3时，+名km取得最小值，且最小值为-司 3 17分 18.(17分) 【详解】(1)设直线AB的方程为y=2x+1,与y2=4x联立 得y2-2y+21=0,△=4-8>0.得1<2 设A(x,y),B(x2,2),C(x3,),则y+为2=2,2=2t, 所以+5=0+%-20=1-1， 由题意知F(1,O),因为FA+FB+FC=0, F4=(x-1,y),FB=(x2-1,2),FC=x-1,), 3 所以(++x3-3,片+y3+)=(0,0), 所以x+x+x=3,” 月+5+y=0, 所以飞=2+，' 即点C的坐标为(2+1，-2)，代入抛物线E的方程得：4=42+)， ⅓=-2， 解得1=-1，满足条件1<2 所以直线AB的方程为2x-y-1=0. 8分 (2)设直线BC的方程为x=y+n,与y2=4x联立得y2-4my-4n=0, △=16(m2+m)>0,所以n>-m2,乃2+乃=4m,23=-4n, 所以x2+x=m032+y)+2n=4m2+2n. 由0知5+5+5=3所以飞=3-4m2-2m, y+2+片=0 片=-4m. 即点A的坐标为(3-4m2-2n,4m). 又点A在抛物线y2=4x上，所以16m2=43-4m2-2训，所以n=3-4m2, 2 又m>-m,所以m<分所以点A的横坐标3-4m2-2n4m<2, 同理可证，B,C两点的横坐标也小于2. 所以△ABC三个顶点的横坐标均小于2. 17分