第一章 2　直角三角形 同步练2023-2024学年北师大版数学八年级下册

五　直角三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1直角三角形的性质 1.如图,在Rt△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,点B在直线b上,直线a∥b,若∠1=105°,则∠2的度数为 ( ) A.45° B.40° C.35° D.30° 2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是( ) A.19 B.15 C.12 D.6 3.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.  知识点2直角三角形的判定 4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是 ( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,则∠DAB= ( ) A.120° B.110° C.135° D.150° 6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35. (1)求AB的长; (2)求△ACB的面积. 知识点3互逆命题与互逆定理 7.下列定理中有逆定理的是 ( ) A.直角都相等 B.全等三角形的面积相等 C.对顶角相等 D.内错角相等,两直线平行 8.命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ,该逆命题是 (填“真”或“假”)命题.  【B层 能力进阶】 9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 10.(易错警示题)(2023·重庆江津区期中)已知直角三角形两条边的长为6,8,则这个直角三角形的第三边长为 .  11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .  12.命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)  13.(传统文化成就)(2024·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= .  【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五　直角三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1直角三角形的性质 1.如图,在Rt△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,点B在直线b上,直线a∥b,若∠1=105°,则∠2的度数为 (A) A.45° B.40° C.35° D.30° 2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(A) A.19 B.15 C.12 D.6 3.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　50　km.  知识点2直角三角形的判定 4.(2023·长沙质检)三角形三边长为a,b,c,满足|a-4|++(c-3)2=0,则这个三角形是 (D) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,则∠DAB= (C) A.120° B.110° C.135° D.150° 6.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35. (1)求AB的长; (2)求△ACB的面积. 【解析】(1)∵S△ABE=35,DE=7,DE⊥AB, ∴AB×7=35,解得AB=10; (2)在△ABC中,AB2=102=100,BC2+AC2=62+82=100,则AB2=AC2+BC2, ∴∠C=90°, ∴S△ABC=AC·BC=×8×6=24. 知识点3互逆命题与互逆定理 7.下列定理中有逆定理的是 (D) A.直角都相等 B.全等三角形的面积相等 C.对顶角相等 D.内错角相等,两直线平行 8.命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是　如果3a=3b,那么a=b　,该逆命题是　真　(填“真”或“假”)命题.  【B层 能力进阶】 9.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 (B) A.5 B.4 C.3 D.2 10.(易错警示题)(2023·重庆江津区期中)已知直角三角形两条边的长为6,8,则这个直角三角形的第三边长为　2或10　.  11.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 　.  12.命题“如果a>0,b>0,那么ab>0”的逆命题是　假　命题.(填“真”或“假”)  13.(传统文化成就)(2024·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=　3　.  【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动,同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,若△BPQ为直角三角形,求t的值. 【解析】①如图(1),当∠BQP=90°时,则∠BPQ=30°,BP=2BQ, ∵BP=12-3t,BQ=t, ∴12-3t=2t, 解得t=; ②如图(2),当∠QPB=90°时, ∵∠B=60°, ∴∠BQP=30°, ∴BQ=2BP, 若0<t<4,则t=2×(12-3t). t=, 若4<t≤6,则t=2×(3t-12), t=. 综上,t的值为,,. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六　直角三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1用“HL”证直角三角形全等 1.如图,点E,F在线段AC上,AE=CF,AD⊥DF,CB⊥BE,要根据“HL” 证明Rt△ADF≌Rt△CBE,则还需添加的一个条件是 ( ) A.AF=CE B.∠A=∠C C.AD=CB D.AD∥BC 2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= ( ) A.28° B.59° C.60° D.62° 3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC. 4.已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE. 知识点2直角三角形全等的判定 5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是 ( ) A.HL B.ASA C.AAS D.SAS 6.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是 ( ) A.∠DAE=∠CBE B.CE=DE C.△DAE与△CBE不一定全等 D.∠1=∠2 7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为 .  【B层 能力进阶】 8.如图,用纸板挡住部分直角三角形后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是( ) A.ASA B.AAS C.SAS D.HL 9.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 10.如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠ABE= .  11.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= .  12.(易错警示题)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= ,△ABC与△APQ全等.  13.如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,CD=BC,AB=AC.求证:∠1=∠BAC. 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2. (1)求证:△ADE≌△BEC; (2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六　直角三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1用“HL”证直角三角形全等 1.如图,点E,F在线段AC上,AE=CF,AD⊥DF,CB⊥BE,要根据“HL” 证明Rt△ADF≌Rt△CBE,则还需添加的一个条件是 (C) A.AF=CE B.∠A=∠C C.AD=CB D.AD∥BC 2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= (B) A.28° B.59° C.60° D.62° 3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC. 【证明】∵AD⊥BE, ∴∠ACB=∠DCE=90°, ∵C是BE中点, ∴BC=EC, 在Rt△ABC和Rt△DEC中,, ∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 4.已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE. 【证明】∵DE=BF,∴DE+EF=BF+EF, ∴DF=BE, 在Rt△ADF和Rt△CBE中,, ∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL),∴AF=CE. 知识点2直角三角形全等的判定 5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是 (C) A.HL B.ASA C.AAS D.SAS 6.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是 (C) A.∠DAE=∠CBE B.CE=DE C.△DAE与△CBE不一定全等 D.∠1=∠2 7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为　7　.  【B层 能力进阶】 8.如图,用纸板挡住部分直角三角形后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是(A) A.ASA B.AAS C.SAS D.HL 9.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有(C) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 10.如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠ABE=　20°　.  11.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=　7　.  12.(易错警示题)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=　5或10　,△ABC与△APQ全等.  13.如图,在四边形ABCD中,AD⊥CD,CD=BC,AB=AC.求证:∠1=∠BAC. 【证明】作AF⊥BC于点F, ∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF=BC,∠BAF=∠CAF=∠BAC, 又∵CD=BC,∴CF=CD, 在Rt△AFC和Rt△ADC中,, ∴Rt△AFC≌Rt△ADC(HL), ∴∠1=∠CAF=∠BAC. 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2. (1)求证:△ADE≌△BEC; (2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$